正交曲线坐标系分离变量法14

1、lp=后+于)x = pcosip y = p sin 卩Z P (p. (P，2)式中0< pV 8 ,qo < z < qo§3.4正交曲线坐标系、正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面而定义的坐标系。1.柱坐标(P，<pP (r. 0 e)II II2 球坐标系A 9, 0) fx = r sindcos 4 y = rsin0sinJ z =r cosflZ-1 y® = rg LX式中 0<尸<8 , Ov0v 兀，一OOV0VOOr = V7石耳？ .0廿立二、坐标系的选择应该选择边界面和坐标面ft合的坐标系I列如；圆锥坐标系；

2、直角坐标球坐标柱坐标球坐标三正交曲钱虽标系中的Au边界* 长方形刁)cosg)Is在柱坐标系中&U du dx du dy=+乙 dp dx dp dy dpdudu <1>=cos <psindxdyduQu dxBpZdx' dp dxdy dp,du dx du dy.+ ( + )sindxdy dp dy dpdu 2 f Mm=-cos 0 + 2sinocosgdxdxdy/u . 2sin <p卽2屮类似可得zdududu psm爭 dp cosf> d<pdxdydu 2 6% - 2 r 2 0%7T=P psm 卩一2p

3、 sinipcosip dipdx&xdy22du 、+ P RCos <p-p(cos<P + sinip) 勿&勿将上式乘1/p再加上式v2>得idu1 dudttdu1 .Sudu.、dpp2 d<p2去2dyZp dxdy将上式加上Q纭再将式V1 A代入右边du 1 dudu.dudu护“1 duy 一 5y + 5" = ( + y H)dpp dtpdz dxdydzp dp则据上面的结果可得:§35 正交曲线坐标系中的分离变* du 1 du 1 du du一乔+ 7环* p2 6p2 *歹ld.au. 1 du du万

4、乔s苏)+7轩+左此即是在柱坐标中的达式2、在极坐标中对于极坐标可看成是柱坐标当2 = 0时的特例.故我们可得到*达式为二13 / 加、1 du乔（p亦）十歹沪3、在球坐标中我们可以用类似的方法，得到表达式，1 S 2 du 13 q 加Au = = (r ) + =；(sin 0 )dr dr sin9 dOdO1 du、CAm + Aw =0U=o的"地他在三类«理方程中如果令2w(x,O = (Ov(x,y,z)<1>则波动方程-皿=0化为,rXr)v(x, _y,z)fl 2r(r)Av = 0aT从而得到'+ aUr = 0 邛<2>

5、;Av + Av = 0此既是亥姆兹(Helrohot'z)方程.同样，将式1代入热传导方程Uf DAu = 0可得到一个7X0的常微分方程和v(x, 2) 的亵姆兹方程J 厂+ £MT = 0I Av + Xv = 0将式2写为*Au + 加=0将柱坐标中的“表达式代入，得：1 & , du. d% SPu . c (p)+ + +加=0 P dp dp p 加 dz令：H（pm Z）=R（p）e）z（M）代入上式，4 d . dR、P dp P dp + p2o2 7如2+嗣時+ Z =。两边乘以RZ并移项，得:2 一 1 护ZRpdpJp* 引2 如 + =_z

6、更使上式成立-霉式两边必是一个常«Z + M = O1 d / dR、 M h McW(P5)+ 忌 2 丁+ 丸_" = ° Rp ap dp <bp d(p对于后一方程两边同«以P2务缶9券）+ pg"）一如2上式若相等，则两边必为常数，故令常15为席霭S篇*宀心综上所述，解«微分方程匸Am + 加=0可令，"(Pgz) = /?(p)0(4p)Z(Z)代入式>按上面的步骤分离变得:'a+”2<D=oT d f dR、D C(p)- R = o p dp dp p对于边界条件b九 由于罡非齐次的

7、，变數不 能分頂，但经过讨论我们可确定n的取值及相 应的本征函数在一般的物理问题中，函数M（pW）是单值的所以J «（门爭+ 2兀）=1/9冲）由式此即:R(p)<I> + 2兀)=J?(p)C>(9>)即要求©满足条件+ztt) = e)此定解条件我们称之为周期性的边界条 件，所以，我们首先解本征值问题k 求解+ Au = 0将球坐标系中皿的表达式代入上式*15.2 SU、 10 / q 加、y(r)+(sm6)尸2 Sr drdOdQ1 須 .a<1>+ ；+汕=0sin 6 d<p令心d<P)= R(少(&W)代

8、入上方程并将两边同乘以dlRy(r ) +=- (sind 型)R dr dry sin0 d0 dQ+七舲sin 0 dip上式若相等，则两边必为一个常数，令之为/(/ + !) > »：n dRdR7 J+ 2r+ FJ _ /(/ +1)皿=0 drdrGmP盏)+ %5+/(/ + 1)= 0 <3> sin0 dQ &0 sin 0 d<p10 , n 勿、 1 Qy z c<2><4>再令J y(&,9>) = ©(0)®)代入3,井将3两边弟以1/GKDO* += 0 , m =

9、0,1,2,.<5>各弘&甥)+卩(小)-鶴0 = 0Sijt Au + 加=0可通过令Z心 0,卩）=R（?）G（0）e）化为下列三个常微分方程，厂2疋十2rR十尸尹2 _ IQ +1）7? = 01 d C dG. L 加 2乔伽&乔)+M+1)_我阳=04>" + 异<1> = 0对于式2：令 J x = kr 5 y(x)fJx = 2?(r)則 X dR _ dR dx dR= k dr dx dr dxdR _ d dR _ d(dR、dx dr" dr dr dx dr dr=心dx_f2 d /(x) y(x)

10、jdx 4x 2xVx=pVU) _ 70)_ 2兀五va)-y(E(2V7+V) 1石_珏令+9 总,V+ 宀心+ 1)子-=0即sJ*xy +J + yx)+x IQ + l)j = 04则2化为，占+少+ 龙2_（冷2卜=0称之为球贝塞耳方程对于5式，我们作变换=X = QOsd , J(X)= 0(0)则0式化为:2(1 一 / )” 一 2" + /(/ + 1)卜=01 X称之为缔合勒让徳（Legendre）方程。五、球坐标中拉普拉斯方程的分离变与柱坐标中的讨论类似，可得分W变后的三个常 微分方程./RJ 2次 一 1(1 + 1)尺=0务芻）+卩如）一黑評=0在正交曲线

11、坐标系中分离变数时，一般会得到一些特殊的变系数常微分方程,如贝塞耳方程和缔合勒让德方程等。只有讨论了这些方程的解和本征值问题，才能bl【例题】（一个极坐标的例子）带电的云跟大地之间的 静电电场近似是匀强静电场，水平架设的输电线处在 这个静电场之中，导线看成圆柱型，求柱外的静电势1:1【解】先将物理问题表为定解问题，取圆柱的轴为Z轴，物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆/亠r = “柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程f % + "w =0 （在柱外）2* 2 2 = 0X + y =a可以看出，边界条件无法分离变量xgmJ/-十）=0 只能另辟蹊径。选坐标u 一 EqP c

12、os cp常微分方程1 du 1 6 2"r + ；7 =()(门 > d)dp p dpp d(pI U分离变数形式的试探解心4 = /?（G）（I（0）代入拉普拉斯方程式，并移项、整理后得：IddRIp（p ） =4）"R dpdpA ddRI“令 一p p ）= K 二 2R dp dpe、（e + 2兀）=小（e）（自然边界条件）和 p2 R'J pR'-入R = 0(A > 0)Aeon y/A(p + B sin yAg>A + Bep+财耳(兄=0)?(A < 0)求得本征值和本征函数兄=mAtn = 0)Hctmwl 屮 D s4ii妬峡入常微分方程，得到欧拉型常微分方程p2 R、pR'-m2 R = 0作代换P = e则/ = In /?,方程化为: p2 RjfR(p)=通解是CeDeU h Dl = (7 tD In p%(m = 0)(zw H 0)up,(p) = C()+ D In+pm CnCoruncp + B和 sin ni<p