九年级数学上册一元二次方程教案新新人教

1、1第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程:1通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.：重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 等概念，并能用这些概念解决简单问题.难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.：0)的方程，领会降次一一转化的数学思想.难点通过根据平方根的意义解形如 的方程.一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题. 问题1:填空2 2 2 2 2(1)_ x8x+_ =(x_)；(2)9x+12x+_ =(3x+)；(3)x+

2、px+_=(x+_)2.解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(号)22问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？ 一元二次方程与一元一次方程有什么不同？ 二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义，直接开平方得x=3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=3即2t+1=3,2t+1= 3x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如2(x+m)=n(n0)4方程的两根为t1=1,

3、t2=2例1解方程：(1)x+4x+4=1(2)x+6x+9=2分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.(2)由已知，得：(x+3)=2直接开平方，得：x+3=2即x+3=2,x+3=一.2所以，方程的两根X1=3+ 2,X2=32解：略.例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x, 年后人均住房面积就应该是10+10 x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解：设每年人均住房面积增长率为x,贝y：10(1+x

4、)2=14.42(1+x)=1.44直接开平方，得1+x=1.2即1+x=1.2,1+x=1.2所以，方程的两根是X1=0.2=20% X2=2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，X2= 2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转 化思想”.三、巩固练习教材第6页练习.四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p0)的方程，那么x=p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p0)的方程，那么mx+

5、n=,p，达到降次转化之目的.若pv0则方程无解.五、作业布置教材第16页 复习巩固1.第2课时 配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题._ 2 2 _通过复习可直接化成x=p(p0)或(mx+n)=p(p0)的一元二次方程的解法, 两种形式的一元二次方程的解题步骤.重点讲清直接降次有困难，如X2+6x16=0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.埶字设什一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：2 2 2 2(1)3x1=5(2)4(x1)9=0 (3)4x+16x+16=9(4)

6、4x+16x= 7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p0)的形式，那么可得x=p或mx+ n=p(p0).2222如：4x+16x+16=(2x+4)，你能把4x+16x=7化成(2x+4)=9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？引入不能直接化成上面5问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m并且面积为16m,求场地的长和宽各是多少?(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 而后二个不具有此特征.不能.既然不能直接降次解方程，那么

7、，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们 就来讲如何转化：x2+6x16=0移项TX2+6x=16两边加(6/2)使左边配成x+2bx+b的形式TX+6x+3=16+9左边写成平方形式T(x+3)2=25降次TX+3=5即x+3=5或x+3=5解一次方程TXi=2,X2=8可以验证：xi=2,X2=8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m长为8m像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 例1用配方法解下列关于x的方程：2 21(1)x8x+1=0(2)x

8、2x2=0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上.解：略.三、巩固练习教材第9页 练习1,2.(1)(2).四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、作业布置教材第17页 复习巩固2,3.(1)(2).第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目.重点讲清配方法的解题步骤.难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数

9、项移到方程右边后，两边加上的常数是对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解.、复习引入(学生活动)解下列方程：2 2(1)x4x+7=0 (2)2x8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解：略.(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+

10、p)=q的形式，如果q0,方程的根是x= p；如果qv0,方程无实根. 例1解下列方程：2 2 2(1)2x+1=3x (2)3x6x+4=0(3)(1+x)+2(1+x)4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式.解：略.X的完全平方式次项系数一半的平方;6三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6).四、课堂小结本节课应掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配 方，禾U用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数，

11、至幅中学习二次曲线时，还将经常用 到.五、作业布置教材第17页 复习巩固3.(3)(4)2 2 2补充：(1)已知x+y+z-2x+4y6z+14=0，求x+y+z的值.(2)求证：无论x,y取任何实数，多项式x2+y22x4y+16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a工0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.重点求根公式的推导和公式法的应用.难点一元二次方程求根公式的推导.一、复习引入1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方

12、法”，比如，方程(1)x2=4(x2)2=7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施 于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)=q的形式，如果q0,方程的

13、根是x= p q；如果qv0,方程无实根.二、探索新知用配方法解方程：2 2(1)ax7x+3=0(2)ax+bx+3=02如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0(a工0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 题步骤就可以一直推下去.22问题：已知ax+bx+c=0(a工0),试推导它的两个根X1=,X2=b 、b4ac2a(这个方a,b,c也当成一个具体数字，根据上面的解2a7解：移项，得：ax+bx= c2bc二次项系数化为1，得X+=-aa8b2b4ac即(x+石)

14、=b士, b24ac2ab+ 寸b24acb寸b24acX1=二,X2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的根由方程的系数a,b,c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b24ac0时，将a,b士、/b24ac入式子x=- -就得到方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解下列方程：2 2(1)2xx1=0 (2)x+1.5=3x(3)x22x+*=0(4)4x23x+2=0分析：用公式法解一元二次

15、方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.补：(5) (x2)(3x5)=0三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(4)(6).四、课堂小结本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程；(2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0;2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号；3)计算b24ac，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.(4)初步了解一元二次方程根的情况.五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程.通过复习用

16、配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法一一因式分解法解一元二次 方程，并应用因式分解法解决一些具体问题.重点配方，得：2bb2cb2x+ax+(刃=a+ (刃/4a20,当b24ac0时,b24ac0b2(x+2a)=b4ac2( )2a直接开平方，得:b丄x+2T士b4ac-2a2a2a2数学设计9用因式分解法解一元二次方程. 难点元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便.、复习引入让学生通过比较解10(学生活动)解下列方程：2 2(1)2x+x=0(用配方法)(2)3x+6x=0(用公式法)11 1 1老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为2,

17、2的一半应为4，因此，应加上(4)2,同时减去(1)2.(2)直接用公式求解.二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题.(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？(2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解.因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以X1=0,1(2)3x=0或x+2=0,所以X1=0,X2= -2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降

18、次，而是先因式分解使方程化为两 个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.例1解方程：2212322(1)10 x4.9x=0(2)x(x2)+x2=0(3)5x2x4=x-2x+ -(4)(x1)=(32x)思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积.)练习：下面一元二次方程解法中，正确的是()A.(x3)(x5)=10X2，x3=10,x5=2，X1=13,X2=7223B.(25x)+(5x2)=0,.(5x2)(5x3)=0,.X1= ,X2=-552C.(x+2)+4x=0,

19、.X1=2,X2=22D.x=x,两边同除以x，得x=1三、巩固练习教材第14页练习1,2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用.(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6,8,10,11.21.2.4一元二次方程的根与系数的关系c0）的两根xi,X2与系数p,q之间有什么关系?2（2）关于x的方程ax+bx+c=0（a丰0）的两根xi,X2与系数a,b,c之间又有何关系呢？你能证明你的 猜想吗？解下列方程，并填写表格:方程XiX2Xi+X2XiX222x

20、7x4=023x+2x5=025xi7x+6=0小结：根与系数关系：（1）关于x的方程x2+px+q=0（p,q为常数，p24q0）的两根xi,X2与系数p,q的关系是：xi+x=p,xiX2=q（注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.）（2）形如ax2+bx+c=0（a工0）的方程，可以先将二次项系数化为i,再利用上面的结论.即：对于方程ax+bx+c=0（a丰0）bcxi+x2=a,x2=a（可以利用求根公式给出证明）例i不解方程，写出下列方程的两根和与两根积:2 2（i）x3xi=0（2）2x+3x5=02 2(5)xi=0 (6)x2x+i=0例2不解方程，检验下列

21、方程的解是否正确?例3已知一元二次方程的两个根是一i和2,请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）例4已知方程2x2+kx9=0的一个根是一3，求另一根及k的值.变式一：已知方程X2kx9=0的两根互为相反数，求k;bb24ac2a.观察两式右边分母相同，分子是b+b24ac与bb24ac.两根之间通过什么计算(3) $22x=0 (4)2x2+6x=3(1)x22 2x+i=0 (xi2(2)2x3x8=0 (xi=,2+i,7+.734,X2=5.73412变式二：已知方程2x25x+k=0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结i.根与系数的关系.2.根与系数关系使用的前提是：（i）是一

22、元二次方程；（2）判别式大于等于零.四、作业布置i.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积.2 2 2(1)x5x3=0 (2)9x+2=x(3)6x3x+2=023x+x+1=02.已知方程x23x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值.3.已知方程x2+bx+6=0的一个根为一2,求另一根及b的值.21.3实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时解决代数问题1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.2.通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题 的具体步骤.3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必

23、须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合 问题的实际意义为标准.重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题.难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数曰. W 量关糸.、引入新课1.列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2.科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提

24、问题.有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有 _人患流感.第二轮传染后共有 _ 人患流感.(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x+1)人患了流感，第二轮有x(1+x)人被传染上了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得X1=10,X2=12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人.变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少

25、人患了流感？活动2:自学教材第19页第20页探究2,思考老师所提问题.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进 步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平 均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 _ 元，此时成本为_ 元；两年后，甲种药品下降了 _ 元，此时成本为 _元.13(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a,增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1x); 二月(或二年)后产量

26、为a(1x)2；n月(或n年)后产量为a(1x)n;如果已知n月(n年)后总产量为M,则有下面等式：M= a(1x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为： _.三、课堂小结与作业布置14课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际.2传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立.3若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1x)=b(常见n=2).4成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也 较小.作业布置教材第21-22页 习题21.3第2-7题.第2课时 解决几何问题1通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.2通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.3通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验