试验十三二项分布的计算与中心极限定

1、实验十三 二项分布的计算与中心极限定实验目的1. 研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件2. 检验中心极限定理 1引言.项分布在概率论中占有很重要的地位。N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概率有下式给出b k; n, pCri pk 1,k=0,1,2,.n.二项分布的值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了 b(k;n.p)的数值。在实际应用中。通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在本实验中，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，

2、在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理Liderberg-Levi中心极限定理。 2实验内容与练习1. 1二项分布的Poisson逼近用 Mathematica 软件可以比较方便地求出二项分布的数值。例如 n=20;p=0,1;TableB in omial n, k*pAk*(1-p)( n-k),k,0,20给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,.,20)的值。联系 1 用 Mathematica 软件给出 了 b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b(k;20,0.5)(k=0,1,2,.,20)的值。我们可用Mathematica软件画出上述数

3、据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的(连线)散点图(图 13。1):LISTpOLTtableBi nomi al20,k*0.1Ak*0.9A(20-k),b k; n, pk kCn pk 1k,0,20,PlotJoi ned-True图 13.1b(k;20,0.1)(k=1,1,2,20)的散点图练习 2 绘出 b(l;20,0.3) 与 b(k;20,0.5)(k=0,1,2,20)的散点图根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。定理13。1在Bernoulli实验中，以Pn代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总 数有关.如果npn入，则当n

4、is时,kb k; n, p e k由定理13 ,1在 n很大，p很小，而入=np大小适中时，有b k; n.pc k pk 1n.,100) 与练习 3 用 Poisson 逼近给出 b(k;100,0.01)(k=0,1,2, b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,1000)的近似值，并与它们的精确值比较，表13, 1二项分布的Poisson逼近kB1(k)B2(k)P(k)R1(k)R2(k)03.6603210-13.6769510-13.6787910-11.8510-31.8410-413.6973010-13.6806310-13.6787910-11.8510-31.

5、8410-421.8486510-11.8403210-11.8349010-19.2510-49.2010-536.0999210-26.1282510-26.1316210-23.1410-43.0710-541.4941710-21.5290010-21.5328310-23.8710-43.8310-552.8977910-33.0488110-33.0656610-31.6810-41.6910-564.6345110-45.0610010-45.1094410-44.7510-54.8410-676.2863510-57.1938110-57.2992010-51.0110-51.

6、0510-687.3816910-68.9382610-69.1239910-61.7410-61.8610-797.6219510-79.8618110-71.0137810-62.5210-72.7610-8107.0060410-89.7828410-81.0137810-73.1310-83.5510-9表 13。1 给出了 b(k;100.0.01)(k=0,1,2,10)(表 中即位 b1(k) 与b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,.10)(记为 b2(k)的 Poisson 逼近的近似值记为 p9k)与它们的精确值的比较，其中 r1(k)=/b1(k)-p9k) /

7、,r2(k)=/b2(k)-p(k)/从表 13。1 可以看出，用Poisson 分布来计算 b(k;1000,0.001) 比 b(k;100,0.01)的效果好得多，我们可以画出它们的散点图(图 13。2)来观察近似计算的效果，下面的程序给出了b(k;20,0.1)Clear n, k,l,p,b ;bk_. n_. p_Bi no mialn, kpA klp al2.0; n20;pl n;t1Tablek,Nb k, n,pJk, 0,20 ;g1ListPlott1,PlotJoi nedTrue,PlotStyleGrayLevel0.2,Thicknes0.001PlotRa

8、nge0.20 ,0,0.3pas k_, n_,p_ :lA kkExp 1t2Tablek,Npas k,n,p,k,0, 20 ;g2listPlott2,PlotJoi nedtrue,PlotStyleDashi ngPlotRa ngeShow g1, g2 ;0.1GrayLevel0.002, Thickness0.010, 20 ,0, 0.3;似计算的精确值的比较图13。2b(k;20,0.1) 的Poisson近似计算的精确值的比较练习4绘出b(k;1OO,O.O1) 与b(k;1OOO,O.OO1)的近似计算与精确计算的散点图。那么n,p,入。到底取何值时，我们可以用P

9、oisson分布来近似计算二项分布的值呢？我们可以用误差来作为衡量标准评价缉私的效果若n与p给定，则b(k;n,p)与其Piosson逼近的误差是的k函数；根据上式可以定义二项分布的Poisson逼近的误差定义13。2若n,p给定，我们定义二项分布b(k;n,p)(k=0,1,p)的Poisson逼近的误差为；差通过简单的程序运算我们可以求得；p100,0.01=1.85*10-3 p1000,0.00仁1.84*10-4练习5通过编程求出在 n=10,100,1000 与10000,入=0.1,1 与10时，二项分布的Poisson逼近的误差，填入表 13, 2;表13。2二项分布的Pois

10、son逼近的误差表n入0.11.010.0101001.8510-310001.8410-410000你能从中发现什么规律那？在一定条件下我们可以认为，若绝对误差p10-3，不能接受计算结果，即此时不能用Poisson逼近来缉私计算二项分布的值，若n=1000,p=0.001，贝U p1000,0.00仁1.8410-4=10-3，必须n=185练习6在入=0.1,0.5,2.0,5.0,10.0 时，n取何值，可使绝对误差p=10-3 ?图13。3Poisson逼近的误差(入=1)练习7若误差标准该为p ：时，有1-1 k npexp2 1cnkpkqknpq2npq图13.4b(k;20,

11、0.1)的正态逼近近似计算与精确的比较。图13。5用另一种图13。4是b(k;20,0.1) 的正态逼近的近似值与精确的比较的散点图 方式更直观地显示出逼近的效果。图13。5中，阶梯函数给出概率Gkpkqn-k,而曲线则给出对应的正态分布密度函数。其Mathematica程序如下：n20; p0.1;q 1p;tabTableBino mialn, kpA k1p an k ,k, 0.20f k_: GraphicsGrayLevel0.5,Recta nglek0.5,0 ,k 0.5,tabk 1g1JTable f kk,0, 20Jh x_:1 Sqrt2Pi n pqExpxpSq

12、rt np q a 22.0Jg2Plot h x ,x,2.0,15JPlotRa nge2, 15 ,0, 0.3;Show g1, g2, PlotRange2, 15 ,0, 0.3, Axes True由于n的取值比较小，我们可以看出，近似的效果不是很好。练习 9 用正态逼近给出 b(k;100,0.01)(k=0,1,2,100)与 b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,1000)的近似值，与它们的精确值作比较。做出近似计算与精确计算的散点图。练习10 做出b(k;100,0.01) 与b(k;1000,0.001)的阶梯函数与对应的正态分布密度函=数曲线，观察其效果。若

13、n与p给定，我们也可以定义二项分布b(k;n,p) (k=0,1,2,n)的正态逼近的误差为：Nk,p =maxN,p(k)=max|Cnkpkqn-k-(1/. npq )(1/. 2)exp(-(1/2)(k-np)/ . npq A2)是、式中 q=1-p.练习11 若分别取0.1,0.5,1.0,2.0,5.0,10.0,n取何值时，可使绝对误差”=10人-3?练习12 n ,p取何值时，可以用正态逼近来近似计算二项分布的值。练习13 比较二项分布的 Poisson逼近与正态逼近的优劣。2. 3中心极限定理的验证1. 正态分布的假设检验在实际应用中，有许多随机数据都可以看作来自于正态分

14、布。那么，如何检验一批数 据是否来自于正态分布呢？按照国家标准，我们采用D检验来判断随机数据的正态性。下面通过一个例子介绍 D检验的过程。例下面是某种刀具生产的合格零件个数(已用 Mathematica语句的形式给出)，判断它们是否满足正态分布：t=459,362,624,509,584,433,748,815,505,612,452,434,982,640,742,565,706,593,680,926,653,164487,734,608,428,1153,593,844,527,552,513,781,474,388,824,538,862,659,775,859,755,649,697

15、,515,628,954,771,609,402,960,885,610,292,837,473,677,358,638,699,634,555,570,84,416,606,1062,484,120,447,654,564,339,280,246,687,539,790,581, 62,724,531,512,577,496,468,499,544,645, 764,558,378,765,666,763,217,715,310,851,解 (1)将100个数据按非减次序排列：X (1) =X( 2) = =X 100)(2) 计算统计量(其中n=100,X是数据样本的均值)：计算统计量；Y

16、=D0.28209479)0.02998598(4) 给定检验水平a =0.05,查表得临界值 Za/2,； =-2.54 及乙一 “/2 =1.31.(5) 若Z a/2YZ- a/2.,则接受正态分布假设，否则拒绝正态分布假设。经计算得Y=-1.2933,显然-2 .54-1.29331.31,接受正态分布假设.D检验的Mathematica程序如下：Fata1:=Modulez1=-0.54,z2=1.31,dada=Sortdada1,N=Le ngthdada;Mea n=Sumdadak,k,1, n/n;D1= Sum(k- (n+1)/2)*dadak,k,1, n;D2=(S

17、qrt n)ASqrtSum(dadak-mea n)A2,k,1, n;D=d1/d1;Y=Sqrt n *(d-0.28209479)/0.02998598;Result=lfz1yz2,1,0;Returnresult;Ft运行该程序(运行程序前已将题给数据 t输入)，得ft的结果为1,表示通过正态检验。 当 然，我们可将程序中 Ifz1yz2 ,1,0 语句改为lfz1yz2,Print “succeed ”,Print“fail ” 来输入是否通过检验的信息。D检验的几个常用的临界值见表13.3表13.3 D检验的临界值表a /n0.0050.0250.050.950.9750.99

18、5100-3.57-2.54-2.071.141.311.59200-3.30-2.39-1.961.291.501.85500-3.04-2.24-2.851.421.672.111000-2.91-2.16-1.791.491.752.25练习14用Mathmatica软件产生2000个标准正态分布的伪随机数（参见实验十二），用D检验的方法检验其正态性。2 中心极限定理的检验F面我们来研究一个重要的中心极限定理。定理13.3(Liderberg_Levi) 设& 1, e 2,e n,是一串相互独立相同分布的随机变量,且.2EE i=m, D E =,对于标准化随机变量之和E n=1/(T

19、 E( E i-m),2在0 b 时，有-t2/2LimP E nx=1/2 / e dt.我们先讨论相互独立的随机变量E i (每个E i服从二项分布b (k; 20, 0.1 ) (1=1,2,)之和的极限情况。已知 EE i =m=2， DE i =b 2=1.8, 考虑标准化随机变量之和E n=1/ b 刀(E i-m).对于固定的n,我们每次Mathematica软件模拟100个分布E n的随机数，然后D用检验来判 定其是否能通过正态分布检验 . 重复一定的次数 ,观测其能通过正态分布检验的比率 .在下面 的程序中 , 我们取 n=30( 程序中的 number)Statistics

20、 Disstributions rndn_,p_:=RandomBionmialDistributionn,p;Cleark,c,a;Whole=25;number=30;s=0,c=0;Nn=20;pp=0.1;nu=nn*pp;sigma=Sqrtnn*(1-pp);Forj=1,j=whole,j+,A=;ForI=1,ITrue,PlotStyle-Graylever0.1,Dashi ng0.02,Thickn ess0.01,PlotRa nge-0,20,0,0.3;上述语句中PlotStyle 的三个选项的含义： Graylever0.5图形的灰度值为0.5.(2) Dash

21、in g0.02图形为虚线，其中虚线长度为0.02.(3) Thickness0.01图形为粗线，线的宽度值为0.01. D=(3) 计算统计量；Y=0.28209479)0.02998598(4) 给定检验水平a =0.05,查表得临界值 Za/2,; =-2.54 及乙一 a/2 =1.31.(5) 若Z a/2YZ- a/2.,则接受正态分布假设，否则拒绝正态分布假设。经计算得Y=-1.2933,显然-2 .54-1.29331.31,接受正态分布假设.D检验的Mathematica程序如下：Fata1:=Modulez1=-0.54,z2=1.31,dada=Sortdada1,N=L

22、e ngthdada;Mea n=Sumdadak,k,1, n/in;D1= Sum(k- (n+1)/2)*dadak,k,1, n;D2=(Sqrt n)ASqrtSum(dadak-mea n)A2,k,1, n;D=d1/d1;Y=Sqrt n *(d-0.28209479)/0.02998598;Result=Ifz1yz2,1,0;Returnresult;Ft运行该程序(运行程序前已将题给数据 t输入)，得ft的结果为1,表示通过正态检验。 当 然，我们可将程序中 Ifz1yz2 ,1,0 语句改为lfz1yz2,Print “succeed ”,Print“fail ” 来输入是否通过检验的信息。D检验的几个常用的临界值见表13.3表13.3 D检验的临界值表a /n0.0050.0250.050.950.9750.995100-3.57-2.54-2.071.141.311.59200-3.30-2.39-1.961.291.501.85500-3.04-2.24-2.851.421.672.111000-2.91-2.16-1.791.491.752.25练习14用Mathmatica软件产生2000个标准正态分布的伪随机数(参见实验十二)，用D检验的方法检验其正态性。2 中心极限定理的检验下面我们来研究一个重要的中心