冰山运输模型

1、§4冰山运输模型问题的提出在以盛产石汕著称的波斯湾地区，浩翰的沙漠覆盖着大地，水资源十分贫乏，不得 不釆用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水o. 1英镑.有些专家 提出从相距9600 km之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法.这 个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性.模型的准备为了计算用拖船运送冰山获得每立方米水所花的费用，我们需要关于拖船的租金、运 量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方而的数据，以此作为建模必须的准备工作.根据建模的需要搜集到以下数据.1. 三种拖船的日租金和最大运量.船型小中大日租金（英傍）4.06.28.0燧大运量（n?

2、）5X105106107聚3日租金和量大运2. 燃料消耗（英镑/千米）.主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略.积（n?）船速（km/ h1O510610718.410.512.6310.813.516.2513.216.519.8*4燃料消耗（英犒/千米）3. 冰山运输过程中的融化速率（即米/天）.指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度.融化速率除与船速有关外，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故.距离（km ）船速01000>4000100.10.3300.150.45500.20-6 表5融化速率（米/天）建立模型的目的是选择拖船

3、的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方 米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较.根据建模目的和搜集到的有限的资料，需要作如下的简化假设.模型的假设1. 拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响总航行距离 9600km2. 冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同.这是相当无奈的假设，任冰山上各 点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地讣算.3. 冰山到达目的地后，1亦 冰可融化成0.85/h3水.模型的建立首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行 中的燃料消耗，由此可以算岀到达目的地后的冰山体积和运费.任讣算过程中需要根据

4、搜集到的数据拟合出经验公式.模型构成可分为以下几步.1. 冰山融化规律根据假设2先确左冰山球面半径的减小，就可以得到冰山体积的变化规律.记冰山球而半径融化速率为7米/天，船速为"km/h,拖船与南极距离为dkm.根 据表5中融化速率的数据，可设厂是船速c4的线性函数，且当0WdW4000km时r与d 成正比，而当d>4000 km时厂与d无关，即设(1)J5 /(1 + 加),OWd =4000 衍仃十 bu) 9d >4000其中®卫2上为待泄参数.这可以解释为0WdW4000km相当于从南极到赤道以南，海水 温度随d增加而上升，使融化速率厂也随d的增加而变大

5、，而d>4000km后海水温度变化 较小，可以忽略.利用表5所给数据确怎岀*5=6.5X107,如=02,6=04当拖船从南极出发航行第/天时，与南极距离为d = 24ut记第/天冰山球面半径融化速率为厂将（2）, （3）代入（1）式得1.56xl0-3u(l+0.4u)zf0.2(1+0.4“)，Q 骅OU记第/天冰山半径为体积为匕，则R严2 土心（5）* = 1Vt = R3t, Vo = yo（6）其中&），匕为从南极启运时冰山的初始半径和体积由（4）（6）式可知冰山体积是船速 “、初始体积匕和航行天数/的函数，记作V（M,V0J）,有V（“,匕“）=警（J契-Sr*）其中

6、q由（4）式表示.2. 燃料消耗费用分析表4给出的燃料消耗（英镑/千米，记作g）的数据可以看出.q对船速“和冰山体积y的对数lgV均按线性关系变化，所以可设g = c( (w + c2 )(lg V+ c3 )(8)其中cpc2,c3为待泄参数.利用表4所给数据可以确左*“=0.3, c2 =6, C3 = - 1(9)由(7)(9)式可将拖船航行第基天的燃料消耗记作§(“,/)(英镑/天)，且有g(“，"o，r)=24“C|(“ + c2)lgV(“，*,1) + 5= 7.2“(“+6)lg 賓理=7.2“(“+6)- SrJ-0 378(°)3. 运送冰山费

7、用费用由拖船的租金和加料消耗两部分组成.由表3知船的日租金取决于船型，船型 又由冰山的初始体积决定，记日租金为/(匕)，显然有4.0,V05x 105/( Vo) = - 6.2,5X1O5< V0<106(11)8.0,1()6< V0<107又因为当船速为"(km/h)时冰山抵达目的地所需天数为7 = = ,所以租金费 24“ it用为4()°/(勺.而整个航程的燃料消耗为Yq(u,Vt)由(10)式得运送冰山的总费用II伺为S(u.VQ)400/(%)u+ 7 2“( “ + 6)(12)4. 冰山运抵目的地后可获得水的体积将t=T代人(7)式

8、知，冰山运抵目的地后的体积为=r,j(13)注意到假设(3),则得到水的体积为%,人)=呻(再_2(5. 每立方米水所需费用记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为$(“,),由(12), (14)式显然有(” _ S( 1/ , *)八 u，("'*)_ W(J,Uu)(模型的求解这个模型归结为选择船速24和冰山初始体积匕，使(15)式表示的费用y(/AV()最 小，其中S(“,Vo)由(12), (4)式给出,W(“，匕)由(14), (4)式给出.由于/(Vo)是分 段函数，只能固泄一系列匕值对u求解.又因为由调査数据(表4,表5)得到的经验公式 是非常粗糙的，对船速24的

9、选取也不用太精细，所以没有必要用微分法求解这个极值问 题.表6是对几组(,“)值的计算结果，可知若选取最大的冰山初始体积Vo=1O7/h3 (肖然要租用大型拖船)，船速“ = 45km/h,每立方米水的费用约0.065英镑.33.544.5510?0.07230.06830.06490.06630.06585x 1060.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102衰6不同Vottt下毎立方米水的费用(英镑)结果分析得到的结果虽然小于海水淡化的费用(每立方米0. 1英镑)，但是模型中未考虑影响航行的种种不利因素，会拖长航行时间致使冰山抵达目的地后的体枳显著地小于模型中的v(w,V0,T).并且没有计算空船费等英他费用.专家们认为，只有当用 这个模型计算岀来的费用显著地小于海水淡化的费用时(弩如小一个数量级)，才