重要不等式汇总(例题答案)

1、其他不等式综合问题例1:(第26届美国数学奥题之一)设a、b、cCR+,求证：111 J>!<一./+护+就c A3 4-c3 +abc /十.十nbc <ibc (1)分析；最初,某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法,这里试从分 析不等式的结构出发,导出该不等式的编拟过程,同时,揭示证实此类问题的真 谛,并探索其推广命题成功的可能性.思考方向：(1)的左边较为复杂,而右边较为简单,所以,证实的思想应该 从左至右进行,思考方法：(1)从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程,所以,一个 简单的想法就是将各分母设法缩小,但考虑到各分母结构的相似性,故只要对其中 之一做恰倒

2、好处的变形,并构造出右边之需要即便大功告成.实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式：x3+y3>x2y+xy2=xy(x+y)(x、y R+) ( *)知 (1)的左端I111£ - + = - +曲(ci+b)+以 bc(b+c)+abc ca(c¥G*阪 abc这一证实是极其简单的,它仅依赖高中数学课本上的根底知识,由此可见, 中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题,看来,我们要好好守住课本 这快阵地.(1)刻画了 3个变量的情形,左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母 中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和,那么,对于更多个变量会有怎样的结 论？以下为

3、行文方便,记 1的左端为X-d +63 -vabc,表示对a、b、c轮换求和,以下其它的类似处理,不再赘述推广1:设a、b、c、dCR+,求证:一 1为了搞清多个变量时1的演变,首先从4个变量时的情形入手,£-/ +abcd abal(2)分析：注意到上面的*,要证2,需要证x4+y4+z4 > xyz(x+y+z)*是*的开展,它的由来得益于证实1时用到的*,这是一条 有用的思维开展轨道.事实上,由高中数学课本上熟知的不等式 x2+y2+z2 > xy+yz+zx 易知x4+y4+z4> x2y2+y2z2+z2x2 > xy - yz+yz - zx+zx

4、 - xy=xyzx+y+z,这样* 得证,从而2便可仿1不难证实,略,推广 2：设 aiCR+i=1、2、3,n,求证：i-与一与4日工M+ii/9 M上1.3有了前面的推广1的证实,这里的推广2的证实容易多了,联想*,只要能证实?+4+41之明%4 +.+%这是*的开展事实上,由切比雪夫不等式及算术一一几何平均值不等式可知 . 端Y十%'H b吃;、可必+T%之一-/+叱哂十%有了上式,推广2便不难证实,略.很显然,又t于推广2,假设按1的最初的去分母去证实,当然是行不通的, 这也说明,解决数学问题的关键一着就是要把握问题的实质,不要被一些较复杂的 外表现象所迷惑,要善于观察,善于

5、分析,善于总结,善于概括,善于发现,善于 利用,尽力从表象的东西里抽象概括出本质性的实质性的规律,这才是学习数学的 要旨.例2:设x、v、zCR+,求证：212y2 + z2+yz 22+x2+zx x2+y2+xy4分析：这是一个并不复杂的分式不等式,但是假设要通过去分母来证实,肯定 会走弯路,甚至走到死胡同.思考方向：4的左端较为复杂,而右边较为简单,所以,证实的思想应该 从从左至右的进行.思考方法：1从左至右是一个逐步缩小的过程,所以,对于此题,一个简 单的想法就是将个分母设法放大,但考虑到分母结构的相似性,故只要对其中之一 进行恰倒好处的变形,并设法构造出4的右边即可大功告成.实施步骤

6、；联想到高中课本上熟知的的不等式：2xy&x2+y2 x、yCR,刚好是4中分母里xy的成功放大,即有如下证实：证实:3y+,广-之 E；=£y+z + /+?+l(/+z只要证实,(5)给5的两边同时加3,得到+/ 92#2z N -y2 +za 21 Q"XE元吟.小“邃再产9这由Cauchy不等式便知,从而4得证4式刻画了 3个变量的情形,其特点是；左端每一个分式的分母是从3个变量中取两个,为两个的二次方与这两个变量之积之和,而分子那么是剩下一个变量 的二次方.现在,我们如果站在变量个数方面考虑,即再增加假设干个变量,结论会 怎样？证法还灵吗？经过再三考虑,得

7、到推广 1:设 ai CR+, (I=1,2,3,n)求证:一抽;十TK* 到tfi(6)联想4的证实过程,知关键是对分母中的乘积项利用二元均值不等式进行 放大,然后运用Cauchy不等式便大共告成,那么,6的证实也只要对每一个分 式中分母乘积项逆用多元算术一一几何平均值不等式,再使用Cauchy不等式便知,详细的证实略.另外,如果一不小心,将4错写为如下形式:>Ly2 A-yz+z1, +zr+x24-iy + y2那么,虽然7与4相比,实质性的东西并没有发生改变,但就其结构 而言已经发生了相当大的改变,即7的每一个分母中连续3项依次成等比数 列,而4的分母中就不具备这牛¥的

8、性质,继而,7是否从某一方面反映某一 普遍意义下的一种特例呢？也就是7的一般情形是什么？站在等比数列的角度 去审视7,就可以探索从改变分母的指数出发去联想,从而得到一个很好的结 论,7的分母多项式为3项,最高指数为2,分子与分母指数相同,左边为三 个式子之和,右边为1,试想,当分母中的多项式指数增高时,7应该变成什 么样子,准确点儿,当指数为n+1时,相应的结论如何？这就是推广2:设xyz R+,求证：工相8分析：联想与类比有时候是提出问题和解决问题的金钥匙,相似问题的解决 方法在很多场合往往都是十分相似的,在这一点上请同学们注意领会并掌握.思考方向与思考方法根本同于4,只是实施步骤中的不等式

9、： 2xy<x2+y2 x、yCR的右边的指数2改为n+1时,结论会变成什么相适应的样 子？类似于*,由高中课本上知识知当然可从指数为3, 4, 5,去探索,这里就省去探索的过程了,由于高中课本上已有指数为3、5时的结论：xnyk+xkyn<xn+k+yn+k,x > y R+, n、kCN+这是一个有意义的结论,于是 xn+1+xny+xn- 1y2+- - +yn+1 < 彳广,即4+ 7*；二 +；*F+ j注意到5至耻匕,推广2获证.实际上,通过刚刚对7的分析知道,7还有从变量个数方面的推广, 例如变量个数为4, 5, 6,12或者小于等于23的奇数结论成立时,

10、结论 的证实就比拟复杂了,况且,也不能推广到任意多个变量.关于这点,请读者参考 有关资料.例 3:设 x、yC 0, 1,求证：1 I 2T +W l+jc 1+y 1+xy.9分析：此题的结构看似简单,实际上,要向前面两个不等式那样去设法从左 至右的证实在这里就不好进行,于是,需要进行等价分析变形,这是在当前一时找 不到好的证法时常用的证题方法.思考方向和思考方法：去分母,整理成包不等式.实施步骤：一般的程序应该是配方或者分解因式.证实：由条件x、y 0, 1知,xyC 0, 1,所以,原不等式等价于lr 1 -I+1 <2 1+工,1-Fj21 与孙（10）.2(l+x2)(l+y2

11、)-(l + xy)(2+xSy1)>0o (x:4-y2-2xyXbxy)>0（11）结合题目条件及二元均值不等式知此式早已成立,于是原命题获证这一证实看起来比拟简明,但是,真正实施起来也不是太简单,请同学们仔 细领悟.到这里此题的证实已经结束,但是,如果仅停留在这个层次上就得到的甚 少,应该及时进行反思、总结、提炼,看看此题有无推广演变的可能？即能否由此 产生新的数学命题？观察例3的结构可以看出,10的左端可以看成是函数l+x在两个变量x、y处的函数值的算术平均值,右边是两个变量 x、y在其几何平均值 处的函数值,厢,联想到Jensen不等式,可以很容易的将10推广到多个变量时

12、的情形,即推广 1： xi C 0, 1 i=1、2、3,n,求证：川+工：1+6玉 mi .12这由数学归纳法不难确认其正确,详细证实留给感兴趣的读者.继续观察11,不难看出,当x>1, y>1时,不等号应该反向,于是可得 原命题的另一种演变的推广,即推广 2: xi C 1, +oo,i=1、2、3,n,求证：川+工：1+6玉13继续观察10,容易想到,当变量个数再增加时会有怎样的结论？即对于 三个变量假设 x、y、zC (0, 1),可得2 1+/ l+/z 1 牛孙1 i 1 . 1T+1< 2 1 + r 1s ls这三式相加得：11+d 1+/ 1+z2 +xy

13、+yz l+zi(14)这样我们又得到了一个新的命题.如此继续,使得推广 3: xi (0,1) ,(i=1、2、3,n),求证:口 1"1E-til + x；+ 对(15)推广 4： xi C (1,+oo),(i=1、2、3,n),求证:M 1"1£之£,臼1+¥ eI + jc/对(xn+1=x1 ) (16)(15)、(16)的证实可仿照(14)的证实进行,在此就略去其详细的证实 了.从这几个推广命题的由来我们可以看出,很多数学命题都是在认真分析已有 命题的根底上,对原命题进行分析、归纳、总结、提炼,得到描述问题的本质,在 原有问题及其

14、求解思路的根底上,运用自己所掌握的数学知识通过思维的迁移加工 就可得到一系列新的数学命题,这也是许多命题专家的研究心得,更是解题者应该 多多注意的一个方面,也是我们辅导老师应该向学生介绍的重要一环一一展示知识 发生、开展的全过程.例4 为正数.求证：研究某些不等式的推广是十分有意义的工作,有事实说明,近多年来的高层 次竞赛就屡次涉及到多个变量的复杂不等式证实问题,而且,有些问题本身就是一 些固有问题的开展和演变,故应引起参加竞赛的同学的重视.a, b, ca b c 口+用 6 十 zn c+机一+ +-24+b c a b-¥m c + m .+ 阳证实：不妨设,那么a>c,

15、 b>cabac之t (吁qe-q "(a+fliWA+nf) (a+m)(c + m)(.十两)一04叫了 (4+耐)一(心+部)0 + w)-(c + bi)1(tf+ffl)( + wr)4+的(心+般)a+m b+m * (b+m c+m b+m J+2+ +1b + m a+m c+m a + m a + m ；a+m 出+州 c+的-116十牌 e+阳 a+mcma + mc a-m b + m->+a b+密 cm例 5 设正数 x,y,z,a,b,c 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c, 求函数 f(x,y,z)=x2 y2 22+ +1

16、 + x 1+y 14-z角单：由 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c 容易解得: £2,-2 最 0 +c -a x =2bc, ca2-b2/+/-/y -fz,lea2ab且 a+b>c,b+c>a,c+a>b.由对称性不妨设a>b>c,从而f(x,y,z)='l+x 如+方+.) 阳He620+B+© £庆(计I(,+ 4,产=. < . >2®+b + c) £43+鼻)2O a4+b4+c4+22比2+£/c+£痉-加oa4+b4+c4+3、/加之2方

17、7+2加oa2(a-c)(a-b)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c- b) >0 o a2(a-b)2+a2(b-c)(a-b)+b2(b-a)(b-c)+c2(c-a)(c-b)=a2(a-b)2+(a2-b2)(b-c)(a-b)+c2(c-a)(c- b) >0,最后的不等式显然成立所以=1+工2,其中等号成立当且仅当 a=b=c且 x=y=z=2,故函数f(x,y,z)的最小值为例6设n是给定的正整数,且n>3,对于n个实数x1,x2,xn ,记|xi- xj|(1 <i<j &n)的最小值为 m.假设x12+x22+xn2=1,试求

18、m的最大值.解：不妨设 x1 &x20& xn,贝U x2-x1 >m,x3-x2>m,x4-x3>m,- -,xn -xn- 1>m.xj -xi >(j -i)m(1 < i<j &n) .,.有出心跳*AT勤西ET口 Z2ZT).12< n. m2n2(n2-1) < 12n,m0、n(n -1).仅当x1,x2,xn成等差数列,且S=1时等号成立. mmax=T n(n2 -1)例7设n是一个固定的整数,n>2.( I)确定最小的常数c,使得不等式 h玄由源+小文口小Mv物r4对所有的非负实数x1, x2,xn都成立；(11)对于(1)中的常数c,确定等号成立的充要条件解：将和式X,区丹)简记为2f(XjMj).(I)当x1 , x2,xn不全为0时,记XX叼二£及再产式餐+Xj+4)*,y 1这片了 (£兄丁M；=1F：)NW物xJ-2?内-tYk必£空2(2&X-2%XjXk(X|+Kj+XjX MjUZ+X) < c(£ %)4 Q C 之-2x2 +x-y,其中等号成立仅当_ 1Tinin - g(H)中等号成立=00产卜=0且= 22勺ex1 , x2,xi2+xj2=2xixji=lxn中任意三项之积为