二次根式训练经典题目汇总情况

1、WOR格式实用标准文案二次根式的混合运算二次根式的运算知识点及经典试题11 r知识点一：二次根式的乘法法则1 - T '，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘要点诠释：(1) 在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2) 该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：若二次根式相乘的结果能写成一厂的形式，则应化简，如 I .知识点二、积的算术平方根的性质; 1，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积要点诠释：21.在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都

2、必须满足 俺前才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等 式也就不能成立了；r形式的a移到根号外面(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有(3) 作用： 积的算术平方根的性质对二次根式化简利用JH（xo）(一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)(4)步骤：对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式利用积JJUJEA* 件j|UL的算术平方根的性质IL!即被开方数中的一些因式移到根号外被开方数中每个因数指数都要小雨2(5)被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、血 a二次根式的除法 法则：-BaO),即两个

3、二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(3)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.«>0, 4>0(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果 中分母不能带根号.文档大全专业资料整理WOR格式知识点四、商的算术平方根的性质 式的算术平方根除以除式的算术平方根即商的算术平方根等于被除要点诠释:题.1)利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问(2)步骤 利用 商的算术平方根的性质 分别对 a， , b利用积的算术平方根的性质

4、化简分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化(3)被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1. 定义：当二次根式满足以下两条：(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式要点诠释：(1) 最简二次根式中被开方数不含分母；(2) 最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2. 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1) 把根号下的代分数或绝对值大于1 的数化成假分数，把绝对

5、值小于1的小数化成分数；(2) 被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4) 将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5) 化去分母中的根号；(6)约分.3. 把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事:一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式.知识点六、同类二次根式逼i °1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式 就叫做同类二次根式.要点诠释：(1) 判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简

6、二次根式，再看被开方 数是否相同；(2) 几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因 式无关.2. 合并同类二次根式第2页共 27页专业资料整理WOR格式.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变 中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式;(3)不是同类二次根式，不能合并知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中 的同类二次根式进行合并 .对于没有合并的二次根式，仍要写到

7、结果中在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适 用.二次根式加减运算的步骤:(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式; 次根式结合为一组；(3) 合并同类二次根式.(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用要点诠释:(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，算括号里面的；先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用;(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根

8、式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是:rta1珂 * at?(alt-j(2)二次根式的加减类似于整式的加减， 同类二次根式合并 .二次根式运算的结果应尽可能化简关键是合并同类二次根式通常应先将二次根式化简，再把经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算 (1)解：第3页共 27页专业资料整理WOR格式=9匚X厂=SRa2、计算:+.0Q=屈.*1思路点拨:直接利用解：=2；=门 X 2=24帖4 16Va1 10,便可直接得出答案.3、化简衣4思路点拨：利用解：&qu

9、ot;=虫16' ：=2;648 =丽=2庞.=3X 4=12;X況iOD ；直接化简即可.=/*1 =4X 9=36; (3)JS1X100=X =9x 10=90;=XX =3xy=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:=8X=4X=412X一 X=4第4页共 27页专业资料整理WOR格式解： 不正确. 改正'=詁1 xI =2X 3=6;(2)不正确改正:4、化简:(1)=4 '厂思路点拨：直接利用5 >0)就可以达到化简之目的.举一反三【变式1】已知，且> 0思路点拨：式子为偶数，求(1+x)的值.因此得到9-xb>

10、0时才能成立.且x-6> 0,又因为x为偶数，所以x=8解：由题意得 6v x< 9,.原式=(1+x)=(1+x)“4x + l =(1+x)当x=8 时,原式的值5、计算(1)x(-(m>0, n>0)(2)-3解：(a> 0).原式=-2锲第5页共 27页专业资料整理WOR格式类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都 不是最简二次根式.解

11、： ：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下:也鸟 J:的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；： 和丁的被开方数中都含有分母；'和 -的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式总结升华：对于最简二次根式的判断，还要注意其中的“似非而是”，特别象一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，1 这样的式子， 带有很大的隐蔽性，更应格外小心7、把下列各式化成最简二次根式.(1) - ；(2)'；(3)(4)(5)思路点拨： 把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简解：第6页共 27页专业资料整理WOR格式类型三、同类二次根式&如果两个最简二次

12、根式聲妮丙 和血eIY?是同类二次根式，那么a、b的值是（）A.a=2 , b=1B.a=1 , b=2C.a=1 , b=-1D.a=1 , b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同f3d-£=2解：根据题意，得也+羽二2* =血+6解之，得 丨+-，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：（1）根指数是2 ； （2）被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与一心合并的是（） A.B.rrD.'思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的

13、被开方数是否相同， 如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并解:畫冷待毎皿喘合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值.思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?|b|简成，才由同类二次根式的定义得解：首先把根式由题意得事实上，根式不是最简二次根式，因此把3a-b=? 2 ，2a-b+6=4a+3b .应试/ F护嶷厂化为最简二次根式:,a=1, b=1.第7页共 27页专业资料整理WOR格式类型四、二次根式的加减运算(2)9、计算（1）第二步，将相同的最简二次根

14、思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式; 式进行合并.解：718=2 仍+3=(2+3)=4 石-8=(4-8)总结升华： 一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并 举一反三 【变式1】计算(1)3+3L.'(2)(昭超+般F )+(吶疣-='1 );|'解:(1)3厂-9-3 - +6- =(12-3+6)(2)(+)+(<18 +J* -/ =斗|p|r瀝1 一 1 一 y+J2 + 5 彳 i332【变式2】已知上;If ' *L： -!2.236，求（-)-(+ -）的值.（结果精确到0.01）第8页共 27页专业资料整理n号

15、J1-+3 可21)YVWOR格式类型五、二次根式的混合运算10、计算：（1）（+嬴;：械）八(4思路点拨： 二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律.解：（1）（(3 )略)2=10-7=3.类型六、化简求值 12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.(2x-1)2+(y-3)2=0,?再合并同=2x+ -x +5=x +6思路点拨： 本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得2即x= , y=3 .其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，类二次根式，最后代入求值.2 2解

16、：4x * -4x-6y+10=04x -4x+1+y -6y+9=02 2 (2x-1)+(y-3)=0 x= , y=3第9页共 27页专业资料整理WOR格式1当x= 一，y=3时，原式=_ x举一反三【变式1解：原式当 x= i , y=27 时，先化简，再求值. （6x+)-(4y)【变式2 .已知x=,），其中x=1的值.二，y=27.类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm x 30cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x,

17、贝y x2x 10=30 x 30x 20, x 2=30x 30 x 2,x= x =30旃Q% 30；答：铁桶的底面边长是30 厘米.7214、如图所示的 Rt ABC中，/ B=90。，点P从点B开始沿BA边以1厘米/ ?秒的速度向点A移动；同时，点 Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向 点C移动.问：几秒后 PBQ的面积为35平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？（结果 用最简二次根式表示）15 、探究过程：观察下列各式及其验证过程.第10页共27页专业资料整理WOR格式(1)2验证:2x(2)3验证:X同理可得:47?5通过上述探究你能猜测出:(a > 0)，并验证你的结论.

18、:.=一=-解：a验证：a1(23 -"2+23(3 1)+315总结升华： 解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所 求问题的结果，有利于提高综合分析能力【变式1】对于题目“化简求值:1主a22，其中a=a21 ”，甲、乙两个学生的解答不同.甲的解答是:乙的解答是:1a22a21a2-2a2aa1aa=1 +=1 +1 +(1 - a)2 = 1+a- 12a=-1=a=谁的解答是错误的？为什么?第11页共27页专业资料整理WOR格式跟踪练习21.1二次根式:1.使式子x 4有意义的条件是。2.时，>x苛2十J1 2x有意义。O有意义，则m的

19、取值范围是。4.时，5.在实数范围内分解因式:厂6.若 4x22x ,则x的取值范围是7.已知.2 x，则取值范围是8.化简:的结果是9.v(x12.13.D.15.D.16.D.17.52+ x10.在式(A.2个14.afJ各式一定是二次根式的是 (2a 1b1ax的根号外的因式移到根号内等于x 1 X成1立的条件是B. 311.2005一2b0 ,2 , y 14互为相反数，则a b2 ,x2 x320 ,3 ,xx1 ,次根式有个 C. 4D. 5A.B.3 2mC.a21等于(A.5 2aB.1 2aC.2a+A.a2 4 B.a22C.31 a 化简后为(专业资料整理WOR格式第1

20、2页共27页专业资料整理WOR格式A. a1 -aB.C. a 1 JI a -D.18.能使等式成立的x 2x的取值范围是（)A.D.19.计算:if2a 1一)1 2a2的值是（)A. 0 B.4a2 C.2 4a D.7-223HI 川121,12233I山川川1111川II川11()4A.B. 2 C.3 D.21.y y24 y 40 ,求 xy 的值。22.当a取什么值时，代数式 2a '1 1取值最小，并求出这个最小值。23.化简：I168a2bc2(1)2700;(2) 20 - 16 ;(3)81；(4)专业资料整理WOR格式第13页共27页专业资料整理WOR格式20

21、13 442 2z2X 1r施/、/（3）5；（6）432a b ；（7） a + a b ;（8 ）- 54汐1.当 a 0 , b y 0 时，21.2 二次根式的乘除2. 若 2m n -和.3 m n -都是最简二次根式，则 m ,n =4.计算 （精确到 0.01）。6.3.计 算：2 <T =； 369鼻三（>r48- 3 "27r3 -。5.长方形的宽为 3，面积为26，则长方形的长约为式不是最简二次根式的是（2A.a 1B.2x - 1C.2b4D.7. 已知xy >0， 化简二次根式 x一 y的正确结果为（2xA.y b.C.8. 对于所有实数a,

22、b ，下列等式总能成立的是（）L _ 2,-a2 b2 2 _ a2b2D.A.（Ja 一灯匕）=a bB.Ja2 + a 弔C.2a b "a b9. 2- 3和 3 2的大小关系是（）A.-2 也 r 3B.一 2" - 3 ' 一C.D.不能确定10. 对于二次根式x29，以下说法中不正确的是（）B.它是一个无理数C.它是最简二次根式A.它是一个非负数D.它的最小值为 311. 计算：第14页共27页专业资料整理WOR格式2 .5 x 3 x3(3 .5yb(/ 申 3b a( 0, b 012. 化简:13. 把根号外的因式移到根号内:(1 J -5 FV5

23、第15页共27页专业资料整理WOR格式21.3 二次根式的加减1.下列根式中，与3是同类二次根式的是（)A.24B.12C.2.下面说法正确的是（）A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与，80是同类二次根式C.1不是同类二次根式D.同类二次根式是根50指数为2的根式ab3.与 a b不是同类二次根式的是（A.B.C.ab:b D.3 a4.-7珂式中'是最简二次根式的是（)A.0.2bB.12a12b C.D. F5.若 1 x 2 ，贝 V4 4x xX22 x 1化简的结果是（C. 3D. -36.若18 x 2 xx22 10 ,x的值等于（)A. 4)A.2x1B.

24、B.土2C.2D.7.若3的整数部分为x,小数部分为y ，贝U 3xy的值是（)A. 3 33 B. 3C. 1D. 38.B.a2b2a b C.D.3 29.在 8,12,18,20 中，与2是同类二次根式的是专业资料整理WOR格式第16页共27页专业资料整理WOR格式10.若最简二次根式a 1謬a飞5与 护b石4a是同类二次根式，则11. 一个三角形的三边长分别为8cm, 12cm,. 18cm.，则它的周长是cm12.若最简二次根式31是同类二次根式，则00216.计算:.74374317.X 知 已2X2TOO2O-15 -2483 3.48'亦认需2”2.12 13 12-

25、12 IJ1(5 )aa(6iI a J VaV a9x31 y 3 ) (4x1 14 y25)4x)33 y2已知:1 1012的值。专业资料整理WOR格式第17页共27页专业资料整理WOR格式18.已知:x, y 为实数，且y:出3 ,化简:19. 已知.解答题x 3y （共计算：（1）（1）计算:化简：（1）0, 求30 小题）| - 1|+ (- 2 )-2) 0 - |(7 -n)(2)+匚 +（2）化简：（1+）+ （ 2x -(2)( x+y)2第18页共27页专业资料整理WOR格式4 ( 1)计算：语二静一例Q)-12(2 )-: -aa5 .化简或解方程组: * ；1(2)

26、6.(1 )计算(2 )分解因式(x+2 )( x+4) +x2-4.(2)8.(1 )计算诵(2)解不等式组4 (x+4) <C3 (x+6)9 .计算：(1) 二 _ 1 _ /、/ 1 , 1 a+b ：.第19页共27页专业资料整理WOR格式10 .计算:(2)11.化简下列各式：（1）12 .( 1)计算:./Iv_ 1一2_护'* 4'寸¥(2)化简：一.243213 .( 1)计算:(2)化简：(-r ) ? 此b a b214 计算：(1)I'(2)«/g+ ()'-( v/r - 1).y O 、建f' V w

27、1- f ' V u5.( 1 )-72+2X(-3 ) 2+ (- 6 )*(-)2(2) 2 .-6 -)-1V3216 .计算与化简（1 ）(2)第20页共27页专业资料整理WOR格式17 .计算：（1）忘京门：占m-打了；(2)18 .计算:二(丽+：) I - 431+1 2,(2)針(I19. ( 1 )计算區x(翻-2(2)计算（汽_ 亠）（讥2 a+b.b 1制20 .计算：(1)(2)(5+Ve)(WVWJ)22 . ( 1 )22 .计算:H(4)1 V5+7F7F1 x -1 *11W5討嚅煜（1）（2 挪二雷一)x第21页共27页专业资料整理：決Q爾5（- 一

28、+. 11+ -") 1 abWOR格式23.( 1 )计算：|- 2|-( 2 - -)0+ (-2(2)化简: - ；Vb(4)计算：(x+2 )( x - 2 ) +x (3 - x)24 .计算:1)(2)(2+V3)颂阳(2- Q如叫需)| °+|J3-26 .计算:(1)(- 1 )2 - |2- 3 |-(-3)3 ； (2)0.9ax3)27 .计算与化简:4a)2? a71)- - -:(2)(- 3a3) 2? a3-( 5a3) 3+ (-第22页共27页专业资料整理WOR格式(3)( a+1 ) 2- 2 (a+1) ( a 1) +3(a 1) 2

29、(4)(2 )化简： 刑、厂叮厂129 .解下列各题:(1)解方程组：(2x+y=3I 3x-5y=ll第23页共27页专业资料整理WOR格式二次根式的混合运算参考答案与试题解析一.解答题(共 30小题)解：(1)| - 1|+ (- 2 ) 2+ (7n) °-( _ )T = 1+4+1 3=3 ;皿 后荷+価 阪血 左+2届4+恭1F*/ 2.解：（1）原式=1 - |-2+- |x(- )=1 -( 2 -)x(If u 7)=1+ - 1 =(2)原式=-+ - '= +1' =x+1.XXXK3C3.解：(1)原式二-.,(1 分)=4 - 2,( 2 分

30、)=2 (3 分)(2)原式=x2+2xy+y2 - x2+2xy - y2,( 2 分)=4xy (4 分)4 .解：原式=看呼总吗孑1脳(4分)=食陋迓(5分)n=豊；1ij2心、a" b <*2ab - b ># 亠、初 盾十 _ a b a" 2aH b八、(2)-:解：原式=(2 分)aaaar (5 分)b5.解：（1）原式二（3 - 2）X8. 解:1）原式=3IlT Jf M - g +1=（2）由-得：y=3 ,把y=3代入得：x= - 2 ,方程组的解为6 .解：（1）原式=垃嵋厂逊协三财仏 =7=2;(2)原式=(x+2 ) ( x+4 )

31、 + (x+2) (x - 2) = ( x+2 ) (x+4) + (x - 2) =( x+2 ) ( 2x+2 )=2 ( x+2 )( x+1).7 .解：(1)原式=3- 3- 1= - 1;a+1(a+11 y1)(2)原式=?-仁a+1-仁a.a" 1a±l由得 x+1 > 3 x，即 x > 1;由得 4x+16 v 3x+18，即 x v 2 ;不等式组的解集为 1v x v 2 .第24页共27页专业资料整理WOR格式9.解:=8+5(1)(4)5=3+5(2)10 .解:11 .(1 )原式=5 +2 ':- 21=- 14;( 2

32、)原式=xy - 2y+x.I 求 +1 1 r I v 解：(1 )原式二(X 1 )(x+1 )12 .解：(1)原式=1 X 4X- 8=1 X 4X 4 - 8=8;( 2 )原式-2 _: - 3+仁-2;13 .解：(1 )原式=3 匚-3 (暴+1) +仁3- 3（2）原式a - fcab 1=ab (a+b) ( a * b)a+b点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运 算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幕和分式的混合运算.14.解：(1 )原式=2+1 - 5+瓠1L=;(2)原式=2+4 -( 5 - 1) =2+4

33、 - 4=2 .15.( 1)解：原式=-49+2X 9+ (- 6 ) X 9= - 49+18- 54= - 85;2=4- 2- 2=2- 2.（2）解：原式=4- 6 X站g16.解：（1 ）原式=（4(2)原式=2a2'' |S+3a? 5a. 2a -i 1 nXAl31 sa17 .解：（1 ）18 .解：（1 ）(2)原式=2=2 -1+7=3-原式原式；f rjV 2车!c 4 - 口1 =8 - ；(一 -1 ) +4+ ('(2_)Ki原式=1+轨冷+3+：片-1）-+1=5.+4+ 2 - 1 = 3Q2+119 .解：（1原式=2: 'X(2)原式=-)=2 七? : 20 .解:(2)原式=25(1 )原式=,IlE亠 n10 1X血爭* fX 2 =25a" (ab)n-15-10 1+10 >-6 2 =19 V 2 ；第25页共27页专业资料整理WOR格式（3）原式=27X-（4）原式+ ¥匚21.解：（1 )原式=9