2017年中考数学精学巧练备考秘籍第3章函数第17课时二次函数的运用

1、第3章函数第17课时二;欠酗的运用I.|【精学】考点一、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程 ax2+bx+c=0（a丰0）的解的情况等价于抛物线 y=ax2+bx+c（c丰0）与直线 y=0（即 x 轴）的公共点的个数。抛物线 y=ax2+bx+c（a丰0）与 x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：（1 ）抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点（x1 , 0）（x2 , 0）匸二一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根=b2-4ac 0。抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点b（2

2、a, 0） _9一兀二次万程抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公 共点匸二一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 = =b2-4acv0.考点二、二次函数应用题一、转化思想一一实际问题中的最优化问题转化为求几次函数的最仇问题。1、方案设计最优问题：费用鼓低？禾 U 润最大？储量最大？等等。2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系列出包含呐数，自变量在内的等式，转化为函数解析式求最低问题二、建模思想一一从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程。1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。2、 方程模型

3、和不等式模型： 根据实际问题中的数量关系.列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。【巧练】题型一、二次函数与一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等实根，b为_X2_ _条0 b2_4ac =02_2例 1 （2016?广西南宁）二次函数 y=ax2+bx+c （a*0）和正比例函数 y=x 的图象如图所示，则方程 ax2+3A.大于 0 B .等于 0C.小于 0 D .不能确定【答案】C【分析】设 ax2+bx+c=0 (0)的两根为 x1 , x2，由二次函数的图象可知x1+x2 0, a 0,设方程 ax2+2(b -) x+c=0 (0)的两根为 a, b 再根据根与系数的关系即

4、可得出结论.【解答】解：ax2+bx+c=0(日旳)的两根为xlj x2,由二次函数的團象可知xl+x20?a0,b -2._ 3_色2设方程日K2+ (b- 3 ) x+c=0 (a?0)的两根为bj则a+b=- a - - a+ 3a?T/a0_2_,a+b0.【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键.例 2. (2016?宾州)抛物线 y=2x2 - 2_:x+1 与坐标轴的交点个数是()A. 0 B. 1C. 2 D. 3【答案】C2(b - ) x+c=O (0)的两根之和(4【分析】对于抛物线解析式，分别令x=0 与

5、y=0 求出对应 y 与 x 的值，即可确定出抛物线与 坐标轴的交点个数.5【解答】解：抛物线/=2x2 - 2的炮令“4 得到即抛物线与轴交点为（0| 1）；）；令尸 6 得到2X2-2V2)I+1=O,即(V&c- 1) 2=0,V2解得：Xl=x2= 2 ,即抛物线与对由交点为则抛物线与坐标轴的交点个数是2,故选C【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为0,求出另一个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点.题型二利用二次函数解决抛物线形问题例 3. （2015 浙江金华）图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O, B,以点 O 为原点，

6、水平12y=忌（X80）016直线 OB 为 X 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线400，桥拱与桥墩AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC 丄 X 轴，若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC%（）【答案】B.【分析】主要是利用抛物线的解析式以及OA=10 来进行解答，关键是根据图象确定A 点的坐标，从而确定 C点的横坐标，继而得到问题的答案.【解析】/ AC 丄 X 轴，OA=10 米，点 C 的横坐标为-10 ,当X= - 10 时，16 A.40米16 C.40米151400(X-80)21614002(-10-80)21617=4 C (- 10,174）, 桥面离

7、水面的高度AC为6仃4m.故选 B.【点评】本题考查了利用函数图象上的点来解决实际问题中的距离问题，能正确地确定点的坐标是解决问 题的关键.【方法技巧规律】利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出 合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结 果转化为实际问题的答案题型三、二次函数的应用题例 4. （2016 湖北鄂州）（本题满分 10 分）某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价120 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每

8、天支出 20 元的各种费用，设每个房间定价增加10 x 元（x 为整数）。9（2 分）直接写出每天游客居住的房间数量y 与 x 的函数关系式。3（4 分）设宾馆每天的利润为 W 元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？3（4 分）某日宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：当日所获利润不低于5000 元，宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600 元，每个房间刚好住满2 人。问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？【答案】（1）y= x + 50;（2）每间房价定价为 320 元时，每天利润最大，最大利润为9000 元.（3）20.【解析】试题分折：通过总房间旳个

9、可直接写出房间数量y与X的的数关系式,（2）设出每间房的定价，从而 制用租房利润减去维护费，可得刑润函数，利用配方法，即可求得结论； 因当日所获利润不低于5000元,由in - io（X- 20）1-b 9000 5000;由可知:20（-K+50）由每个房间刚好住满2人可知：个房间住满即人,即2V=2（-x + 50）,艮网得出结果.试题解析：解：y= x + 50;（2 ）设该宾馆房间的定价为门 3匕：厂心；元（x 为整数），那么宾馆内有（50-x ）个房间被旅客居住，依题意，得W=( -x+50)(120+10 x-20)7W=( -x +50)(10 x+100)=-10(x 一 20

10、)2+9000所以当 x=20,即每间房价定价为 10 x20+120=320 元时，每天利润最大，最大利润为9000 元.打-10(x-20):+9000500020(x+50) 600，解得2。W 梵三4。)当 x=40 时，这天宾馆入住的游客人数最少有：2y=2(-x+50)=2(-40+50)=20 (人)题型四、抛物线与几何图形例 5 (2016 上海市)如图，抛物线y=ax*bx 5(az0)经过点 A(4, 5),与 x 轴的负半轴交于点 B, 与 y 轴交于点 C,且OC=5OB 抛物线的顶点为点 D.(1) 求这条抛物线的表达式；(2) 联结 AB BC CD DA 求四边形

11、 ABCD 勺面积；(3) 如果点 E 在 y 轴的正半轴上，且/ BEON ABC 求点 E 的坐标.3【答案】(1)y=x -4x-5； (2) 18; ( 3) E (0,2).【解析】试题分析(先得出C点坐标，再由O35B6得出B点坐标，将A. B两点坐标代入解析武求出“b5(2)分别算出从BC和扛AED的面积，相加即得四边形ABCD的面积；(3)由ZBEO-/ABC可知，tanZBEO=tanZABC,过C作AB边上的高CH； 利用等面积迭求出CH,从而算 出tan/ABC,而B0是已知的，从而利用tanZBEO=tanZABC可求出EO长度)也就求出了E点坐标.试题解析：(1)v抛

12、物线 一与 y 轴交于点 C,心又因为点E在轴负半轴上，故816a+4b-5 = -5p = l,o）,解得 。这条抛物线tanZ.BEO=-在RtBOE中，/BOE =RC ri胞0=厶二一=-,得点、E的坐标为（0,）.EO 322【限时突破】1.（2016?永州）抛物线 y=x2+2x+m- 1 与 x轴有两个不同的交点，贝Um 的取值范围是（）A. m 2C. 0 me2D.m0，从而求出 m 的取值范围.【解答】解：T抛物线yg+Mm-l与x轴有两个交点,.A=b2-4ac0j即4-4m+40,解得mV 2,6. ( 2016 四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

13、a(x 1)_3与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C( 0，83)，顶点为 D,对称轴与 x 轴交于点 H,过点 H 的直线 I图菱形？若能，求出点13故选 A.【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注：抛物线与x 轴有两个交点，则 0;抛物线与 x轴无交点，则0;抛物线与 x 轴有一个交点，则=0.2【答案】D.b.【分析】由抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点”推知 x=-时，y=0.且 b2 - 4c=0 ,即 b2=4c,其次，b nb n根据抛物线对称轴的定义知点AB 关于对称轴对称，故 A(-2-2,m),B(-2 +

14、2 ,m)；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论.【解答】解：T抛物rx2+bx+c与x轴只有一个交鼠当2时，.且b2 4c=0即b2=4c .又T点A xl,B xl+n, m),b二点Av B关于直线x二-少对称丿b nb n,A (- 2 -2fm)fB (-2+2, m),b nb nn2b2将 A 点坐标代入抛物线解析式，得m=(- -二)2+ (- 二)b+c, 即卩 m=：- : +c,/ b2=4c,1/ m= - n2,故选 D.【点评】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键.3.【答案】C.【解析】y= _ _+试题

15、分析：根据题意，把y = 一 4 直接代入解析式： 即可解得，所认 A (- 10 , - 4),B(10 ,-4).即可得水面宽度 AB 为 20mi故选 c.4.【答案】(1)y= - 0.5X+160 , 120Wx 180; 当销售单价为 180 元时，销售利润最大，最大利润是 7000 元.【解析】试题分析：(1)观察由表格可知，销售单价没涨 10 元，就少销售 5kg，即可判定 y 与 x 是一次函数关系， 由待定系数法求函数解析即可； (2)设销售利润为 w 元，根据题意得出 w 与 x 的二次函数关系，根据二次 函数的性质即可求得最大利润.14试题解析：(1)v由表格可知：销售

16、单价没涨10 元，就少销售 5kg, y 与 x 是一次函数关系， y 与 x 的函数关系式为： y=100 - 0.5 (x- 120) =- 0.5x+160 ,T销售单价不低于 120 元/kg .且不高于 180 元/kg ,自变量 x 的取值范围为：120Wx 180;(2) 设销售利润为 w 元，1 1则 w= (x - 80) (- 0.5X+160 ) =-2x2+200 x - 12800=-2(x- 200) 2+7200,1/a= -2v0,二当 xv200 时，y 随 x 的增大而增大，1当 x=180 时，销售利润最大，最大利润是：w=-2(180 - 200) 2+

17、7200=7000 (元)，答：当销售单价为 180 元时，销售利润最大，最大利润是7000 元.考点：一次函数的应用；二次函数的应用.2罷283丄1o73y = _-x -x +-5.【答案】(1)333； (2) A (- 5, 0 )、B (1, 0); (3)ZPDF=60 .【解析】试题分析：甩5取公式因式将原式变形为)=喊+4工-5然后令尸。可求得函数圉象与花轴的交 点坐标，从而可求得点広B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为故此可知 当如-2时尸&朽,于是可求得m的值；(2 )由(1)的可知点 A、B 的坐标；(3)先由一次函数的解析式得到/PBF 的度数

18、，然后再由 PDL PF, FO 丄 OD 证明点 O D P、F 共圆，最 后依据圆周角定理可证明/ PDF=60 .试题解析：(1)Ty =mx+4mx-5m . y = m(x *4x-5)=m(x+5) (x- 1).令 y=0 得: m(x+5) (x-1) =0,T0,. x= - 5 或 x=1,. A (- 5, 0)、B (1, 0) , 抛物线的对称轴为 x=- 2 .二抛物线的顶2罷_ _2丁3 2_朋卜103点坐标为为6 3，- 9m=x3, m=3，抛物线的解析式为 333；(2) 由(1)可知：A (- 5, 0)、B (1, 0)；(3) / PDF=60 .理由

19、如下：15y =x如图所示， OP 的解析式为3,/ AOP=30 ,/ PBF=60/ PD 丄 PF, F0 丄 ODDPF=/ FOD=90，/ DPF 亡 FOD=180，点 O D P、F 共圆，/ PDF=/ PBF,/ PDF=60 .考点：1二次函数综合题；2定值问题.144a = y = X 厂6【答案】(1)3, A (- 4, 0), B( 2, 0); (2) y = 2x + 2 或33; (3)存在，N(厶3-1,1).【解析】试题分析：( (1) )把点匚代入抛物线解析式即可求出升令列方程即可求出点弘E坐标.3_=)且过点H (-1, 0)的直PQ的解析式为V=k

20、x+b,得到b=k,利用方 程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再制用方程组求出点N坐标列出方程求出K,即可解决问題.-8-8ayJx + 1)23试题解析： (1)：抛物线与 y 轴交于点 C (0 ,3), a - 3=3,解得：3, 3_8(2)：A(-4,0) ,B(2,0),C(0,3),D(-1, -3)丄心心+厶8+3)X1 S 四边形 ABCD=$ ADH+S 梯形 OCDH+SBOC，2 3从面积分析知，直线 l 只能与边 AD 或 BC 相交，所以有两种情况:311当直线 I 边 AD 相交与点 M1 时，贝 U SAAHM 牡10X10= 3, 2X3X( yM1)= 3, yM1= 2,点 M112当 y=0 时，有3(X 1)亠。X2 = Y ,.A(-4,0),B(2,0).12823=10.16(-2, - 2),过点 H (- 1, 0 )和