高数上册知识点汇编

1、好资料学习 高等数学上册知识点函数与极限一、函数(一)函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；1、反函数、复合函数、函数的运算；2、初等函数：幕函数、指数函 数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函、3数、反双曲函数；函数的连续性与间断点；4、xlim)f(xf(x) )f(x -:二函数 在连续ooxx o第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论.(二) 极限1、定义1) 数列极限xa N, , 0 N , limxa n “n

2、2) 函数极限丨 A xf 时，x 00 xflim()A ,，当 0xx()Oxx 0更多精品文档.好资料学习一-)xf()f(x limf(x) limf(x)右极限：左极限：00 x xxx00 )xf(x) x) A 存在 flimf( 00x xo 极限存在准则、2 夹 逼准则：1)x z(n ny ) 1)0nnnlimx aaz limy lim 2)nnnnn 2)单调有界准则：单调有界数列必有极限3、无穷小(大)量Olimlim则称为无穷大量则称为无穷小量；若1)定义：若 k阶无穷小 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、2)(O；Th1 ,存在，贝U lim li

3、mlim(无穷小代换)Th2 一4、求极限的方法1) 单调有界准则；2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：sinxlx Ilime 1 )(1 x) limlim xa) b)XX xxOOxx 0)(无穷小代换：5)xs in xta nxarcs in xarcta nx a)更多精品文档.学习-好资料121 cosxx b) 2xxe 1xa 1xIna) c)(xlog(1 x)xln(1 x) d) ( alna xx) 1(1 e)导数与微分二、导数(一)f(x) f(x) o(x)f lim 定义：1、ox Xxxoof(x) f(x) olimf)

4、(x左导数： ox xxxoof(x) f(x) o(x) flim 右导数： ox xxxoox)(xf (x) ff(x 函数点可导在00 0(xf),f(x)x yx) f(为曲线 几何意义：处的切线的斜率.2、在点oooxx)x)f(xf(点连续点可导3、可导与连续的关系：在在004、求导的方法1) 导数定义；2) 基本公式；3) 四则运算；4) 复合函数求导(链式法则)；5) 隐函数求导数；6) 参数方程求导；更多精品文档.学习-好资料7) 对数求导法.5、高阶导数2yddyd1)定义： 2dxdxdx n )(n)n kk(k)(V UVUC 公式：)2 Leibniznok (二

5、) 微分y f(x x) f(x) A x o( x) xA 无关与，其中 1)定义：.00 (x)dx x dyff(x) 可导，且2)可微与可导的关系：可微00三、微分中值定理与导数的应用(一) 中值定理f(x)满足：Rolle定理：若函数1、f(x) Ca,bf(x) D(a,b)f(a) f(b) ；2) 3)； ； 1)f(0(a,b),使则f(x)满足：2、 Lagrange中值定理：若函数f(x) Ca,bf(x) D(a,b)； 2)； 1)(b (a)(b) fa) f ), (a,b使 f(.则 f(x),F(x)满足:Cauchy中值定理：若函数(x) 0,x (a,b)

6、f(x),F(x) CFa,bf(x),F(x) D(a,b);1； 2)3)f( f(a)bf() (a,b),使 则更多精品文档.)()(bF()FaF好资料学习 洛必达法则(1再用注意、尽量先化简(有理化、无穷小代换、分离非零因子)洛必达法则！ 2X x1 coslim 女口： 4xtanox、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，2然后用洛必达法则!n nnba lim 女口： 2n3.洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的!“工十 cos(x2) 如:limX>4 0)Xx1 cos 如：lim:'兀一° sin x(三) Taylor公式n阶Tay

7、lor公式:(xf)2 0 ) xx) (x) f(x fx(x)( (fx?oooo2!(n)(n 1 )(fX)f(伽 O)(X X(XX)oo)!1(!n nxx 之间与.在ox on阶麦克劳林公式：当 时，成为o更多精品文档.学习-好资料(n)(n 1)f()ff(o)fo)(o n2 nlf(x) f(。) XXX X?)!1 n 1!2!n!( xo.与在之间 常见函数的麦克劳林公式：e111 nnX2XX 1 X X e? 1)! 12!n!(nx X o ;在之间，与 )sin1 (2m 1 3572mXXXX212m 1m X (1) sinx x ? 2)!1)!(2m !

8、3!57!(2m 1XX0；在之间, 与COS2m 2 62m24XXXX21m m2 cosx (1) x1 ?) 3 )!)!m(2!6!(2m 22!4xX 0;与在之间，4312nnn x1x)x x(xm x) ln(1 x) ( 1?)4m )(1 234n(n 1x 11 XO 在之间，与)n2)( 1)( 1)( 1)(1 ?n23 xxx(1 ) 1 xx ?)5!n2!3 1 n ) 1)?( n)(1 m x ， )!1n (x 1x10.与在之间，单调性及极值（四）(x) OfbaD)(fbaC)(fx ,x (,)x(f 则单调性判别法：、则若更多精品文档.学习-好资

9、料(x) 0f(fx)单调减少.单调增加；则若，则2、极值及其判定定理：xx)xf( )(xf(x)f 0.在为可导，若a)必要条件：的极值点，贝Soo0XX x)(xf 0x)f (，贝y若当第一充分条件：的邻域内可导，且 在 b)ooox xxx x Of (x)0 (xf)若当时，为极大值点；，时，当，贝S ooox xxx Ox)f (0 (xf)的，则，当时，时，为极小值点；若在ooo (xf)x 不是极值点.两侧不变号，则ox )(xf(x)f o of (x)，贝y , c)在 处二阶可导，且 第二充分条件：oooxxo fxf)(x) o(为极小值点若.为极大值点；若，则，则o

10、ooo3、凹凸性及其判断，拐点x xf(x) f(x)2121) x,x I, f(f)(x)f(x I 在上连续，若，则称 1)在区间 2i22x xf(x) f(x) 2112) ,x I f( x,f(x) I 在贝卩称， 上的图形是凹的；若区间21221.区间上的图形是凸的),(abf(x)a,b上有一阶、二阶导数，贝卩)判定定理：在上连续，在2 o(x)ba,),fx(b(x)a,f上的图形是凹的；则a) 若在，o( x a,b(x),f) a,b(fx).在若 b)则上的图形是凸的，X)(f)(y fxxy xf(I经)拐点：设3上连续，是的内点，如果曲线 在区间o)f)xf,(x

11、(,x(x(.过点曲线的凹凸性改变了，时，则称点为曲线的拐点0000 (五)不等式证明1、利用微分中值定理；、2利用函数单调性;更多精品文档.学习-好资料3、利用极值(最值).(六)方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.(七)渐近线f(x)lim a x铅直渐近线：1、为一条铅直渐近线；，则x af(x) blimb y水平渐近线：、为一条水平渐近线；，则2xf(x) klimb ) kxlimf(xbkx y斜渐近线：3、为一条斜 存在,则x x x渐近线.(八)图形描绘步骤：y f(x)的定义域，并考察其对称性及周期性；确定函

12、数1.(x)f(x)ff(x),f)(x为零和不存在的点；及2求并求出3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向，求出极值和拐点；4. 求渐近线；5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .四、不定积分(一) 概念和性质更多精品文档学习 好资料(x) f(xx)F)F(x)F( I 称为 原函数：在区间 ，则上，若函数 可导，且 1、f(x) 的一个原函数 .f(x)f(x) I 在区在区间的带有任意常数的原函数称为上，函数、 2 不 定积分： I 上的不定积分 间 .3、 基本积分表( P188 ，13 个公式)；4、性质(线性性) .(二) 换元积分法du)fdx f(x)(u(x) 1、 第一类

13、换元法(凑微分)：)(xut(t)d(tf(x)dx )f:第二类换元法(变量代换)、21 )x t(vduuv udv 分部积分法：(三)(四) 有理函数积分1、“拆”；2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).五、定积分(一) 概念与性质：nb X f()f(XdX lim)、定义：1iia0 1i2、性质：(7 条)f(x) a, ,abb，使(积分中值定理)7性质上连续，则函数在区间更多精品文档.学习-好资料b f(x)dxb a ()f ) f(a)(b(fx)dx )(平均值： ab a(二) 微积分基本公式(NL公式)x (x) f(x) dt) (tf (x 变上限积分：设

14、 1、，贝Sad (x)x)()(x ff(t)dt fx(x)(推广： dx (x)b f(x)dx F(b) F(a)xf( )F(x 则的一个原函数，为 N2、 L 公式：若a (三)换元法和分部积分btd(t)tf(x)dx )f、换元法：1 abb b vdu uvudv、分部积分法 :2aaa 反常积分(四)无穷积分：、1 t f(limx)dxf(x)dxaa tbb dxf(x)dx lim)f(x t tof(x)dx dx(fx)dx f(x 02、瑕积分：bb dx)(xx)dx limff(为瑕点)(ataattb dxx)dx) limf(xf(为瑕点)(b aabt

15、更多精品文档.学习-好资料 两个重要的反常积分：1P ,xdpi apx 1) al , p 1 p qi ) a(b1,q xdxdbbqlqq)X(X( a)b 2)aaq i六、定积分的应用(一) 平面图形的面积b (x) f(A fx)dx 1、直角坐标:1 22学习-好资料d() )(A极坐标：、2 122更多精品文档.体积(二)旋转体体积：1、x, a,x by f(x),xx轴旋转而成的旋转体的体积:轴，绕a)曲边梯形b2 dx(fV x)xax,x b,y f(x),x ay轴旋转而成的旋转体的体积：绕曲边梯形轴，b)b dxxV )2(xf 柱壳法)(yab AV (X)dX

16、 2、平行截面面积已知的立体：a (二)弧长b2 dx(x1 )s f 直角坐标：、1a 22 dt )(t( St)参数方程：2、22d)( (s )、3 极坐标：七、微分方程 (一)概 念更多精品文档.学习-好资料1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的 方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数 相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.(二)变量可分离的方程f(x)dxg(y)dy dx)x f(g(y)dy，两边积分(三)齐次型方程dyyydydu ()

17、u u x;，设，则dxxxdxdxdxxxdxdv ()v v y 或，设，贝S dyyydydy (四)（五）一阶线性微分方程dy P(x)y Q(x)dxdx）P（dx P（x）x Cdx）e xey Q（用常数变易法或用公式：（六）降阶的高阶微分方程可）（n） yfx（、1 次；，两边积分 nyp yy ,（y fxy）p ； 2,令（不显含有）、，则更多精品文档.学习-好资料dp py p）yy,yy f（x ），贝卩，令 3、（不显含有一.dy线性微分方程解的结构（七）yy Cy,yC也是；1、是齐次线性方程的解，则2i2i2iy,yCy Cy是 方程的通解；、是齐次线性方程的线性无关的特解，则22iii22*y Cy Cy yy,y为对应齐次方程的为非齐次方程的通解，其中3、 112221*y.线性无关的解，非齐次方程的特解 系数齐次线性微分方程 常（八）qy pyy0二阶常系数齐次线性方程：r,r20 q r pr特征方程：,特征根：2