2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷

1、2020 年上海市黄浦区中考数学一模试卷(满分 150 分，考试时间100 分钟)考生注意：1 本试卷含三个大题，共25 题；2 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题(本大题共6 小题，共24 分)1. 已知线段?= 2， ?= 4，如果线段b是线段 a和 c的比例中项，那么线段c的长度是()A. 8B. 6C. 22D. 22. 在 ? ? ?中，? ?=? 90°，如果 ?= ?， ?=? ?，那么AC的长为 ( )A. ? ?B

2、. ? C. ? D. ?3. 已知一个单位向量?，设?、 ? ?是非零向量，那么下列等式中正确的是( )111A. |?| ?= ? B. |? |?= ? C. |?|?= ?D. |?| ?= |?|? ?4. 已知二次函数?= ?2，如果将它的图象向左平移1 个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是( )A. ?= (?+ 1) 2 + 2B. ?= (?+ 1) 2 - 2C. ?= (?- 1)2 + 2D. ?= (?- 1)2 - 25.在 ?与? ?中， ? ?=? ?= 60°， ?= ?，如果? ?= 50° ，那么 ?的度数?第 5 页，共

3、 18 页是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 806. 如图 1 ， 点 D 、 E 分别在 ?的两边?BA、 CA的延长线上，下列条件能判定?/?()?A. ?B.?C.?= ?D.?= ?二、填空题(本大题共12 小题，共48.0 分)7. 计算：2(3?- 2? )? + (?- 2?) =8. 如图 2，在 ?中，点?D、 E 分别在 ?的两边?AB、 AC 上，且?/?，如果 ?= 5， ?= 3， ?= 4，那么线段BC 的长是 9.如图3，已知?/?/?，它们依次交直线?1?、 ?2?于点A、 B、 C 和点D、 E、 ?如.? 2果 ?

4、= 2， ?= 15，那么线段DE 的长是 ? 3?10.点 P 是线段 AB 的黄金分割点（?> ?，则 ）?=11. 写出一个对称轴是直线?= 1 ，且经过原点的抛物线的表达式12. 如图4，在? ?中，? ?=?90 °，?，垂足为点?D，如果?=4，sin ?=?23，那么线段AB 的长是 113. 如果等腰 ?中，? ?= ?= 3， cos ?= 3，那么cos ?=?14. 如图5，在 ?中，? ?= 12， BC 上的高 ?= 8，矩形DEFG 的边 EF 在边 BC上，顶点D、 G 分别在边AB、 AC 上设 ?= ?，矩形DEFG 的面积为y，那么y关于 x

5、 的函数关系式是. （不需写出x的取值范围）15. 如图6， 将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽?=6厘米，长 ?= 16 厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边 CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米16. 在 ?中，?=12，?=9，点 D、 E 分别在边AB、AC 上， 且 ?与?相?似，如果?= 6，那么线段AD 的长是 17. 如图 7， 在 ?中，? 中线BF、 CE 交于点 G， 且 ? ?，?如果?= 5， ?= 6，那么线段CE 的长是 ?318. 如图， 在 ?中，?= ?，?点D、 E 在边 BC 上， ?=?=?30°，且?=2，

6、?那么?的值是?87 小题，共78 分）19. （本题满分10 分）?30 °计算：?°6-0?6° 0- ?4520. （本题满分10 分）?1如图， 点 E 在平行四边形ABCDCD 上， 且 ?= 12， 设 ?=?， ?= ? ?（1） 用 ?、 ? ?表示?；?（ 直接写出答案）（2） 设 ?= ?，在答题卷中所给的图上画出?- 3?的结果21. （本题满分10 分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验如图， 两台测角仪分别放在 A、 B 位置， 且离地面高均为1 米 （即 ?= ?= 1 米 ）， 两台测角仪相距50米 （即 ?=50 米

7、）.在某一时刻无人机位于点?（点C 与点A、 B 在同一平面内）， A处测得其仰角为30°，B 处测得其仰角为45°. (参考数据：2 1.41 ， 3 1.73， ?400°.64， ?4 0 0°.77，?4 0 0°.84)（1） 求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2） 无人机沿水平方向向左飞行2 秒后到达点?（点 F 与点A、 B、 C 在同一平面内），此时于 A 处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度（单位：米/秒，结果保留整数）22. （本题满分10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛

8、物线?=- 14 ?2 - ?+ 2，其顶点为A25. (本题满分14 分)第 9 页，共 18 页23. (本题满分12 分)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、 AB 的垂线，交边AD 、 AB 延长线于点E、 F(1) 求证： ?= ?；? ?2? ?(2) 联结 AC，如果?= ?，求证： ?2? = ? ?24. (本题满分12 分)在平面直角坐标系xOy中， 平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”(1) 已知原抛物线表达式是?= ?2 - 2?+ 5，求它的“影子抛物线”的表达

9、式；(2) 已知原抛物线经过点(1,0) ， 且它的“影子抛物线”的表达式是 ?= -?2 + 5， 求原抛物线的表达式；(3) 小明研究后提出： “如果两条不重合的抛物线交 y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于 y轴对称”你认为这个结论成立吗？请说明理由如图， ?是边长为?2 的等边三角形，点D 与点 B 分别位于直线AC 的两侧，且?= ?，联结?BD、 CD， BD 交直线 AC 于点E(1) 当 ?=?90°时，求线段AE 的长(2) 过点A作 ? ?，垂足为点?H，直线 AH 交 BD 于点 F，? 当 ?<?120°时

10、，设 ?=?，?=?(?其中?表示?的面积，? ?表示? ?的面积?)，求 y关于 x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当 ? ?=? 7时，请直接写出线段AE 的长? ?答案和解析1 .【答案】A【解析】解：若 b 是 a、 c的比例中项，即 ?2 = ? ?4 2 = 2?，解得 ?= 8，故选：A根据比例中项的定义，若b 是 a， c的比例中项，即?2 =本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负2 .【答案】B解：由题意，得?=?，?= ?=?， ?故选：B根据余弦是邻边比斜边，可得答案本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦的定义是解题关键3 .【答案】B1解：A、?与 ?

11、的模相等，方向不一定相同故错误?B 、正确C 、|?| ?与? ?的模相等，方向不一定相同，故错误D 、|?1?| ?与 |?1?| ?的模相等，方向不一定相同，故错误故选：B根据平面向量的性质一一判断即可本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4 .【答案】B【解析】解：二次函数?= ?2，将它的图象向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位后得到的解析式为?= (?+ 1) 2 - 2故选：B根据平移的规律即可求得答案本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”5 .【答案】C解： ?= ?= 60° ，? ?=

12、 ?， ? ?， ? ?=? ?=? 50°， ?=? ?=? 180° - 60°- 50° = 70°故选： C根据相似三角形的判定和性质解答即可考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形 )的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方6 .【答案】D【解析】解： ?=? ?， ? ?当 =，? ?即 ?= ?，? ?/?， ?故选： D根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可本题考查的是平行线分线

13、段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键7 .【答案】-3? + 4?【解析】解：2(3?- 2? ?) + (?- 2?) = 6?- 4?+ ?- 2?= -3? + 4?，故答案为-3? + 4?根据平面向量的加法法则计算即可本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型第 13 页，共 18 页解： ?/?， ? ?，? ?= ?45=，? 832?= 352，32故答案为352证明 ? ?，利用相似三角形的性质即可解决问题?本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题9.【答案】 6【解析】解： ?/?/?，

14、? ? 2 ?= ?= 3， ?= 15 ，?2， ? ?-? 15-?3解得： ?= 6，故答案为：6根据平行线分线段成比例解答即可掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关本题主要考查平行线分线段成比例，键10.【答案】5-1【解析】解： 点 P 是线段 AB 的黄金分割点(?> ?， ) ?= ?= 5-1 ? ?2故答案为5-1 2把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值5-1 叫做黄金比2本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键11 .【答案】答案不唯一( 如 ?= ?2 - 2?)【解析】解：符合

15、的表达式是?= ?2 - 2?，故答案为?= ?2 - 2?此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键12 .【答案】25?=4， sin?=?32，解：在? ? ?中，?第 31 页，共 18 页28?= ?× sin ?=?4 × 3 = 3，?= ?2?- ?2? = 45，3 ?=?90°， ? ?， ? ?=? ?，?在 ? ? ?中， ?=sin ?32 = 2 5，故答案为：25在 ? ? ?中， ? 根据直角三角形的边角关系求出CD， 根据勾股定理求出BD， 在在?

16、?中，再求出 ?AB 即可考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键713 .【答案】9【解析】解：过点A作 ? ?，垂足为?D，过点C 作 ? ?，垂足?为 E， ?=?90 °?1在 ?中， ? cos ?=? ?= 3，?= 1 ?= 1 3?= ?， ?= 2，?= ?2?- ?2? = 32 - 12 = 2212 ?=1?，?2，?=? 2×2 2? =3=?= ?2?- ?2?= 73? 737 cos ?=? ?= 3 = 9，故答案为79过点 A作 ? ?，?垂足为D， 过点 C 作 ? ?，?垂足为E

17、， 根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE ，根据余弦的定义求得cos ?的值 ?本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理，三角形面积公式314 .【答案】?= - 2?2 + 12?解： 四边形 DEFG 是矩形， ?= 12， BC上的高 ?= 8， ?= ?， 矩形 DEFG y，?/?， ? ?， ?8-?=，8123(8-?)得 ?=2 ，3(8-?) ?= ?23 ?2 + 12?，故答案为：?= - 23 ?2 + 12?根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据

18、矩形面积公式，即可得到 y 与 x 的函数关系式本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答15 .【答案】 9.6【解析】解：如图所示：作? ?于点?E，1由题意可得，?= 6?， ? ?= 21 ?= 8?， ?故 BF= ?2?+ ?2? = 6 2 + 82 = 10(?)，可得： ?=? ?， ? ?= ?， ?故 ? ?，? ?=，? ?610 ?= 16 ，解得： ?= 9.6故答案为：9.6直接利用勾股定理得出BF 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，

19、正确把握相关性质是解题关键16 .【答案】 8或 92【解析】解：如图 ?=? ?，? 当 ? ?，? ?，? ?12?即 12 = ?， ? 96解得： ?= 8， 当 ? ?，? ?=，? ?即 12 = 6 ，9?9解得： ?= 29，故答案为：8 或 92分类讨论：当 ? ?和当 ? ? ?，?根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等917 .【答案】2解：如图，延长AG 交 BC 于 K点 G 是 ?的重心，?=2?，? ?= 2?， ? ?= 2?， ?= 5， ?= 6，5?=5， ?= 4，2? ?， ? ?=?

20、90?= 2?= 5， ?= ?2?- ?2? = 5 2 - 42 = 3，?=1 ?= 3，2239?= 3 + = 22故答案为92如图，延长AG 交 BC于 ?.根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型18 .【答案】1318 3 - 1解： ?=?， ?=? ?=?30 °，?=?=? 30°，?=?=? ?， ?=?，? ?， ?=? ?= ?， ?2? = ?× ?， ? ? ?，?，? ?2? = ?× ?， ? ?2? = ?= (23)2 = 49

21、，设 ?= 9?，则?= 4?，? ?=，? ?= ?× ?= 3 × 4?= 6?， ?2作 ? ?于? M，如图所示：?= ?， ?=?=1 ?，?2 ?=? 30°，1?= 2 ?= 3?， ?= 3?= 3 3?，?= 2?= 6 3?，?= ?+ ?- ?= 13?- 6 3?，133- 1；18 -?13?-6 3?=6 3?故答案为：133 - 118证明 ?，?得出?2?=?×?，?同理 ? ?，?得出?2? =?×?，?2? 9?得出?2? =?=94，设?=9?，则?= 4?，求出?=?×?= 6?，作?于?11M

22、， 由等腰三角形的性质得出?= ?= 2 ?，?由直角三角形的性质得出?= 2 ?= 3?， ?= 3?= 3 3?， 得出 ?= 2?= 63?， 求出 ?= ?+ ?-? ?= 13?- 6 3?，即可得出答案本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键319 .【答案】解：原式=23 - 1 3- 23= 0【解析】代入特殊角的三角函数值求值本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值20 .【答案】解： (1) ?= 12，即?= 21 ?，?= 1?，? 223?= 31 ?+ ?(2) 如图所示：

23、即为?- 3?的结果(2) 根据向量定理即可画出(1) 根据平面向量的平行定理即可表示；本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图21.【 答案】 解： (1) 如图， 过点 C 作 ?，垂足为点?H， ?=?45 °， ?= ?，?设 ?= ?，则?= ? 在 ? ?中， ? ?=?30°， ?= 3?= 3?+ 3?= 50解得： ?= 50 18， 18+ 1 = 19答：计算得到的无人机的高约为19m；(2) 过点 F 作 ? ?，垂足为点 ?G，?在 ?中，? tan ?=?，?18?= ?°40 0.84 21.4又 ?= 3? 3

24、1.14 31.14-21.42 5，或 31.14+21.4 26答：计算得到的无人机的平均速度约为5 米 / 秒或 26 米 / 秒【解析】(1) 如图，过点C 作 ? ?，垂足为点?H，设 ?= ?，则?= ?解直角三角.形即可得到结论；(2) 过点 F 作 ? ?，垂足为点 ?G，解直角三角形即可得到结论本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型22.【答案】解： (1) 抛物线 ?= - 41 ?2 - ?+ 2 = - 14 (?+ 2)2 + 3的开口方向向下，顶点A 的坐标是(-2,3) ，抛物线的变化情况是：在对称轴直

25、线?= -2 左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；点 B 的坐标可表示为(-2?2,3 - ?)，?=?2?，? ?代入 ?= - 41 ?2 - ?+ 2，得 3 - ?= - 14 (-2? - 2)2- (-2? - 2) + 2解得?1 = 0( 舍 )， ?2 = 1 ， 点 B 的坐标为(-4,2) 【解析】(1) 由二次函数的性质可求解；(2) 如图， 设直线 BC与对称轴交于点D， 则 ? ?，?设线段AD 的长为m， 则 ?= ?cot ?=?2?，可求点B 坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B 坐标本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B

26、 坐标是本题的关键23.【答案】解： (1) 四边形 ABCD 是平行四边形， ?/?， ? ?/?， ?， ? ?=? ?， ? ?=? ?=? ?，? ? ?，? ? ?， ? ?=? ?=?90 °，? ?，? ?=，? ?四边形 ABCD 是平行四边形，? ?， ? ? ?， ? ?= ?， ?= ? ? ?(2)? ?= ?=? ?=?90° ，? ?，?又 ? ?，? ?，? ? ?2?=，? ? ?2?与? ?等高， ? ? ?=，? ? ?2? ?2? = ?(1) 证明想办法证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题?2?(2) 由 ? ?， ? ? ?

27、，?推出 ? ?，?可得 ?=?2， 又 ? ? ?与 ?等高，推出? ? ?，可得结论?2?2? = ?本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型(24) 答案】解： (1) 原抛物线表达式是?= ?2 - 2?+ 5 = (?- 1)2 + 4 原抛物线顶点是(1,4) ，设影子抛物线表达式是?= ?2 + ?，将 (1,4) 代入 ?= ?2 + ?，解得?= 3，所以“影子抛物线”的表达式是 ?= ?2 + 3；(25) 设原抛物线表达式是?= -(? + ?)2 + ?，则原抛物线顶点是(-?, ?)，将 (

28、-?, ?代入)?= -?2+ 5，得 -(-?) 2 + 5 = ? ，将 (1,0) 代入 ?= -(? + ?)2 + ?， 0 = -(1 + ?)2 + ? ，? = 1? = -2 、 解得?1 = 1， ?2 = -2?1 = 4?2 = 1所以，原抛物线表达式是?= -(? + 1) 2 + 4或 ?= -(? - 2) 2 + 1；(26) 结论成立设影子抛物线表达式是?= ?2?+ ?原抛物线于.y轴交点坐标为(0, ?)则两条原抛物线可表示为?1= ?2?+?1?+?与抛物线?2=?2?+?2?+?其中(a、?1?、?2、 c是常数，且? 0， ?1 ?2?)?1?(-?

29、1?4?-?12?)、 ?2(-?24?-?22?)12?4?22?4?将 ?1?、 ?2?分别代入?= ?2?+ ?，得?(-?(-4?-?12?4?4?-?22?4?消去 n 得?1?2 = ?2?2，?1? ?2?，?1? = -?2?2? 4?-?2 设 ?=?，则 ?=?，?2 4?-?22?1( 2?,4? ) ， ?2(- 2?, 4? ) ，?1、 ?2?关于y轴对称?=【解析】(1) 设影子抛物线表达式是?= ?2 + ?，先求出原抛物线的顶点坐标，代入?2 + ?，可求解；(2) 设原抛物线表达式是?= -(? + ?)2 + ?，用待定系数法可求m， k，即可求解；(3) 分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键25.【答案】解： (1) ?是等边三角形，?= ?-?= 2?=? ?=? ?=?60 °?= ?， ?= ?， ? ?=? ?， ?=?15 ?+? ?+? ?+? ?=?180 °， ?=?90