余数的可加性,可减性

1、余数定理（-）可加性a与b的和除以c的余数，等于a, b分别除以c的 余数之和（或这个和除以c的余数）例如：23, 16除以5的余数分 别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4.注意：当余数 之和大于除数时，所求余数等于余数之和 再除以c的余数.例如： 23,19除以5的余数分别是3和4,所以（23+19）除以5的余数等于 （3+4）除以5的余数。（-）可减性a与b的差除以c的余数，等于a, b分别除以c 的余数之差.例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以（23 - 16）除以5的余数等于3-仁2注意：当较大数的余数小于较小数的 余数时，所求余数等于c减去余数之差.例

2、如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以除以（23 - 19）的余数等于5 （4 3） =4.（三）可乘性a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）例如：23, 16除以5的余 数分别是3和1,所以除以5的余数等于注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以除以5的余数等 于除以5的余数.（四）乘方性如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：

3、为了求出“ N 被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R对 于除数m同余由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m 除的余数来求得N被m除的余数整数N被2或5除的余数等于 N的个位数被2或5除的余数；整数N被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；整数N被8或125除的余数等于 N的末三位数被8或125除的余数；整数N被3或9除的余数等 于其各位数字之和被3或9除的余数；整数N被11除的余数等于 N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；整数N被 乙11或13除的余数等于先 将整数N从个位起从右往左每三位分一 节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被

4、乙11或13除的余数 就是原数被 乙11或13除的余数中国剩余定理：在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五 五数 之剩三，七七数之剩二，问物几何？ ”按照今天的话来说：一个数除 以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数此问 题亦称“孙子问 题”，有很多有趣的别名，如“韩信点兵”，“秦王暗点兵”，“鬼 谷算”，“隔墙算”，“大衍求一术”等等.我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？)时用四句诗概括出这类问题的优秀解法:'三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团

5、圆正月半，除百零五便得知."这首诗就是解答此类问题的金钥匙,它被世界各国称为"中国剩余定理乃(Ch in ese Rema in der Theorem),是我国古代数 学的一项辉煌成果诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘.五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘.七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘除百零五便得知，是说 把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数.此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105,则减去105,所得的差如果仍比105大，则继续减去105,最后所得的整数就是所求也就是2 X 70 + 3 X 21 +2X 15=233,233 - 105=128,128 - 105=23.为什么 70, 21, 15, 105 有此神奇效用？ 70, 21, 15, 105是从何而来？先看70, 21, 15, 105的性质：70被3除余1,被5, 7整除所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数； 21是5除余1,被3与7整除的数，因此21是被5除余b,被3与7 整除的数；同理15c