2020版高考数学总复习-导数在研究函数中的应用-利用导数研究函数的单调性应用能力提升(理)(含解析)

1、第一课时利用导数研究函数的单调性应用能力提升【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的单调性的理解3,4,5,7求函数的单调区间2,9,10已知函数的单调，性求参数的取值范围1,8利用导数研究函数单调性的综合问题6,11基础巩固(建议用时：25分钟)1.(2018 云南玉溪模拟)已知函数f(x)=ax 3+3x2-x+2在R上是减函数，则a的取值范围是(B )(A)(- 8,3)(B)(- oo,-3(C)(-3,0)(D)-3,0)解析：由 f(x)=ax 3+3x2-x+2,得 f ' (x)=3ax 2+6x-1,因为函数在R上是减函数，所以 f ' (x)=3ax 2

2、+6x-1 < 0 恒成立，口 < 0.所以卜 <。，由 a =36+12a<0,解得 a< -3,则a的取值范围是(-8,-3.故选B.2.设函数f(x)=2(x 2-x)ln x-x2+2x,则函数f(x)的单调递减区间为(B )1111(A)(0，)(B)(,1)(C)(1,+ 8)(D)(0,+ 8)解析：由题意可得f(x)的定义域为(0,+ 8),f ' (x)=2(2x-1)ln x+1f4x - 2 > 0F Mx - 2 < 0,2(x 2-x) 工2x+2=(4x-2)ln x. 由 f ' (x)<0 可得(4

3、x-2)ln x<0, 所以i 加上 < 0,或i inX > 0,解得2Vx<1,故函数f(x)的单调递减区间为(2,1),故选B.3.(2017 浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f ' (x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(D )(A)(B)(C)(D)-7 -解析：观察导函数f' (x)的图象可知，f ' (x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知，排除A,C.如图所示，f ' (x)有3个零点，从左到右依次设为 xi,x 2

4、,x 3,且xi,x3是极小值点，x 2是极大值点， 且x2>0,故选项D正确.故选D.4.(2018 龙泉二中月考)若函数f(x)=x 3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取 值范围是(D )(A)(- 8,-3 U-1,1 U3,+ 8)(B)不存在这样的实数k(C)(-2,2)(D)(-3,-1) U (1,3)解析:因为 f(x)=x 3-12x,所以 f ' (x)=3x 2-12,令 f ' (x)=0,解得 x=-2 或 x=2,即函数f(x)=x 3-12x的极值点为土 2,若函数f(x)=x 3-12x在区间(k-1,k+1)上不

5、是单调函数，则-2 £ (k-1,k+1) 或 2c (k-1,k+1), 解得-3<k<-1 或 1<k<3.故选 D.5.(2018 陕西商洛市高考模拟)定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f' (x)>1,f(0)=4, 则不等式exf(x)>e x+3(其中e为自然对数的底数)的解集为(A )(A)(0,+ 8)(B)(-00,0) U (3,+ 8)(C)(- 00,0) U (0,+ 8) (D)(3,+ 8)解析：设 g(x)=e xf(x)-e x,x C R,则 g' (x)=e xf(x)+e xf'

6、 (x)-e x=exf(x)+f' (x)-1.因为 f(x)+f' (x)>1,所以 f(x)+f' (x)-1>0,所以 g' (x)>0.所以y=g(x)在定义域上单调递增.因为 g(0)=e 0f(0)-e 0=4-1=3,且 exf(x)>e x+3,所以 g(x)>3 即 g(x)>g(0),所以x>0.故选A.6.(2018 河北唐山期末)已知函数f(x)=ln (ex+e-x )+x2，则使得f(2x)>f(x+3) 成立的x的取值范围是(D )(A)(-1,3)(B)(- 00,-3) U (3

7、,+ 8)(C)(-3,3)(D)(- oo,-1) U (3,+ 8)解析：因为f(-x)=ln (e -x+ex)+(-x) 2=ln (e x+e-x)+x2=f(x),所以函数f(x)是偶函数.通过导函数 可知函数y=ex+e-x在(0,+ °°)上是增函数，所以函数f(x)=ln (e x+e-x)+x 2在(0,+ °°)上也是增函 数，所以不等式f(2x)>f(x+3) 等价于|2x|>|x+3, 解得x<-1或x>3.故选D.7.(2018 四川达州市高考模拟)若任意a,b满足0<a<b<t,都有

8、bln a<aln b,则t的最大值为.解析：因为 0<a<b<t,bln a<aln b,Ina Inb所以,<,a<b,Iwc1 -令y=,则函数在(0,t)上单调递增，故由y' = i >0可知0<x<e,故t的最大值是e, 答案:e8.(2018 福建厦门市高考一模)若函数f(x)=2x- 2 sin 2x+2mcos x 在(0,兀)上单调递增，则m的取值范围是.1解析：函数 f(x)=2x- Zsin 2x+2mcos x 的导数为 f' (x)=2-cos 2x-2msin x,若f(x)在(0,兀)单调

9、递增，则2-cos 2x-2msin x> 0在(0,兀)上恒成立，2 - cos2x即mK 2s齿,x £ (0,兀).1 .1但，月X-24nx > 2 2s加工=2 ,当且仅5-cos2x 2 - (1 - Isin2x) 1 + 2sin2x 令 g(x尸 | 之志位=.=sin x+当sin x= 2时等号成立.故m< 乙答案:(-8, 能力提升(建议用时：25分钟)9.已知函数f(x)=ln(ax+1)+x2-ax,a>0,试讨论函数f(x)的单调区间),f' (x)=当a>v体Q列表解:f(x)的定义域是(-火+ 8f(x)在,0)

10、,(+ 8)是增函数；f(x)在(0,Q -2a)是减函数.x(-0,0)Ifl2 - 2(0, 2n )(2门,+ °°)f' (x)+-+f(x)增减增+ 8 )是增函数.当 a=<2时,f ' (x)=.淄£ + 1 >0,f(x)在(-2 ,讨论f(x)的单调性.解:f(x)的定义域是(-1,+°°),f ' (x)=x(-口，Za )口 “-2(2。,0)(0,+ 8)f' (x)+-+f(x)增减增吐f(x)在(-Q, 2口),(0,+ 8)是增函数;f(x)在(a2-22。,0)是减函数

11、.当0<a</5时，列表)函数 f(x)=x 2+mln(1+x).广东珠海模拟10.(2018由题设知，1+x>0,令g(x)=2x 2+2x+m,这是开口向上，以x=-2为对称轴的抛物线.在 x>-1 时，当 g(-2)=-2+m>0,即 m>2时,g(x) >0,即 f' (x) > 0在(-1,+ 00)上恒成立.1 1 1当 g(- 2)=- '+m<0,即 m5时，1-2m由 g(x)=2x 2+2x+m=0 得 x=-上士上 ,1 <1 -2m1令 x1=- L-ll,x 2=-+I,I 1则 x1<

12、;-r,x 2>-卜1.II .1-2m ,1 -2m 1a.当 x1=-2-2<-1,即 2>2,即 mc 0 时,-1<x<x 2 时,g(x)<0,即 f' (x)<0,x>x 2时,g(x)>0,即 f ' (x)>0.1 . l-2m 1 xl-2m 11b.当-1<xi=-2-2<-2,即 0<2<2,即 0<m< 时,xi<x<X2 时,g(x)<0,即 f' (x)<0,-1<x<x i 或 x>X2时,g(x)>

13、;0, 即 f' (x)>0.1 Jl - 2m11综上，mW。时,f(x)在(-1,- +?)上单调递减，在(-2+2,+ 8)上单调递增；0<m<11- 2m 1、- 2m1 ql - 2m.11- 27n时,f(x)在(-2-2,-2+2)上单调递减，在(-1,- 2-2)和(-2+2,+川1上单调递增；m>2时,f(x)在(-1,+ 8)上单调递增.11.(2018 郑州市部分高中联考节选)已知函数f(x尸aln x-ax-3(aC R).求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45° ,对于

14、任意的t C 1,2,函数mg(x)=x 3+x2 f ' (x)+ 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围.a(l - x)解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+ 8),且f ' (x)= 工当a>0时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+叼；当a<0时,f(x)的增区间为(1,+ 8),减区间为(0,1);当a=0时,f(x)不是单调函数.a1=(2)由(1)及题意得 f ' (2)=- 2=1, gp a=-2,2工-2所以 f(x)=-2ln x+2x-3,f' (x)= x .Hl所以 g(x)=x 3+( +2)x 2-2x,所以 g' (x)=3x 2+(m+4)x-2.因为g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g' (x)在区间(t,3)上有变号零点.即。< 0,由于