恒成立能成立问题总结(学生版)

1、恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决精品资料对于一次函数 f（X）= kx+b（k H 0）, X 亡m, n有:、|kA0iJkc0rf(m)A0f(X):>0恒成立 u J或 j二 J 'if(m)>0f( n)>0f (n)>0f(x).0 恒成立二 r(m0lf(n)<02 例1若不等式2x-lAmx -m对满足-2<m<2的所有m都成立，求x的范 围。练习:若不等式ax-lcO对x迂1,2 恒成立，求实数a的取值范围。（2）对于0<p<4的一切实数，不等式X2 + px&

2、gt;4x+ P-3恒成立，求x的取值范围。（答案：盂>3或EU-1）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数 f(x)=ax2 +bx+ c:>0(aH0) 有:(1) f(x):>0 在 xR 上恒成立二 a>0 且 A < 0 ；(2) f(x)v0在X 亡 R上恒成立 u a< 0fii <0（3）当a >0时，若f（X）0在a, P上恒成立吕 一旦 wa la < 一丄 < P 1丄 A P 2a 或 i 2a 或 i 2af (ot)0 A <0f (P) >0若 f(x

3、)c0在ot,P上恒成立二f(：)*0fp-0(p) >0lf(P)<0（4）当a co时，若f（X）>0在0 P上恒成立吕<I bLb n I b n若f(x)<0在£ p上恒成立二I"27<°或兰"27兰P或-需P lf(a)A0A<0if(P)cO2例2若关于x的二次不等式：ax2+(a-1)x+a-1 cO的解集为R，求a的取值范围.练习：1、已知函数y = Jmx2 -6mx + m+8的定义域为R，求实数m的取值范围。2、已知函数f(x) =X2 -2kx+2在(-1，垃)时f(x)>k恒成立，

4、求实数k的取值范围。(答案-3<k<1)(三) 、利用函数的最值-分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围分离参变量，为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一 ：a > f (x) ”型一、(恒成立)(1) V x D, f (x) >m 恒成立=f(X)min m ；(2) VX D, f(X)<m 恒成立 um3 f (x)max ；二、(能成立、有解)：(1)玉迂D, f (X)X m能成立二(2)玉壬D,

5、 f(x)<m能成立Um 兰 f (X)在 D 内有解 U f(X)max 3 m ；m>f(x)在 D 内有解二 m> f (x)min ；三、(恰成立)(1)不等式f(x)：>A在区间D上恰成立U不等式f(x)：>A的解集为D ；(2)不等式f(x)vB在区间D上恰成立U不等式f(x)vB的解集为D.四、(方程有解)方程m = f (x)在某个区间上有解，只需求出f (x)在区间上的值域 A使m忘A。.cX 丄 .X例3 :设f(X)=lga,其中a忘R，如果X亡(亠.1)时，f (x)恒有意义，求a3的取值范围。例4:若关于x的不等式X2 -ax - a &

6、lt; -3的解集不是空集，则实数 a的取值范围。例5不等式kx? +k -2<:0有解，求k的取值范围。1例6 ( 2008年上海)已知函数f(x)= 2X-乔若不等式2t f(2t)+m fZ对于皿2】恒成立, 求实数m的取值范围类型二：f(X )<g(x) ”型(1) Px亡D, f(X)>g(x)恒成立 u f (X)的图象恒在g(x)的图象的上方 二 f (x)min Ag(x)max(X 忘 D)恒成立二 h(x) = f (X)- g(x) A0恒成立。例 8 已知 f(x)= 2 |g(x+1) , g(x)=lg(2x+t)，若当 x 0,1时，f(x) &

7、lt; g(x)恒成立，求实数 t的取值范围.类型三：f(X1 )< g(X2) ”型(恒成立和能成立交叉)(1) VX1 D,mx2 壬 E, f(X1)>g(X2)成立二 f (花人山色 g(X2)二 f ( X1 )mi n g(X2)U f ( X1)mi n _ g(X)min例9已知两个函数f(X)=8x2 +16x -k, g(x) =2x' +5x2 +4x，其中k为实数。(1)对任意X忘匚3,3，都有f(x)兰g(x)成立，求k的取值范围;(2)存在X壬 匚3,3 , 使f(x)<g(x)成立，求k的取值范围;(3)对任意x1,x 3,3,都有f (

8、xj <g(X2)，求k的取值范围。类型四：2例 10 (2005 湖北)在 y=2x, y=log 2X, y=x2, y=cosx 这四个函数中，当 0<xi < X2< 1 时,工1 +X2 型21里型2恒成立的函数的个数是(A.0B.1C.2D.3类型六：.“ 迥 _ 乂 20” 型例11已知函数f(x)定义域为-1,1, f(1)=1，若m , n -1,1 , m+n丰0时，都有，若f(x) < t2-2at+1对所有X -1,1 , a -1,1恒成立，求实数t的取值范类型五：“|f(X1)< f(X2)| < t(t为常数)”型,2(t

9、 1 < t2)都有 |f(x 1)-f(X2)|W恒成立,例12已知函数f(x)=-x4+2x3，则对任意t1,t2 -2当且仅当t1=, t2=时取等号(四) 数形结合法1) f(X)>g(x)u 函数f (x)图象恒在函数g(x)图象上方;2) f(X)<g(x)u 函数f (x)图象恒在函数g(x)图象下上方。例 13 已知 a >0, a H1, f(X)1= x2-aX,当X巳-1,1)时,有f(x)v?恒成立，求实数a的取值范围.2 4例14设f(x) = 4x-4x, g(xfa，若恒有f(xg(x)成立求实数a的取值范围.练习:1若对任意X壬R,不等式X >ax恒成立，求实数a的取值范围。-1兰a兰12已知二次函数满足 f （0） =1，而且f（X +1）- f（X）=2x，请解决下列问题(1)求二次函数的解析式。f ( x)= X - X+1f（x）>2x+m在区间1,1上恒成立，求m的取值范围。（严一1）f（x）=2x+m在区间-1,1上恒成立，求m的取值范围。-1,5f（X）:>2x +m在区间-1,1上有解，求m的取值范围。(35)