可转债的定价模型及数值解法

1、决策参考可转债的定价模型及数值解法熊思灿杨志辉(东华理匸大学 数仃学院，江西 抚州344000)摘 要：文幸在不考虑违约风险和回隹条款的条件下给出了定价樓空；以海化转债为倒结合 蒙轻卡洛方法以及Crank-Nicolson有限星分格式得到了可转债的价格珞径:结果表明模型价格 味低于实际价格两者走势虽本保持一致：崔非转股期平切偏雄约3% ;而进入转股期后约10%。樓 型濒测价格与实际价格平均偏差约5%0关键词分方決汀衣特卡洛«拉中图分类号:F830.9 文献标识码：A文章编号:1002-6487(2(X)8)21 -(XM2-O344 统计与决第2008年E 21期（0E 273期）&

2、#169; 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 决策参考44 统计与决第2008年E 21期（0E 273期）© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 决策参考ava2s2 a2vdt 2aS2吟心。基金项目：口家自拔科学星金徴助項0(10161004)；东华理工大学杖长也金资助项目(DHXK0838)0引言可转换公司债券(简称可

3、转债)是指发行人依照法定程 序发行、在一定时间内依据约定的条件可以转换成般份的公 司僮券o可转债是普通公可债券和认股权证的组合，兼具慣 权和股权収敢属性是国际资本市场1世纪L、八十年代兴 起的一种混合金融产品(Hybrid Bonck)我国在1992年凶 次试点(宝安转券)，战止口前.已经发行约50 "只可转傥， n冇十多家公司拟发行可转债因此.对我国可转债的定价 研究具右虫婴的理论利现实总义 本丈在不考虑信用风险和 回售条款条件下9给出简化后的Avache Pursy th and Vetzal 模熨(简称为AFV模切 以海化转债(转债代码：125822) 为例.用Monte-Ca

4、rlo方法模拟股价运动.通过Cnmk- NicoUon技术求解模型；并给出海化转備的价格路径。1 定价模型设股价“)遵循儿何布朗运动dS(t)=jjiS(i(h+(rS(tXiZ(1)这里屮为期空冋报率<t为般票波动率.(IZ为标准布朗 运动由IS公式.以及对冲技巧.可得可转债的无套利价 格V(S(t),t)满足如下備徽分方程其中为无风险利率 ft设般解不分红，假设转股期及|»|瞇期为可转债的存续期，即从发行之日 至转债到期H .持冇人可在任何时刻选抒转般 发行公司6： 满足冋眩条件时实施I可赎.并设触发价为Sc。当S(t) WSc 或者S(t)>Sc，但未詢足回赎条件时

5、,若持有人继续持冇则>K(t)S(t)；LV=O若持右人终止持右，而选择转股.则V=K(t)S(t)；L>0表述为线性互补何题(Linear Complementary Problem)为I VK(»)S(t) ILVO(3)l(LV)(V-K(t)S(t)=O !当S(0>Sc，且溝足回赎条件时，发行公司实施藝冋,持仃 人可连择转股成接受嗾冋得到险即 =max(Bc,K(t)S(t)其中，K为I时刻转股比例,K(Q=F7P(i),F为面值,P(i)为 (时刻的转股价边界条件V(S.t)=S(t)K(t) (S-*oo)(4)当ST 时.可转债表现为纯债券其价値用贴

6、现 法得到。|>V(S.t)=B(t)= £飞 +Fe' (S-*0)(5)I SI.冀中，C为第i次在h时刻付息所支付的利息，io为I时 刻后第一次付息时刻,m为M后一次付息时刻.终值条件V(SJ>inaxE+Cl ,KCr)S(DI(6)持有人在到期日可以选择将可转債转换成股衆.也町以 兑付可转债获得本金和利息。利息支付是离敕的根据无套利原理利息支付H t. m 后可转债价他应満足0(),1：)訓如心 q(7)2数值求解格式在带状区域(S)IS>00 WIW T上构适网格:(SJlj二 12 jmU；n= 12 nIIMJ记V； =V(SPQ为转债在格点

7、I的价值 .j; AS|=0. AtII=tn-tft-i.n=23/ %小；Ati=() 距分割.在进行实证研究时也确实如此。方程L=0的显式趙分格式为ih! ntHlimIJ -2、和产+12方程L=0的隐式豊分格式为VT'-V" ：_2斗+出+AS；' ASgS,AS,=Sj-Sj_Hj=23, 本文允许不等间IMl -VHrS,_ +rV =0 AS+ASk t2侶)J+r； -02 2 _将(8)式和式乞乘以1/2仰相加得Crank-Nicokon 分格式。此时方LV=0变为如下的线性方程组乂忙户“:-比二彳* (2WjWj_1)'其中： _闵汕匚离

8、'ASSISTCij/2+b, C2j= 1 +rAtn+a, Cjj=a/2-bjC戸 1-a, ih!mInUvh!-二。片必调+C.V.,方程(10)可由Gauss-Sidel迭代法求解，考虔到线性互 补问題(3) 则rttUI； =max（10）+GXr+C,：）KSJ（k=02）（11）记向aVg(V：，才,V：J具体计算时,先给定初值V2,结合边界条件及终值条 件，求得'：T ,再由迭代公式(1 1)及初值、边界条件和终值条 件，求得'；a,如此下去，求得V二:，即得向蛀V2"。重复上述步驟可依次求得向就严(k=23,)，给定 精度叭迭代直至池数/

9、V -V lk£为止，即得可转債的价值向吐严才二旷二吃丫M厉再逐步倒推通复使用迭代公式(11).即可依次求出 v.v-.v'o从而得到每个格点对应的转傥价值V*(j= 12 .jiglQ, %“)o3实证研究选取海化转债(转债代码：125822)进行研究其基准般票 为山东海化(般紧代码:000822),基本条款为：发行额度(亿)：10；面额：100元；存续期间：5年；上市起始I ：2004-9-23；上市终止H :2009-9-7；初始转股价：7.15元；利率条款:年利率依次为1.5%,1.8% .2.1% 24% .2.7%:特别向下修iE条款：当任何连续30个交易H内右2

10、0个 交易H公mJ临漿收盘价格的算术平均伉不髙于当时转叹价 格的90%时公司嚴书会冇权向下修正转股价格；何住条款：公司般票收盘价连续20个交易H低于当期 转陀价的70%,何宦价格为可转债面值的103%：何赎条款：伍转股期内.若公司般膜收盘价连续20个交 易H岛于当期转般价的130%,则公川仃权按面值105%(含 当期利息)的价格藝冋全部或部分转债:3.1 最估计股价波动率：采取勿史渡动聿方法，设5为第i个交易 日的股票收盘价格(i=0.l.2 -.n,i=n)本文欲预测未来30天 的转債价值，悵据经毅法则取n=25记u.=logJ!_则股票年波动率"的估计为t=25O为年交易H数斤为

11、u(的均值:无风险利率：我们选择与海化转债有tn同剩余年限的国 债利率作为海化转债的无凤険利率海化转债涮余1.7534 年；国债998剩余1.7973年，利率为33% ；国债0210剩余 1.7096年，利率为2.39% 本文取均值2.845%作为海化转债 的无风险利率。转股价:海化转債初始转股价为7.15元,2005年5月 30 H W 105派1元.转般价调朋为4.70元。3.2 阿格构造II 2008年U1 2 H至2008年I丿30 II .山东海化叹 份冇限公词股衆连续20个交易H的收盘价高于半期转股价 的130% 满足了“海化转债'的赎回条款公司决定行使建回 权，“海化转債

12、"于2008年2月14日起停止交易。为了得到 海化转债的价格路径.我们收集了山东海化lit漿(000822)以 及海化转债(125822)从2004年9 23 H至2008年2丿7 II的历史收盘价(数据来源：证券之纯)°其中.2007年12 J1 7 IW的海化转债价格作为模型预测价格的对照数据统计町得毎年两為都右交易的交易日数M =232.203. 192.25,山于第四<1数据不足一年，因此我们假设第卩U年交 易H数为250.则M可以修订为M =232.203.192.250从 ifii,可在交易年区间0.1223"3,4中分別插人232.203. 1

13、92.250个分点.得到交易时刻tn.n=1.2/-.6O2表示历史交 易时刻.对未来30天交易时刻的股价使用Monte-Carlo方 法进行模拟设为当询时刻则lr- y 4 3Z其中；n=%+1 +2+30o将历史股价以及模拟股价排序.对相邻间距较大的般价 进行插值,可得股价从0至S.(例如取为初始股价的5倍) 区间的分点Sj=l2.ji 至此构造网格(利旳=12j.; n=12mi。込然皿二602+30=632。3.3 模空求蔽海化转债的冋赎条款规定，在转股期内若公司股票收 盘价连续20个交易H岛F当期转般价的130%,则公诃右权 按m 105%(含'耳期利息)的价格踐冋全部或部分

14、转债 因 此考虑冋赎条款后模电求解步骤为Stepl:n=lStep2:分如下情形进行讨论If S(U=0(i由(5)求得tn=n+lefaeif S0JWS( V(Q 由(11)求得,n=n+1ekeif S0JWS-如果连续20个交易日的股:价 都离于Sc,若持右人转股,V(Q=K(n)S(n),或者被回赎V(Q= Be.可转便终止交易；否则.返冋Slep2oelse V(tJ 由(6)求得 n=n+10在Matlal)7.0 ±编程求解町得图1图1海化转債的历史价格与按型价格(2.5729年转* 34K)6年开怡预测)从图1可以非常清晰地看到海化转債的历史价格以及 模型价格路轻

15、海化转n 2004年9刀23I (图1中的0 时刻)上市后价格在110元左右波动；半年后，即2005年3 JJ 7 H 进入转股期(图中所示的0.5年).2005年5刃30 n (0.6681年)因1()増5派1元股价从6.66元下降至4.39 元；同时转股价也由7.15元下调至4.70元.转债价格也小 幅卜趺:此麻股价血低迷,2007年年初(约2.33)股价开的冋升.在2.5729年可转债舆满足冋蝕条件按城优转换 策略持冇人应该选择转股(图中所示)此时转渍价格为 222元但实际上，此时发行公司并没冇启动回篆程胖，因为 冋陵会对公司财务造成很大压力，不到万不得已公司一般不 会选择何酸 所以海化

16、转债仍住市场I交易.转债价格之 后乂右陶次大的升降至2007年12 JJ 7 H(3年左右)转 债价格为294元< 通过模熨预测(图中所示).转债价格将冇 一次大的起落从图1我们还可以得出.模型价格与历史价 恪進势基本一致的巫要结论。在罪转股期，二者拟合较好.平 均備&约为2.92% 进人转股期，血至转股前，模型价格普遍 低于实际价恪.平均偏務约13.64%这是因为本文只考虑何 赎条款，急略I叫售条款.以及待为向下修止条款。回条款 投资者而言相卅于设置了一个收益上限，它对投资者的价偵 为负。相反，何售条款和特别向下修正条款则是保护投资肴 的,它对可转债的价值为正。从模型的預测价格

17、和实际的交 易价格走势来看(见图1中的下子图所示)，二者拟合效果作 常好,険测的海化转债价格对投资决策冇看很好的参考价 值，一*的平均儡总约为5烁。4结束语本文在不考虑违约风险和何住条款的条件下.简化了 A F模型；以海化转帧为例.运用蒙特卡罗方法模拟未来股 价，结合历史股价，进行排序、插値、构造网格；通过Gank- Nicolson有限建分格式求解偏微分方程.得到了可转债价格 随时间的变化路桧。该研究不同于单个时点(很多学者都针 对发行价进行定价研究)的定价研究，所用方法移植性好. 通过适当变化町以考虑更复杂悄形下的定价问题；所得结果 对投资决策仃一迄的参罟价KL不过，应该看到模型价格与 实

18、际价格冇一定備左，对于国外理论在国内转债市场的定价 合理性还有侍进一步研究C参考文献：| l|Biennan M.J. and E.S. Schwartz. CtHiveHible Bonds: aluation and Optional Strategies for Cal! and ConveiwionJ Journal of Finance. 1977. 32(5)2 INgcis<»lL J. A Qmlingenl Chimn Valuation of G>nveitil>lr Securities! J |. Jmnnal of Financial Economics. 1977,4(3).3 MecMi)elL J J. and Schwarlz«ELS. LYON Taming J. Joun