圆方程-圆的方程典型例题

1、WOR格式圆与方程-圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线yO上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径， 则点在圆上；若距离小于半径，贝y点在圆内.解法一：(待定系数法)2设圆的标准方程为2() 2(xa)ybr.圆心在yO上，故bO .圆的方程为一 222 (x a)yr .又该圆过 A(1,4)、B(3,2)两点.+ I -22_(1a)16r 22(3a)4r= 二2解

2、之得：al，20r.+ + 二2y2所以所求圆的方程为(1)20x.解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过 A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心 C必在线段AB的垂直平分线I上，又因为42k1，故I的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线I的方程为:AB13y3x2 即 xy10.=| | = + + =又知圆心在直线 yO上，故圆心坐标为 C(1 , 0)+ + =22二半径 rAC(11)420 .2y故所求圆的方程为(1)20又点P(2,4)到圆心C( 1, 0)的距离为22. dPC(21)425r二点P在圆外.专业资料整理WOR格式说明：本题利用两种方法求解了

3、圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后 根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何 来判定直线与圆的位置关系呢？word范文专业资料整理WOR格式2yfxy _ =例2求半径为4,与圆4240x相切，且和直线y0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆2()2一C:(xa)ybr .圆C与直线 y0相切，且半径为 4,则圆心C的坐标为(,4)Ca 或 C2(a,4).=+=I2yxy2又已知圆x4240 的圆心A± >1的坐标为 (2,1)，半径为3.若两圆相切，则 C

4、A437或CA431.+7(1)当 C(a,4)时,22(41)7+ 2(a2)，或2(41) 212(a2)(无解)，故可得a2210.所求圆方程为2(4)4 2(x2210)y，或(2)当 C2( a,4)时，22(41)7(a2)一 + V 2(4) 24牛=(x2210)y .2 22(41) 1(a2)(无解)，故a226.所求圆的方程为2(4)4(x226 ) y，或说明：对本题，易发生以下误解：22+_= 2 242= 土 V(x 226)y .由题意，所求圆与直线y0相切且半径为4,则圆心坐标为C( a ,4)，且方程形如2 24222yxy一(xa)y .又圆 x4240,即

5、A(2,1)，半径为3.若两圆相切，则CA43.故以欲求圆的方程为2(4)4 2(x2210)y，或2(1)3“= 22 -(x2)y，其圆心为2(41) 272(a2)，解之得a2210 .所2(4)422(x2210)y .上述误解只考虑了圆心在直线y0上方的情形，而疏漏了圆心在直线 y0下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况.也是不全面的.例3求经过点A(0,5)，且与直线x2y 0和2xy0都相切的圆的方程.专业资料整理WOR格式A，故只需确定圆心坐标.又分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：圆和直

6、线 x2y0与2xy0相切，二圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 x2y0和2xy0的距离相等.word范文专业资料整理WOR格式x2y x2 y + I55两直线交角的平分线方程是x3y0或3xy0 .又圆过点A(0,5),二圆心C只能在直线 3xy0 上.设圆心C(t,3t)T C到直线 2xy0的距离等于AC2t +3tt 2（35）t化简整理得t 26t50 .解得：t1或t5 圆心是(1,3)，半径为5或圆心是(5,15)，半径为55.2y2y*22所求圆的方程为(1)(3)5x 或(x 5)(15)125 .说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上

7、，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.例4、设圆满足： 截y轴所得弦长为2； (2) 被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1 ，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 I : x2y0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满足两个 条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线 的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方 程.解法一：设圆心为 P(a,b)，半径为r.则P到x轴、y轴的距离分别为b和a.由

8、题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截x轴所得弦长为2r . r22b2 +又圆截y轴所得弦长为2. r2a21 .专业资料整理WOR格式word范文专业资料整理WOR格式又 P(a,b)到直线x2y0的距离为a 2b225dab22a4b4abX +2bab222a42()2a22b1当且仅当ab时取“=”号，此时d. min这时有ab2a22b2b又22r2y2y2故所求圆的方程为(1)(1)2x 或(x1)(1)2解法二：同解法一，得a2bd.a2b5d.24b245bd5da.> 将a22b21代入上式得:2bdd2b45510.上述方程有实根，故专业资料整理WOR格

9、式28(5d1)0 ,5d.5word范文专业资料整理WOR格式5=i1db1又2b2a2. al十由a2b1知a、b同号.故所求圆的方程为(x1) 2(y1)22或(x1) 2(y1) 22.说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢?类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O: x2y24，求过点P2,4与圆0相切的切线.解：点P24不在圆0上，二切线 PT 的直线方程可设为 ykx24根据dr =2k4 2和21k解得所以243 k4呻-尸yx4即 3x4 y100因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x2 .说明

10、：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解).还可以运用2x、yo的值来解决，此时没有漏解三xoxyyr，求出切点坐标002222例6两圆0C:相交于A、B两C: xyDxEyF 与 2xyD2xE2yF20点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程.分析：首先求 A、B两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程 太繁.为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.解：设两圆G、C2的任一交点坐标为(x 0,y 0)，则有:22XoyDxEyF0010101专业资料整理WOR

11、格式22XoyDxEyFO 020202word范文专业资料整理WOR格式一得：()()0 =:;=<=；DDxEEyFF2012012 A、B 的坐标满足方程 ()()0ib-alp-_uDDxEEyFFnc'21212方程(D)()0 是过 A、B 两点的直线方程.IDxEEyFF21212又过 A、B 两点的直线是唯一的.两圆 C、C2 的公共弦 AB所在直线的方程为(D 10)x(E 1E2 )yF1F20.说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种“设而不求”

12、的技巧， 从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本 质认识.它的应用很广泛.例7、过圆x2y21外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线MA MB切点分别是 A、B,求直线 AB 的方程。练习：1. 求过点M(3,1)，且与圆22(x1)y4相切的直线I的方程.解：设切线方程为 y1k(x3)，即kxy3k10，圆心(1,0)到切线I的距离等于半径2，| k3k1|2k13 一 +二y1(x3)，即3x4y130，切线方程为_ 4_当过点 M的直线的斜率不存在时，其方程为 x3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线 x3 也适合题意。 i1

13、I:*IIJ所以，所求的直线一I的方程是3x4 y 130或x3 .丫 +52y2xy2、过坐标原点且与圆 x420相切的直线的方程为2解：设直线方程为ykx，即kxy0. T圆方程可化为2y2x2)(1)，圆心为-1 )，半径为10.依题意有22k 1102，解得k3或1k，直线方程为y3x或3专业资料整理WOR格式y x .32的值为2xy3、已知直线 5x12ya0与圆x20相切，则aword范文专业资料整理WOR格式5aV+225122y2，解得 a8 或 a18.解：圆(x1)1的圆心为(1, 0)，半径为1,1类型三：弦长、弧问题2yxy 2例&求直线l:3xy60 被圆:

14、240Cx截得的弦AB的长.3例9、直线3xy230截圆x4得的劣弧所对的圆心角为2d2解：依题意得，弦心距 d3,故弦长22ABr，从而 OAB是等边三角形，故截V 一7得的劣弧所对的圆心角为AOB.32yxy2y22例10、求两圆20x和x5勺公共弦长类型四：直线与圆的位置关系_<=厂2y2例11、已知直线3xy230和圆x4，判断此直线与已知圆的位置关系例12、若直线yxm与曲线= 2 =y4x有且只有一个公共点，求实数m的取值范围解：曲线22y2y _丨 * + 乂y4x表示半圆x4(0)，利用数形结合法，可得实数賢的取值范围是2m2或m22.眷 例13圆(x3) 2( y 3)

15、 29上到直线3x4 y 110的距离为1的点有几个?分析：借助图形直观求解.或先求出直线l、l 2的方程，从代数计算中寻找解 答.1专业资料整理WOR格式2y2解法一：圆(3)(3)9x的圆心为 0(3,3),半径r3 .334311设圆心0到直线3x4y110 的距离为d,贝U d23 .2234如图，在圆心 0同侧，与直线3x4 y 110平行且距离为1的直线li与圆有两个交点，这两 1个交点符合题意.word范文专业资料整理WOR格式r又 rd321 . 一 二与直线3x4 y 110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.3x4 y 110，且与之距离为1的直线和圆的交点.设

16、符合题意的点共有 3个.解法二：符合题意的点是平行于直线ml半所求直线为3x4ym0，则d1,二二 2才+-+-34 m115,即 m6,或 m16 也即+ = + =l 13x4 y 60 ,或 l 2:3x4 y 160 .22 设圆(3)(3)9O: xy的圆心到直线l 1、丨2的距离为d1、d2,则33436334316 d3 , d1 .1222223434 I 1与O相切，与圆O有一个公共点；l 2与圆O相交，与圆O有两个公共点.即符合题意的点共3个.| x +说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：-'V 十、334311设圆心O到直线3x4y110 的距离为d,贝U

17、 d23 .122圆O到3x4y 110距离为1的点有两个.显然，上述误解中的 d是圆心到直线 3x4y110 的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.至L条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所 求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关 系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.2y 2aya练习1:直线xy1与圆20(0)x没有公共点，贝U a的取值范围是专业资料整理WOR格式word范文专业资料整理WOR格式解：依题意有a<2,解得 21a2

18、1. T a0,. 0a21. 划 < v站 练习2:若直线ykx2与圆(x2)(3)12y2- 二有两个不同的交点，贝y k的取值范围，解得540k, k的取值范围是(0,).33是.2k1解：依题意有12 k12yxy23、圆X2430上到直线xy10的距离为2的点共有()._( A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个=昂22y xy2y2分析：把X2430化为X128,圆心为1, 2,半径为() ( )+(+)22，圆心到直线的距离为 2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2,所以选C.4、过点P3 4作直线1，当斜率为何值时，直线图所示.+ = ( + )分析：

19、观察动画演示，分析思路.解：设直线1的方程为y4kx3即0kxy3k40+根据dr有k 2 3k 421 k2整理得3k 2k 04解得4 0k.3专业资料整理WOR格式类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定?word范文专业资料整理WOR格式22例14、判断圆:2226260Gxyxy与圆C2：xy4 x2y40的位置关系，2yx2y y例15:圆x20和圆x40的公切线共有条。解：圆(x1) 值集合是.解：圆(xm) 2y24 的圆心为(,0)2ym Om半径“2,圆(x1)(2)9 的圆心为Q(1,2m),半径 r23,且两圆相切，二 OQri或 OQr21,.y21

20、 的圆心为(1,0)2yQ半径11 ,1圆 x(2)4的圆心为Q(0,2),半径 r2 ，二 OO5,rr3,rr1.221221亠r2rOO1r1212两圆相交-共有211212条公切线。练习2ymxm2yxmym1:若圆x240与圆X24480相切，则实数 m的取2m2m1222m或 m2,或 mO或(m1)(2)5 或(m1)(2)1 ，解得125实数m的取值集合是,0,2，.522y2:求与圆x5外切于点P(1,2)，且半径为25的圆的方程.2yb解：设所求圆的圆心为丿Oab ,则所求圆的方程为(x a)()20. 两圆外切于点(,)OO(1,2)ab , a3,b6 , 所求圆的方程

21、为(x3)(6)20.1332专业资料整理WOR格式类型六：圆中的对称问题 例 16、圆 222690xyxy关于直线2xy50对称的圆的方程是y例17自点A3,发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在M的直线与圆 C： x2y24x4y70 相切ACN(1) 求光线1和反射光线所在的直线方程.(2) 光线自A 到切点所经过的路程.分析、略解：观察动画演示，分析思路.根据对称关系，首先求出点AGOBxword范文A'图专业资料整理WOR格式的对称点 A的坐标为3，3,其次设过 A的圆C的切线方程为ykx33根据 dr ，即求出圆C的切线的斜率为43k或 k3 4进一步求出反射光

22、线所在的直线的方程为4x3y30 或 3x4 y 30-_=最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3 y 30 或 3x4 y 30 丰 一二222光路的距离为A'M ，可由勾股定理求得 AMACCM7说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解.类型七：圆中的最值问题2”xy _=+例 18:圆 44100x上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是解：圆(x2) 2(y2) 218的圆心为(2，2)，半径r32， /.圆心到直线的距离10d522r，是直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的(dr ) (dr)2r62.一 +22例 19(1)

23、已知圆 0:(3) 1，P(x,y) 为圆O上的动点，求1xy小值.22(2)已知圆Q:(x2)y1，P(x,y)为圆上任一点.求最大、最小值.2y2dx的最大、最y 2的最大、最小值，求x 1x2 y的分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.= + 0解：(1)(法1)由圆的标准方程(x3) 2(y4) 21 .x3 cos,可设圆的参数方程为*E十8(是参数).y4 sin,三 令胚2心 *门-:则 d 2y96coscos 168sinsin4 tan ).3x266cos8sin2610cos() (其中所以 dma261036, dmin2

24、61016.专业资料整理WOR格式word范文专业资料整理WOR格式（法2）圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d加上半径11 ，圆上点到原点距离的最小值吟于圆心到原点的距离d减去半径22所以d3416.122d3414 .2所以36d.maxd min 16 .0 -2y2e _（2）（法1）由（x2）1得圆的参数方程:x 2 cos是参数.y sin ,得 sintcos23t , 1tsin()23 t23 令0 一 0sin2 t cos3 s2_ +72 3t11 2sin()1v3333t .4所以厂 33max-=44即y 2的最大值为x 1033334433t.mi

25、n8二一箱，最小值为十.:此时 x2 y 2cos2sin25cos()如7 +两条切线的斜率分别是最大、最小值.专业资料整理WOR格式33k.42kk2由di,得21kword范文专业资料整理WOR格式222222+PAPBxyxyxyOP 设圆心为 C(3,4)，则 523OP minOCr22PAPB的最小值为238262.所以y k1 则m表示直线2xym在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最 1m大值与最小值.由1，解得m15,. 2xy +=的最大值为3333，最小值为X 144令x2yt ,同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值.由d1，得m25*"=-一

26、工75所以x2的最大值为25，慕小值为25.一一 十一=22| I例 20:已知 A(2,0)，B(2,0)，点 P在圆(x3)(4)42y2PAPB的最小上运动，则值是.I I +1 I =+ 一 + = + =*2m222 解：设 P(x,y)，则(2)(2)2()828练习:-2y21:已知点P(x,y)在圆x(1)1上运动.(1 )求 yx的最大值与最小值；(2 )求2xy的最大值与最小值.解：(1)设2yikx2+,则k表示点P(x,y)与点(2, 1)连线的斜率.当该直线与圆相切时， v最大值与最小值2k11 3的最大值为，最小值为2 3(2)设 2xym，的最大值为 15 ，最小

27、值为 15.Q=r-；：2 G2y22设点P(x,y)是圆x1是任一点，求= 0 4分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，x2y21 上任一点 P(cos,sin)解法一:u的取值范围.= 0 y2x1转化为三角问题来解决.则有 xcos , ysin0,2)sin2u ,. ucosusin2cosi专业资料整理WOR格式 ucossin(u2)2u(tanu)即 u1sin()2word范文专业资料整理WOR格式 sin()(u 2) =2u又 si n()1- Q 二u1解之得:分析二:< 3u.二-4y2u的几何意义是过圆x1上一动点和定点(1 , 2)的连线的斜率，利用x

28、12 y21有公共点，可确定出 u的取值范围.此直线与圆xy22y2u得：y2u(x1 )，此直线与圆x1有公共点，故点(0,0)到 x1u2 12u1解得：""34另外，直线y2u(x1)与圆A =x2y21的公共点还可以这样来处理:*4"+由 y2y2xu( 1)< 一一2 2 22x u uxu u 消去 y 后得：(1)(24)(43)0u,此方程有实根，故(2u 24u)24(u21)(u 24u3)0 ,解之得:说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，

29、使问题变得简捷方便.2y23、已知点 A(2,2),B(2,6),C(4,2) ，点P在圆x4上运动，求最大值和最小值.类型八：轨迹问题例21、基础训练：已知点M与两个定点0(0,0) , A(3,0)的距离的比为222PAPBPC 勺专业资料整理,求点M的轨迹方程WOR格式2y2AB例22、已知线段AB的端点B的坐标是（4, 3）,端点A在圆（x1）4上运动，求线段 的中点M的轨迹方程.word范文专业资料整理WOR格式2y例23如图所示，已知圆做圆O的切线，切点为O: 4与y轴的正方向交于 A点，点B在直线y2上运动，过x分析：按常规求轨迹的方法，设H(x,y) ，找x,y 的关系非常难.

30、由于H点随 B, C 点运动而运动，可考虑 H B, C 三点坐标之间的关系.亠、y解：设 H(x,y) , C(,) AHxCH则AHBC CHAB BC是切线所以 OC/AH, CH/OA,OCBCOAOC所以四边形 AOCF是菱形.所以CH0A2得y 2,X.22'y'y又C(,)满足4XX ,2y2x 所以(2)4(0)x即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时 应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知， 可考虑代入法.例24已知圆的方程为2*2x，圆内有定点P(a,

31、b)，圆周上有两个动点 A. B.cPAPB求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.专业资料整理WOR格式解法一：如图，在矩形 APBQ中，连结AB PQ交于M显然OMABABPQword范文专业资料整理WOR格式xayb22在直角三角形 AOM中，若设Q(x,y)，则) M(,.I I +1 I I I222由OMAMQ祁卩+ +_ H xaybl22() 2() 2()()xaybr 二2242 2 22yr a b2也即2()x，这便是Q的轨迹方程.解法二：设Q(x,y)、(,)+ =Axiy、B(x 2,y 2)，则1又22又PQAB

32、即+ + = +2yb xxyyrxxyy222(xa)()()()22(12I2).1212+222xiyr，1222x2yr - 2又AB与PQ的中点重合，故 xaxiX2, yby$2,即卩aaP2yb2r2xxyy(xa)()22( i21J 斗 一 2yrab2222+，有2()- x .亠 P这就是所求的轨迹方程.a -P 解法三：设 A(rcos,rsin) 、B(rcos,rsin) 、Q(x,y), 由于APBC为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有xarcosrcos ，ybrsinrsin ，rsinbrsinb又由PAPB有1专业资料整理WOR格式rcosarcosa2y

33、 2r2ab联立、消去、，即可得Q点的轨迹方程为2()22说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则， 将使解题陷入困境之中.本题给出三种解法.其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系.而解法word范文专业资料整理WOR格式二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法.解法二涉及到了X、X2、yi、y四个参1数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆2v 2 2 2 2 2 xa y ca xc ar2x的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可.上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法

34、求解.练习：2y20,则动点P1、由动点P向圆x1引两条切线 PA PB,切点分别为 A B, APB=60的轨迹方程是.匚丄 解：设 P(x,y). 上APB=60,. OPA=30 / OAAR OP2OA2： 2y2x,化简得x2y24,.动点P的轨迹方程是x2y24.练习巩固：设 A(c,0),B(c,0)(c0)a(a0)，求P点的轨迹.为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值ui= >T=PA解：设动点P的坐标为P(x,y).由a(a0)22(xc)y，得a22(xc)y化简得(1a)(1)2(1)(1)0.22c(1a)21a2ac22xc022221a(xc)

35、y()alal&亠 亠PB=当al时，化简得x0.1a为圆心，所以当al时，P点的轨迹是以(c,0)2 a1当a1时，P点的轨迹是y轴.专业资料整理WOR格式2、已知两定点A(2,0) , B(1,0)，如果动点P满足PA2PB,则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x,y).由PA2PB得22(1)222(x2)yxy，化简得(2y2x2)4 ,点P的轨迹是以(2, 0)为圆心，2为半径的圆，所求面积为4.word范文专业资料整理WOR格式12y*=-4、已知定点 B(3,0)，点A在圆x1上运动，M是线段AB上的一点，且 AMMB3问点M的轨迹是什么?解:设(,),(,)

36、(MxyAxy. AMMB, (xx 1, yyi)(3x,y)1(3 x)334x32y222.点A在圆x1上运动， 1X1y，1x1)()142y2，即339(2y2x) ,点M的轨迹方程是416392y2(x).4162y 2例5、已知定点B(3,0)，点A在圆x1上运动，AOB的平分线交"AB于点M则点M的轨迹方程是解：设(,),(,)MxyAxy.= + +OM是 AOB的平分线，1AMOA- AM1MB1MBOB3.由变 式31可得点M的轨迹方程是39(乌2x).4162y 宀 2练习巩固：已知直线 ykx1与圆x4相交于A、B两点，以OA OB为邻边作平行四边形+OAP

37、B求点 P的轨迹方程解：设P(x,y) , AB的中点为M. OAPB是平行四边形，二M是OP的中点，.点 M的坐标为x y(,)，且 OMABT 直线 ykx1 经过定点 C(0,1) , O,M- _ 二2 2丄xyxyx 2yy2y2OM化简得x(1)1. 点p的轨迹方程是_* CM(,)(,1 )()(1)022222222y2x(1)1.专业资料整理WOR格式类型九：圆的综合应用2yxym2例25、已知圆60x与直线x2y30 相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ求实数m的值.分析：设P、Q两点的坐标为(,)xiy、(x 2,y 2)，则由 kokoQl，可得 xiX2yiy20,

38、 1与圆的方再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为y，由直线Ixword范文专业资料整理WOR格式程构造以'为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出xkoP<OQ的值，从而使问题得以解决.解法-：设点P、Q的坐标为(,)koPc，即 lixyy1x .,也即:OQ212xx12另一方面，(,)Xiy、x2yx 2,y 2)是方程组的实数解，即x、X2是方0 12y2xymx62xm程 5104270x的两个根. 2X1X ,24m27xx .12又P、Q在直线x2y30上，十 +M1+- 93()吧濫擀x224*将代入，得-丫农m12将、代入，解得m

39、3.5m3, 代入方程，检验0成立,2y2xym解法二由直线方程可得3x2y，代入圆的方程 60-x，有1m22xy2xy(x2y)(x6y) (2)0,39整理，得(12m)x 24(m3)xy(4m27)y 20 .由于 x0 ，故可得yy2m(4m27)()4(m3)120xx专业资料整理WOR格式k, koQ是上述方程两根.故 kokod .得OP12 m，解得34m 271经检验可知 m3 为所求.说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点PQ存在.y的二次x解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅， 一气呵成之感.word范文专业资料整理WOR格式例26、已知对于圆x2( y1)21上任一点P(x , y)，不等式xymO恒成立，求实数 m的 取值范围.分析一：为了使不等式 xym0 恒成立，即込xym恒成立，只须使xym()min就行了.因此只要求出xy的最小值，m的范