双十字轴万向节运动学分析及应用

1、双十字轴万向节运动学分析及应用李仕途 1，2， 薛盛兴 1，2， 田圆 1，2（1.长城汽车股份有限公司技术中心，河北 保定 071000；2.河北省汽车工程技术研究中心，河北 保定 071000）摘 要：使用空间几何方法推导了单个十字轴万向节的传动不均匀特性（输入轴和输出轴转角关系和转速比关系式，以 及关系式的起始条件），并进一步分析了 2 个万向节串联 3 根轴时的传动不均匀特性。当 3 轴在同一平面时，中间轴两 端节叉的夹角（相位角）等于 0°时传动不均匀性最小。当 3 根轴不在同一平面时，最优相位角等于输入轴与中间轴所在 平面和中间轴与输出轴所在平面的夹角。关键词：十字轴万向

2、节；主从动轴转角关系；最优相位角中图分类号：U 463.216.1文献标志码：A文章编号：10022333（2014）07010503Kinematics Analysis and Application of the Hookes Universal JointLI Shitu1，2， XUE Shengxing1，2， TIAN Yuan1，2（1.R&D Center of Great Wall Motor Company, Baoding 071000, China；2.Automotive Engineering Technical Center of Hebei, Baod

3、ing 071000, China）Abstract： Geometric methods was used to derive the uneven transmission characteristics of a single hooke universal joint （the relationship of rotate angle and speed between the input shaft and output shaft of a Hooke universal joint, which include the initial conditions）, and the m

4、echanism of three shafts connected by two hooke universal joints. When the three shaft are located in the same plane, the optimal phase angle which let the uneven transmission characteristics minimal is equal to 0 degree. When the three axis do not located in the same plane, the optimal phase angle

5、is equal to the angle of the two planes structured by the input-middle shaft and the middle-output shaft.Key words： hooke universal joint; rotation relationship; optimal phase angle0 引 言十字轴万向节广泛应用于汽车转向系统和传动系统 中。由于其传动的不均匀性，不恰当的布置将会导致传动 的力矩波动，影响操作舒适性、乘坐舒适性以及零部件的 寿命。因此许多学者对其传动的不均匀性进行了理论分 析和验证，得到了较成熟的经验

6、和结论1-5。实际应用中， 一般使用 2 个万向节串联，通过调整中间轴两端节叉的 夹角（一般称为相位角 ），可在不改变空间布置的前提 下尽可能减小传动的不均匀性。多位学者利用不同的方 法对最优相位角进行了求解和验证，但求解过程复杂难 以理解3-5。为从理论上寻找最优相位角，首先要了解单 个十字轴万向节的传动特性 （主从动轴转角关系、转速 比）。文献中对传动特性的证明过程要么不够详细，要么 理论较深，难以理解1-2。本文首先通过简单的空间立体 几何方法求证了单个十字轴万向节的传动特性，然后对 特殊情况下（3 轴在同平面）串联机构的最优相位角进行 了直观论述和编程验证，进而利用十字轴万向节的传动

7、特性论证了一般情况下（3 轴在不同平面）的最优相位角 就等于输入轴与中间轴所在平面和中间轴与输出轴所在 平面的夹角这一结论。1 单个万向节输入输出轴的转角关系1.1 十字轴万向节传动的不均匀性十字轴万向节又称为虎克万向节，早在 1824 年时，Poncelet6就借助球面三角证明了虎克万向节的运动是不均匀的，并得到了 2 轴转角的关系式（1）和式（2）。式中 为 2 轴轴线的夹角，式（1）的起始条件是主动轴节叉垂直 于主动轴与从动轴所确定的平面。式中：1 为主动轴转 角，2 为从动轴转角。式（2）的起始条件为主动轴节叉平 行于主动轴与从动轴所确定的平面。tan2=tan1×cos，（

8、1）AA1NBO 2CBM图 1 十字轴万向节运动 分析示意图tan2=tan1/cos。（2） 多位学者使用不同的方法证明了上述两式1，但未对两种 初始条件进行严格区分。康健1使用矩阵坐标变换分析 的方法。夏新念7首先建立了三元复数的矢量运算规则， 并在此基础上提供了推证万向节转角关系的有效方法， 并指出如果坐标系选择不同，关系式的具体表现形式也 不同。Allan Mills6将十字轴两轴的向量用转角表示，并 利用十字轴两轴在运动过程中始终垂直的特点，证明了 上述转角关系。本文将使用更容易理解的空间立体几何方 法求证十字轴万向节的转角关系，并对不同的初始 条件进行严格区分。1.2 输入输出轴

9、转角关系 证明图 1 中 ，OM 为 主 动 轴，ON 为从动轴，OA 为主 动轴节叉，OB 为从动轴节 叉。A、A、B、B为节叉上的学术交流 ACADEMIC COMMUNICATION理论 / 研发 / 设计 / 制造点（非端点）。主动轴与从动轴夹角为 。1） 初始位置设定：OA 位于 OM 和 ON 所在平面 ， OB 垂直于 OM 和 ON 所在平面 （等同于式（2）的初始条 件）；2max1/cos，1=0°； 2min1×cos，1=90°。2 双十字轴万向节相连时的运动分析2.1 现有研究结论（11）2）OA 转过 1 角后至 OA，OB 转过 2

10、角后至 OB；3）OC 在 OA 的旋转面上，且 OCOA；4）过点 B 做垂直于 OB 的线段，分别交 OC 于点 C， 交 OB与点 B。输入端12输出端Z 型布置输入端12W 型布置输出端分析过程：通过上述分析可得如下结论（结论 1）：十字轴万向节 主动轴与从动轴的转角关系只与两轴夹角 和主动节叉 转过的角度 1 有关，从动轴转速 2 只与主动轴转速 1 和两轴夹角 有关。1）由 OAOB（两节叉互相垂直的条件），且 OAOC，可得 OA面 OBC，进而 OABC；2）由 OBBB，且 OBBC，可得 OB面 BBC，进而 OBBC；3）由 BCOA（由式（1）得），且 BCOB，可得

11、B C面 AOB，进而 BCBC；4）由 BBOB，且 CBOB，可 得BBC 即 OA 和OB 旋转平面的夹角 ，即 =BBC；5）1=AOA=BOC。tan1=|BC|/|OB|。（3）tan2=|BB|/|OB|。（4）BC=BB×cosBBC=BB×cos。（5） 将式（2）和式（3）带入式（1），可得tan1=tan2×cos。（6） 式 （6） 即十字轴万向节主动轴与从动轴的转角关系。因正切函数 tanx 自变量 x 的取值范围是（-/2，/ 2），当 1 转过 90°后，式（4）将不再适用。输入轴 1 转过90°后，从动轴 2 同

12、时转过 90°。此时从动轴节叉平行于 平面 ，此时可将主动轴看成从动轴，从动轴看成主动 轴。有tan（290°）tan（190°）×cos，190°，180°）。 即 tan（190°）tan（290°）÷cos，190°，180°）。（7） 联立式（6）和式（7），可得在 1=0°180°范围内，转角关系为tan1tan2·cos，10°，90°）；（8）tan（190°）tan（290°）/cos，190

13、6;，180°）。图 2 虎克的等速条件（Z 型布置或 W 型布置，且中间 轴两端节叉同平面，1=2。）实际应用中为了消除单个万向节传动的不均匀性，通 常采用 2 个万向节串联 3 根轴的办法。最早虎克就已经对 此进行了研究6。他认为 2 个万向节串联的等速条件是： 中间轴两端节叉应位于同一平面内；输入轴和中间轴夹 角 1 等于中间轴和输出轴夹角 2。还有一前提条件是布 置形式必须是 Z 型布置或 W 型布置（即 3 轴同平面）。实际布置中 3 轴通常不在同一平面，且 1=2 的条件 也难以满足。对于一般情况（3 轴不共面），可通过调节中 间轴两端节叉夹角（相位角）的方法来减小波动。

14、文献35 中均指出：最优相位角就是输入轴和中间轴所在平面与 中间轴和输出轴所在平面的夹角。文献3中使用下面的 式子求解了最优相位角姨 1 1 cos（2 22）22 sin（4 22）。（12）转过 180°以后，主动轴节叉又平行于平面 ，进入下一个周期。这样我们就得到一个周期内0°180°）的转角 关系式（8）。1.3 转速关系求解为了得到转速关系，首先将式（8）写为如下形式：2arctan（ tan ）， ， ）；11 0° 90°0 （22 4式中：1 为输入轴与中间轴夹角，2 为中间轴与输出轴夹 角， 为输入轴和中间轴所在平面与中间轴和

15、输出轴所 在平面的夹角。 为相位角，0 为等效夹角。当 =- 时， 等效夹角取最小， 为最优相位角。2.2 3 轴同平面时最优相位角的 Matlab 验证为求证 3 轴不共面时的最优相位角，先从 3 轴同平cos（9）2arctan（tan（190°）×cos）+90°，190°，180°）；式（9）两边对时间 t 求导即得转速关系面这一特殊位置开始考虑。3 轴在同一平面的情况最优相位角可参考虎克的结论，即波动最小的条件是中间轴 两节叉相互平行。分析过程如下：2 cos ×1，10°，90°）；（1cos21

16、15;sin2）1）对于3 轴同平面且 2的情况，单独分析任意 cos × ， 90°，180°）。 211（10）1一个万向节。以转角 为横坐标，以主动轴和从动轴转角（1sin（2 190°）×sin2）这样我们就得到一个周期0°180°）内的转速关系。1= 0°、90°时，从动轴转速分别取到最大值和最小值。差（或转速比）为纵坐标，根据式（8）转角关系为一周期函数，根据式（10）转速比关系也是一周期函数，周期均为。周期函数（转角差或转速比）的幅值取决于两轴夹角106机械工程师 2014 年第 7 期1，

17、相位取决于 的初始值。2）3 轴联结，输入轴与输出轴的转角差（或转速比）关 系等效于 2 个转角差（或转速比）周期函数相加（相乘）， 当 2 个周期函数（同周期，12 则幅值不同，12 则相 位不同）相差半个周期（即第一个函数取到最大值时第二 个函数刚好取到最小值）时，两周期函数相加（或相乘）结 果的幅值最小。为验证这一结论，使用式（8）和式（10）进行编程，计 算相位角等于 0°180°下的转角差和转速比。起始条件： 中间轴的两节叉平行于 ，输入轴与中间轴夹角为 10°， 中间轴与输出轴夹角为 12°。提取0°，180°）相位角条件

18、下的转角差和转速比的 峰值数据，结果见图 3。3 结 语本文对十字轴万向节的运动特性进行了分析，主要 成果如下：1） 使用更易于理解的空间立体几何方法证明 了十字轴万向节的运动特性 （主动轴与从动轴的转角关 系和转速关系）；2）分析并验证了 3 轴同平面情况下中间 轴两端节叉最优相位角为 0°的结论；3） 通过 3 轴同平面 情况的结论和十字轴万向节运动特性，更直观地论述了 3 轴不同平面的情况最优相位角就是输入轴与中间轴所在 平面与中间轴和输出轴所在平面夹角的结论。参考文献1 康健.万向节运动传递非等速特性研究J.清华大学学报：自然 科学版，1999，39（8）：64-67.1.5

19、转角差最大值 转角差最小值1.0） 0.5°（/转角差0100200300400 相位角（/ °）-0.5-1.0-1.51.06转角差最大值 转角差最小值1.041.02转速比 1.000.980.960.940100200300400相位角（/ °）图 3 不同相位角下的转角差和转速比的峰值数据2 Mills A .Robert Hookes universal joint and its application to sundials and the sundial-clockJ. Notes & Records of the Royal Socie

20、ty，2007，61（2）：219-236.3 高新华，黄巨成.基于代理模型的轿车转向柱力矩波动关系研 究与优化J.数字化设计，2008（2/3）：37-38.4 李永荣，丁先松，李保权.双十字轴万向节中间轴相位角优化设 计J.汽车技术，2012（9）：19-22.5 倪长明，许南绍，朱文.汽车转向系统十字轴万向节传动优化设 计及运动仿真分析J.重庆工学院学报:自然科学版，2009，23（9）：20-24.6 伍德荣，肖胜发，陶建民.万向节和传动轴M.北京：北京理工 大学出版社，1997.7 夏新念.万向节两传动轴转角关系的三元复数推证方法J.机 械设计与制造，2007（1）：13.（编辑 昊

21、 天）xxxxxxxxxx作者简介：李仕途（1987），男，硕士，研究方向为车辆动力学、CAE。收稿日期：2014-03-135 月 17 日，作为中国铸造协会第七届会员代表大会的“压轴节目”，国家开放大学铸造学 院正式挂牌。在全体参会代表的共同见证下， 国家开放大学副校长严冰为“国家开放大学铸 造学院”正式授牌。中国铸造协会与国家开放大学自 2011 年起 建立战略合作关系，以双方优势资源投入为基 础，在探索新形势下校会合作办学崭新模式方面 进行了有益的尝试。2013 年 11 月 26 日，国家开 放大学铸造学院正式成立，标志着中国铸造协会 与国家开放大学历时三年的合作结出了硕果。据了解，