5第五章误差(精)

1、第五章测量祺差基本知识内家提要：第五章测量误差基本知识学习要点建立测量誤差的基本概念观测值的中误差观测值函数的中谖差- 谖差传摇定律权的概念内彖提要：第五章测量误差基本知识学习要点建立测量误差的基本概念观测值的中誤差观测值曲数的中溪差误差传播定律权的概念5.1测量誤差的分类讨论测量误差的目的：用误差理论分析、处理测量误差，评定测量成果的精度,指导测量工作的进行。.产生测量误差的原因 二.测量误差的分类和处理原则 三偶然误差的特性一产生测量误差的原因V产生测量误差的三大因素：仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差，等。人的原因 判断力和分辨率的限制，经验，等。外界影响 气象因素（温度变化，风，大

2、气折光，有关名词：观测条件，等梢度观测。上述三大因素总称为观测条件，在上述条件基本 一致的情况下进行的各次观测，称为等精度观测结论：观测误差不可避免（粗差除外）二测量误差的分类和处理原则两类测量误差：系统误差、偶然误差1系统误差谋差出现的犬小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。处理方法：1.对测量结果加改止数消除“2.外业操作时抵消例：误差处理方法钢尺尺长误差ADk计算改正钢尺温度误差ADt计算改正水准仪视准轴谋差i操作时抵消（应后视等距） 经纬仪视准轴误差C操作时抵消（盘左盘右取平均）结论：系统误差可以消除。2偶然误差误差出现的大小、符号各不相 同，表面看无规律性。例：佔读数、气泡居中

3、判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差。偶然误签是由人力所不能控制的因素所引起 的误差。占K右粧停处鶴贝!j：采用多观测，减弱其影响,提高观测结果的梢度。三偶然误差的特性1. 偶然误差的定义：设某一量的貞值为X,对该量进行门】次观测， 得n个观测值iJwlj则产生了I】个真误 差W，”:= X(5-1-1)2. 偶然误差的特性V当观测次数很多时,偶然误差的出现,呈现出统 计学上的规律性： 偶然误差具仃正态分布的特性。(P121表5-1图5-1)2偶然误差具有正态分布的特性四个特性:有界性,趋向性,对称性，抵偿性:5.2衡量精度的标准粘度：是指在对栗一宣的至次观测屮以个观测值Z何的离散秤度

4、。 若观测值非常集中则赫度高:反Z.则耕度低I遷取决于偶然误 差。. :.I - i;J|乂称标准i吴芳，以“】衣示，用來衡吊观测值粘度的髙低。在相同的观测条件心 对某未如皿进行n次观测.英观测值为S 、厂川营的釦f I可得相应的真謎】、A2.An(?t：,=讥 则中误差可由齐真淇差半方的丫均值进行计算:m = 式“七|AA寺*由上式可见中误差与与直误差的关系.它不等于其误差.只是一组 观测值的粘度折标.屮误差越小.误差分布紂越密集.相血的观测成 果的帝度就越窩.中谋差越人误集分布得越离敕相F论测爪 的精度越低例：设有A. B两个小组,对一三角形进行了 次观测分别求出貞误差为:A： 6= +5

5、f +2. +4 2J十8*丁、十9 41B：lf +15J+23”、仁Z13f -21 OJ-18n试求A. B两纠观测值的中谋幷.町见A组观测轴度比BfllAe在观测次数n仃限的怙况卜中谋泾的计公式订先口接反映出观测成果 中足否存在看犬误筋 如上例B组澱受到儿个较大谋签的彩响.容许误差:在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不 应超过的限值，用来衡量观测值是否被采 用的标准。乂称限差。通常取 2-3 倍小谋差 作为偶然误差的容许值，即：三、相对误差：真误差、中误差和容许误差，仅仅衣 示误差本身的大小，称为绝对误羌。在某种惜况 下，用绝対谋差來评定值的粘度，不能反映出观 测的质量。例：丈量两段距

6、离,D =100m m, = lcm D =30m m2=lcn1虽然两者的中误并和等，但不能它们 的丈量精度柑同，显然前者精度较高。这时中误 怎C不能反映出观测的质備，必须用相对误怎來 评定。绝刘误差的绝对值与相应量Z比，它 是一个无名数，以分子为1的分数形式来农示。 上例中，观测值的中誤差测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度 的标准。一用真谋差计算中锲左的公式由偶然谋差：标准羌公式： RAAJb N 士hm (5-1-5)兀一s V ”中误差公式为：斗斗二J座1 (5-2-1)观测次数n有限时，用中误差iu表示偶然误差的离散情形。中误差算例 1两组观测值中误差图形的比较:叫较小，误并分布

7、比较集中，观测值粘度较高:叫较人，误差分布比较离散，观测值精度较低。一用改正数计算中镁差的公龙观测值的真值未知时，用似真误差V计算中误差。设某耒知屋的观测值为：厶,/“例2対某水平角等粘度观测了5次，求氏算术平均值及观测值的中误差。_解：用算术平均值改正数V计算屮谋差：机=J匕斗（541）V / 1按观测值的改正数计算中谋差则该得似真误-/ =x-/z(5-3-4)fl观测值的IVVn1(5-4一 1)(5*3-1)a = 1.2,5)1次序 观测值4改正数u185A42M4&N-416算术平均值:1 观测值的中二85A42M45VV=-3M.9观测值函数的中誤差誤差传播定律-观测值的

8、函数例：高差h = ab和或差函数平均距离Y刘=($| + * + +线性函数实地距离r DM d倍数函数三角边sina a = bsinpi 般函数坐标增最Av = Docosa般函数二.一般函数的中误差公式误差传播定律设佇函数Z = F(x,x2,- -,x )兀为独立观测值(a)对(a)全做分dZ =- dxt得：转换成中误差关系式即误差传播定律:(5-5-10)三几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：(1) 列岀函数式；(2) 对函数式求全微分：(3) 套用误差传播定律，写出中谋差式。例3:已知某矩形氏吐500米，宽b=440米。如边长测量 的相对中误差为1/4000,求矩形

9、的面积中误mpo解：由题意=500/4000= ().125米,=44()/4000 = 0.1 1米面积公式p = uxb求金微分dp=bd户小面积中误差竹=佃.曲+ /.賦=7440 x (). 125)2+ (5(X) x (). 11)2=76050 =77.78米1 倍数函数的中误差设有函数式N=Kx(X为观测值，K为X的系数)全微分dN = Kd.x得中误差式 ”仪 士土 S .(5-5-15)例4量得1:1000地形图上两点间长度/=168.5mmdtO.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差nv解:列函数式S = l000 x/求全微分ds= 1000中误差式/w； =土100

10、0,m,即nis= 1000“ = 1000 x0.2 = 200nmi = 0.2mS= I68.5m 0.2in2：线性函宴的中误差设有函数式Zkxxxk2x2.土心(5511)全微分0 = kdxi土Jdxr土.士k 冷”中误差式mz= 土Jk：/w：+k；扃 + + &7”(5-5-12)例&设有某线性函数其中“、.勺分别为独立观测值，它们的中谋差分 别为/Mj =3mm.m2= 2mmtm, = 6nm求Z的中误差mz。解:对上式全微分：dz = clx+ 占厶-773由中误差式得： = 土j(/?“ ) +) + (/z )=士/苗3)+(衆2)十(-古x6) =

11、1.6mm3 .算术平均值的中误差式函数式 兀=也=丄人+丄人+ +丄/(5-5-1)flHIN 2H H全微分dx = M +皿+側” 中误怎式m= 土、/丄?：+厶zn：+ +丄加由于等精度观测时，“=“=,/,=协，代入上式:由此可知,算术平均值的中谋差比观测值的中误 差缩小了倍。对某观测晴进彳多次观测(多余观测)取平均, 是提高观测成果精度最冇效的方法。(5-5-13)例6：对某距离用粘密量距方法丈竝六次，求该距离的算术 平均值r；观测值的中误差2:算术平均值的中谋 差M；算术平均值的相对中Mix :M5 4术平也值的*以坯(m)0(mm)AiFffl r(mm)52119.98067

12、-0.3O.(H农雋位中课芟：3119.9X505.01.52.25mt LSnvii43J L41%中汉先：Si 19.9*6 6.7-0.2OCMm；卡tO.ArnmMM6119.9890902.56.25中淇绘：(/g=H) )98)38 9 0.110.55X200000凡是相对中误差,都必须用分子为1的分数表示。4 和或差函数的中误差例7测定A、B间的高怎，共连续测9站。设测量AU每站高差的中误差ni= 2mm9求总髙差h的中误差mh函数式： 全微分：中误差式： 当等梢度观测时: 上式可写成:Z =Xx士Xr码=叫=+ ；(5-5-17)(5-5-18)解：hAB= /?)+為 +.

13、+ 爲山(5-5-18)式：叫=/ny/n= 2丁9 = 6mn- -函数式函数的中误差一般函数1 , ,Z = F(XpA-V) )=fdF , (QFY .Jm +.+.十f Y2vAnc& 丿皿丿倍数函数Z = Kxm7 =J K”忒=Kmx和差函数Z* 匕士士斗mx= m!n线性函数-Z = k2x2.kxflrlmr=土 . k-fNNH算术平均值2卜汕+舛+1 fm+丄/羽U土 /-四误差传播定律的应用例弘耍求三角形绘人闭合差广八土出“，问用DJ6经纬仪观测三角形毎个内角时须用儿个测冋？ 解：山题盘；丿口 =2” =15.则/叫=土7.5每个角的测角中误差：m=孕=4.3”

14、V3由于 DJ6 -测冋角度中误差为： =6“=土8.5”宙角度测昴n测冋取平均值的中谋差公式：8.5”8.5m =. L!|J4.3 = p=-.n =-几“mNmf=土 ”打 V?y/ny/n4.3用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差几15”。的念一.权和权的表示方法1 权的概念2权用于非等将度观测中；2权用于衡量观测值的质量，观测值的权表示该观 测值在这组观测值屮所占的比重。2观测值的精度越髙,其权越大:箱度越低，其权越小.例9：L1知K线MP的坐标方位角0=72。200”，x水平距离D=240m。如己知方位角屮误差Am=20”，距离中误差加=4

15、 coscr/L?*由谋差传播定律：i8( (r= 206265-(cos7220- 4()f-t 24Osin722O -2( (K 5二253mm2( (m= J(sinrr mlt) +| Dcosa2-p点的点位中误差:=J(Gn722O 40) + 240cm722W2o y206.3丿x - Deosa化=Jga/rrn)十M,.2 权的表示方法权用字母P表示，并定义权P与中谋差的平方成反比：式中C为任意正数。权P=1的中误怎称为“单位权中谋羌”，通常 用或“表示，所以权也表示为：(5-7-2)-般取一次观测、测回、单位长度等的测晴误差 作为单位权中误差，二加权平均值1加权平均值的计算:对某木知量，以不等苗度观测得n个观测值:其中误差分别为：F .宀“观测值的权为：“宀、.则该未知量的最或是值为：x = PfyT =凹(5-7-8)P