2020年中考数学压轴题型专练：数学新定义题型(包含答案)

1、2020中考数学 压轴题型专练：数学新定义题型(含答案) err ir rirr ur r1.我们规定：若m=(a,b), n=(c,d),则 m?n=ac+bd.如 m=(i,2),n=(3,5),则 m?n=1 X3+ 2X 5=13.irrur r已知 m=(2,4), n =(2, 3)，求 m?n ；irrur r ir r(2)已知 m=(x a,1), n =(x a,x+ 1),求 y= m ?n ,问 y= m?n 的函数 图象与一次函数y=x- 1的图象是否有交点，请说明理由.解:m =(2,4), n=(2, 3),. m?n =2X2+ 4X(- 3)= 8;(2)无交

2、点.理 由： m =(x a,1), n =(x a,x+ 1),ir r. y= m?n =(x a)2+ (x+ 1)=x2 (2a 1)x+ a2+ 1, y=x2- (2a- 1)x+ a2+ 1联立方程：x2 (2a 1)x + a2+ 1 = x 1,化简得：x2 2ax+ a2+ 2=0,1 .b2 4ac= - 8 v 0,;方程无实数根，两函数图象无交点.2 .对x,y定义一种新运算T,规定：T(x,y尸axby (其中a、b均为非零常数)，这里 2x y,1 _a 0 b 1,一等式右边是正常的四则运算，例如：T(0,1)=2 0 b 已知T(1,1)= 2,T(4,2)=

3、1 .求a,b的值；(2)若 T(m,m + 3)= 1,求 m 的值.a b解：(1)T(1, 1)-2,即 a b=2,T(4,2)=-1,即 2a+b=5,解得 a=if8 212m 3(m 3)(2)根据题意得 1，解得m2m (m 3)-12 、经检验，m是方程的解.73.个三位正整数M,其各位数字均不为零且互不相等.若将M的十位数字与百 位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的友谊数”如：168的友谊数”为“618;”若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的 团结数”，如：123 的 团结数”为

4、 12 + 13 + 21 + 23+ 31 + 32=132 .求证：M与其友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N,其百位数字为2,十位数字为a、个位数字为b,且各位数字互不相等(aw Cbw 0落N的 团结数”与N之差为24,求N的值.解：(1)由题意可得，设M为100a+ 10b+ c,则它的友谊数为：100 b+ 10a+ c,(100 a+ 10b+ c) (100 b+ 10a + c)=100 a+ 10b+ c 100 b 10a c=100( a b)+ 10( b- a)=90( a- b),90 a b= 6(a- b),15. M与其友谊数”的差能被15整除

5、；(2)由题意可得，N=2X 100+ 10a+ b=200 + 10a+ b,N 的团结数是：10 X2+ a+10a+2+10X2+b+10Xb+2+10a+b + 10 b+ a=22a+ 22 b+44, 22a + 22b+ 44 (200 + 10a+ b)=24,已知a、b为整数，且awQwQa外，a= 8a=1解得 或，即N是284或218 .b= 4b=84.定义：如果一元二次方程ax2 + bx + c=0( a丰0满足a + b + c=0 .那么我们称这个 方程为凤凰”方程.已知ax2 + bx+ c=0( aw0谑 凤凰”方程.且有两个相等的实数根.试求a与c 的关系

6、；(2)已知关于x的方程m(x2 + 1) 3x2+ nx=0是 凤凰”方程，且两个实数根都是整 数.求整数m的值.解:(1)由题意得：a + b + c=0, b = a c,ax2 + bx + c=0( a w0后两个相等的实数根，. =b2 4ac=0,把 b= a c 代入至ij b2 4ac=0 中得：(一a- c)2- 4ac=0,(a c)2=0, .a=c;(2) m(x2+ 1) 3x2 + nx=0,( m 3)x2 + nx+ m=0,当 x=1 时,2 m 3+ n=0, n=3 2m,.=n2 4m(m 3)= n2 4 m2 + 12m=(3 2 m)2 4 m2

7、 + 12m=9,n V9n 3 2m 3 3x=,2 m 3 2m 6 2m 6m解得 x1=,x2=1,m 3因为方程两个实数根都是整数，,整数m为0或2或4或6.5 .设三个内角的度数分别为“、3、丫,如果其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么 和谐”并把满足条件的“、3、MgD称为 和谐”的一组值.例如”=30°,3=60°,产90°是 和谐”的一组值.当“=48°写出以“=48°为其中一个内角的 和谐”的一组值；(2)当135。时，符合条件的和谐”的值是否只有一组，写出你的判断并用含“的代数式表示3、丫；a为何值时，符合条件的和谐

8、”的值分别有一组、二组、三组值？请你分别写 出对应a的值或范围(直接填在下表中).符合条件的和谐”的值一组二组三组a的值或范围解：(1) a=48 ° 3=33 ° /99 或 a=48 ° 3=16 ° 尸116 ;(2)只有一组,3= -(180 a),产 3 (180 a). 44135° ,45玄“< 135° ,0/aV 45°.【解法提示】135 °时，只有一组；45 yoev 135 °时，有二组；0°< a< 45 °时，有三组.6 .观察下表：我们把

9、某格中字母相加所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的 特征多项式”为4x+y,回答下列问题：序号123xxxxxxxyyyxxyyxxxx图形xyxxyxxyxyxyxyxx xxyyyxxxx第3格的特征多项式”为，第4格的特征多项式”为，第n格的特征多项式”为;(2)若第1格的 特征多项式”的值为一10，第2格的 特征多项式”的值为一16.;求x,y的值;在的条件下，第n格的特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应 的n值；若没有，请说明理由.解：(1):16x+9y; 25x+16y; (n+1)2x+n2y;【解法提示】第 3格的 特征多项式”为：16x+9y;第4格的 特

10、征多项式”为：25x +I6y;第n格的 特征多项式”为:(n + 1)2x+ n2y;(2) 一第1格的 特征多项式”的值为一10，第2格的 特征多项式”的值为一16,4x y= 10根据题意可得：9x 4y= 1624 x=解得726有最小值,将x=-,y= 代入(n+ 1)2x+ n2y=( 一 )(n + 1)2 +26n2= (n - 12)23127312即当n=12时，最小值为77.在平面直角坐标系xOy中，定义一种变换：使平面内的点P（x,y）对应的像为P ' ax + by,bxay）,其中a、b为常数.已知点（2,1）经变换后的像为（1, 8）.求a,b的值;（2）

11、已知线段OP=2,求经变换后线段OP'的长度（其中O'、P分别是0、P经变换后的像，点。为坐标原点）.b= 1a= 82a解:根据题意，得2ba= 2解得b= 3（2）.0P=2,点P的坐标是（x,y）,根据勾股定理知，x2+y2=4.O'、P分别是0、P经变换后的像，点0为坐标原点，,O' (0,0)P' (2 3y,3x2y),.OP J(2x 3y)2( 3x 2y)2 =113(x2y2) = J13 4 =2 .13,即经变换后线段OP'的长度是2/13.8.定义新运算：(a,b)C,d)=(ac,bd),(a,b)C,d)=(a+c,

12、b+d),(a,b)*(c,d)=a2 + c2 bd .已知(1,2)p,q)=(2,-4),分别求出p与q的值；(2)在(1)的条件下，求(1,2)p,q)的结果.解:(1) a;b) -C,d)=(ac,bd),(i,2) p,q)=(i p,2 0，(1,2) p,q)=(2, 4), - p=2,2q= 4, q= 2;(2) p=2,q=2,(a,b) . C,d)=(a+c,b+ d), . (1,2) p,q) =(1,2) .g =(3,0).229.已知抛物线 y1a1xbx G,y2a2xb2x c2,且满足anG k(k0,1)，则抛物线yi,y2互为 友好抛物线”.a

13、2b2C2若y2有最大值8,则y1也有最大值，这样的说法对吗，为什么？(2)结合二次函数的特点和你对友好抛物线”的理解，写出至少2条结论.解：(1)不对.4acb2. 4aqb2 如果y2的最值是 8,则y1的最值是 kg 8k,4al4a2当k>0时,y1有最大值为8 k;当k<0时,y1有最小值为8 k.(2) 当a1与a2符号相反时其开口方向相反，当| a1|刊2|时，两抛物线开口大小不同；y1与y2的对称轴相同；如果y1与x轴有两个不同的交点，则y2与x轴也有两个不同的交点(写出2条合理结论即 可)10.在直角坐标系中，如果二次函数y=ax2+bx+2(aw0两图象与x轴交

14、于A、B两 点，与y轴交于点C(0,2),且AB=OC,那么我们称这个二次函数为和合二次函 数”.2 28 一一 一判断二次函数y=x2+ x+ 2和y= -x x+ 2是否为和合二次函数 并说明33(2)和合二次函数"y=ax2 + bx+ 2的图象经过点(一6,2).求a与b的值； ,此函数图象可由抛物线y=ax2经过怎样的平移得到？2 2 8解：(1) y=x2 + x+2与x轴没有交点，所以不是和合二次函数“；y=一x -x+ 233与 x 轴的交点坐标为 A(4,0), B(2,0), AB =2, AB = OC,2 2 8- y= xx+2是和合二次函数”;33(2)

15、,.y=ax2+ bx+ 2与x轴交点的横 坐标为xi ,x2,b2贝U x+x2= ，xi?x2= 一 ,aa1b： 8=2a由题意得' a2 a ，解得- y=1x243x+2=1(x 7244143236a 6b 2=2b抛物线y= lx2向右平移3个单位，再向下平移。个单位得到y= (x- 3)2-.444411.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图，在ABC中,AB=AC,顶工 底边角A的正对记作sadA,这时sadA= 腰BC，容易知道一个角的大小与这个角的正对值AB也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解答下列问题(1) sad60 。=,

16、sad90 ° =;(2)如图，已知sinA=§淇中:A为锐角，试求sadA的值.5解：（i）i, J2；(2)设 AB=5a,BC=3a侧 AC=4a,E,如解图，在AB上取AD=AC=4a,作DE . AC于点贝U DE=AD - sin=4a ,AE=AD - coA=4a ,CE=4a "a=4a,55cd= CE2DE242122(_a) ( a)554.10aCD 、. 10- saA=AC第11题解图12.阅读材料，解答下面问题:如果一个三角形能被经过其顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个角形为特异三角形,这条线段为这个三角形的特异线.如图

17、 , ABC 中,.A=36,ABC = ,C=72 ° BD平分. ABC, .ABC 被分成了两个等腰角形，即,ABD、 . BDC .我们称BD为. ABC的特异线ABC为特异三角形.如图 , ABC中，石=2.七,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:AE是.ABC的一条特异线.(2)若.ABC是特异三角形，.*=30° , B为钝角，请在图.、图二中尝试画出.ABC的两条特异线，并标出.C的度数,(说明：图形为示意图，只需画出图形，标出角度即图邕)图第12题图解：(1) DE是线段AC的垂直平分线,2 .EA = EC,即.EAC是等腰三角形，3

18、.EAC = .C,4 .AEB = .EAC + C=2-C, B=2-C, AEB =B,即EAB是等腰三角形，.AE是.ABC是一条特异线；(2)如解图,BD是特异线时，如果 AB = BD=DC ,贝卜BDA =A=30. .BDC =150 C=15°如解图,AD =AB,DB=DC,则ADB = . ABD =75° .C=37.513.定义,如果一个锐角等腰三角形满足一个角度数是另一个角度数的2倍，那么我们称这个三角形为智慧三角形”. 智慧三角形”顶角的度数为(2)如图,正五边形ABCDE 中，对角线AC, BE交于点P.求证：,.APE是 智慧三角 形”;(

19、3)如图.，六 边形 ABCDEF 中，ABDE ,BCEF ,CD -AF,且.1=108° ,B=144 ° ,求.D的度数；.求证：AB + BC=DE + EF ./IC图I)解：36 °【解法提示】分两种情况： 底角度数是顶角度数的2倍时，设顶角度数为x,则底角度数为2x,由三角形内角和定理得：x+2x+2x=180 ° ,解得x=36即顶角度数为36。； 顶角度数是底角度数的2倍时，设底角度数为x,则顶角度数为2x,由三角形内角和定理得：x+x+2x=180 ;解得x=45 °造90 °不合题意)；综上所述：智慧三角形”顶

20、角的度数为36 °(2)证明：.五边形ABCDE是正五边形， . AB=AE = BC, -ABC=1. BAE=108° , ABE=AEB=ACB=36° , .PAE=108° 36° =72° , APE=72° ,-. APE = -. PAE=2 / AEB , .AE = PE,.IAPE为智慧三角形；解：延长FA、CB交于点G,延长AB、DC交于点H,延长CD、FE交于 M,如解图所示， . BAF =108° , ABC =144 ° , . BAG =72° , ABG =3

21、6 ° , G=72 ° ,同理:.H=72。，1 AB . DE , .CDE =180° 72 ° =108 °.证 明：-.G = -. BAG , . BG = AB ,同理：EM =DE ,2 BC . EF ,CD . AF ,四边形GCMF是平行四边形，.GC = FM ,即 BG + BC = EM + EF ,. AB + BC = DE + EF . C D M第13题解图14.定义:如果三角形有一条边上的中线恰好等于这条边的边长，那么称这个三角形为 匀称三角形”这条中线为 匀称中线 请根据定义判断下列命题的真假(请在真命题

22、后的横线内打“，假命题后的横线内打“一”)等腰直角三角形一定不存在匀称中线.如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线(2)已知：如图在Rt /ABC中，4=90° AC> BC,若. ABC是 匀称三角形”求BC :AC :AB 的值；拓展应用：如图 , ABC是1.O的内接三角形，AB > AC,.BAC =45°将ABC绕点A逆时针旋转45 °得/ADE，点B的对应点为D,连接CD 交.O于M,连接AM .请根据题意用实线在图二中补全图形；解： v(2)如 解 图 ,0=90° AC > BC由(1)可知ABC的匀称中线是AC边上的中线，设D为AC中点，则BD为匀称中设 AC=2a,则 CD = a,BD=2a, .C=90° ,.BC= .'