三角形的五心

1、三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的 五心.、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心 角定理和圆周角定理.例1.过等腰 ABC®边BC上一点P弓I PM CA交AB于M弓I PN/ BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点 在ABC/卜接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析：由已知可得 MP =MP=MB NP =NPP"/A=NC故点M是AP' BP的外心，点电决一np，pc的外心.有力MTT/BP P=- ZBM=- Z BACB P C22一 _1_ _ 1_ _/ PP C=-

2、 ZPN（=- / BAC22 ./BP C=/BP P+/P' PC=Z BAC 从而，P'点与A, B, C共圆、即P'在ABC#接圆上. 由于P' P平分/ BP C,显然还有 P' B: P' C=BP PC例2.在 ABC的边AB, B（ CA上分别取点P, Q, S,证明以 APS BQP zCSQ勺外心为顶点白三角形与 ABCW以.（B波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：设Q, Q, Q是AAPS ABQP八A CSQ勺外心，作出六边形QPQQQS后再由外心性质可知/ PQS=2/A,ZQ(2P=2ZB,/SQQ=2/C ./PQS+

3、/QQP+/SQQ=360° .从而又知/QPQ+/QQQ+/QSQ=360°将4 000绕着Q点旋转到 KSQ,易判断 KSQ QPQ, 同时可得 OQQWzXOKO.1“./ QOQ=/KOQ=1/OOK21=1(/QOS+/SOK)21 .=(/ O2OS+ / POO)1=一 / POS=/ A；2同理有/ OQQ=/ B.故OQQs ABC二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.(分析:例4.分析:例3. AD BE, CF是4ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在 PAD APBE PCF中

4、，其中一个面积等于另外两个面积 的和.第26届莫斯科数学奥林匹克)设G为ABC1心，直线PGf AB ,BC相交.从A, C, D, E, F分别 作该直线的垂线，垂足为 A' , C', D' , E，F .易证 AA' =2DD , CC =2FF' , 2EE .EE =DD +FF'.DA'PC +CC ,有 Sapge=S>apgd+S>a pgf两边各扩大3倍，有S»APBE=S»APAD+SAPCF如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它 的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.将A

5、ABC甯记为,由三中线AD BE, CF围成的三角形简 记为' .G为重心，连DE到H,使EH=DE,连HC HF 则'就是 HCF(1) a2, b2, c2成等差数列“'.若ABCJ正三角形，易证. 不妨设a> b>c,有CF=-v2a2 2b2 c2 , 2BE=-v2c2 2a2 b2 , 2AD= 1 2b2 2c2 a2 .2将a2+c2=2b2,分别代入以上三式，得CF=3a , BE=且，AD=立c. 222c3 .CF BEAD = *a： 2=a： b: c.故有.(2) a2, b2, c2成等差数列.当中a> b>c时，&

6、#39;中 CF> BE> AD：(CF)2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形 面积的3"，有S-=9.4 S 4CF 2 _343a2=4C户=2a2+b2- c2a2+c2=2b2.二、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心 .由三角形的垂心 造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5.设AAAA为。内接四边形，H,凡，H, H4依次为 AAA, AAA1, A4A1A2, zXAAA的垂心.求证：H,代, H, H四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.（1992,全国高中联赛）分析：连接A2H, AH, HH,记圆半径为R由AA

7、A知_A2H_ =2R AB=2RCos / AAA;sin A2 A3 H 1由 AiAA得AK=2FCos/A3AA4.但/AAA=/AAA,故 AH=AiH.易证 AH/A4,于是，AH AH2,故得HH2 JAA.设HA与HA白软点为M,故HH与AA关 于M点成中心对称.同理，HH与AA,与AA, H4H与A4A都关于M点成中心对称.故四边形HHHH与四边形AiAAA关于M点成中心 对称，两者是全等四边形，H,凡，H, H在同一个圆上. 后者的圆心设为Q, Q与O也关于M成中心对称.由O, M 两点，Q点就不难确定了 .例6. H为ABC勺垂心，D, E, F分别是BC, CA AB的

8、中心.一B, B,个以H为圆心的。H交直线EF, FD, DE于Ai, A, G, C2.求证：AA=AA=BB=BB=CC=CG)AA 2H 11C2Bi(1989,加拿大数学奥林匹克训练题分析：只须证明AA=BB=CC即可.设BC=a, CA=b, AB=c, AABCb 接圆半径为R, OH的半径为r.连HA, AH交EF于MAA12 =AM+AM=AM+r2- mH=r2+(AM-MH ,又 AM-HM=(1 AH) 2-( AH 1 AH)222=AH- AH-AH=AH ABAH=cosA - bc- AH,而一AH =2R AH=4Rcos2A,sin ABHa =2R a2=4

9、Rsin 2Asin A.AH+a2=4R, AHj=4R2- a2.由、有22222b c a22、AA1 =r + bc-(4 R-a)2bc=1 (a2+b2+c2)-4 R+r2. 2同理，BB12 =- (a2+b2+c2)-4 R+r；2CC12 = （a2+b2+c2）-4 R+r2.2故有 AA=BB=CC.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角 公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为4ABC的内心，射线AI交4ABC外接圆于A',则有 A ' I=A' B=A' C换言之，点A必是4旧C之外心（内心的等量例7.

10、ABC师圆内接凸四边形，取 DAB AAB（C ABCQ CDA勺内心 O, O2, Q, Q.求证：OOQO为矩形.（1986,中国数学奥林匹克集训题）证明见中等数学1992; 4 例8.已知。O内接 ABC OQ切AB, AC于E, F且与。O内切.试证：EF中点P是4ABC之内心.（B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例 8的一种特例，但它增加了条件 AB=AC当，AC怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q, B中点K都在/ BACf分线上.易知AQ=匚v QK- AQ=MQ QNMQ QN(2R r) r =sin r/sin(2R r)

11、. QK= AQ由 RtzXEP/口 PQ=sinr. . PK=PQQ!=sinr+sin (2R r) = sin2R. . PK=BK利用内心等量关系之逆定理，即知 P是 ABC这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交 于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r, ra, rb, rc分别表示内切圆半径及与 a, b, c相切 的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设RtzXABC中,c为斜边，先来证明一个特性：p(p- c)=

12、( p-a)( p-b).p( p-c)= 1( a+b+c) - - (a+b- c)22=(a+b) - cj4=1ab； 2(p- a)( p- b)= 1 (- a+b+c) - - (a- b+ 22=1 c2-( a- b)2= 1ab.42观察图形，可得ra=AF-AC=p-b, r b=BG BC=p-a, r c=CK=p.而 r = 1( a+b- c)2=p-c. r+ra+rb+rc=(p- c)+( p- b)+( p-a)+p、rc J、c)p(p-c)=( p-a)( p-b).=4 p-( a+b+c)=2p.由及图形易证.例10. M是 ABC边AB上的任意一

13、点.ri,2, r分别是 AMC BMC ABC内切圆的半径，qi, q2, q分别是上述三角形在/ACB内部的旁切圆半径.证明：上红二: qi q2 q(IMQ12)分析：对任意 A B' C',由正弦定理可知A' OD=OA - sin A2.B' sinB'2sin A'O'B' A' B' sin sin B 22A' B' sinO' E二2 A' B' cos cos A B， -22 .A' B' sin 2ODO'E亦即有A'

14、B'tg 2tg - .12一.qiq2A CMA CNB =tg tgtg222+ A. B_r tg-tg -=- 22 q六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2) 同一图形出现了同一三角形的几个心.例11.设在圆内接凸六边形 ABCDF中，AB=BC CD=DE, EF=FA试证：(1)AD BE, CF三条对角线交于一点；(2) ABfBGfC+DEfEF+FA> AK+B&CF(1991,国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC, CE EA,由已知可证AD, CF, EB是4ACE的三 条内角平分线，I为4ACE的内心.从而有I

15、D=CD=DE, IF =EF=FA,IB=AB=BC再由ABDF易证BP, DQ FS是它的三条高，I是它的垂 心，利用ErdOS等式有：ABI+DI+FI >2 - (IP+IQ+IS).A不难证明 IE=2IP, IA=2IQ, IC=2IS. BZlV. BI+DI+FI >IA + IE+IC.ABfBCfCaDEfEF+FA悻 X/tPM e=2(bi+di+fi)Ck.、1/'>(IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)"d=ADfBEfCFI就是一点两心.例12. zABC的外心为O, AB=AC D是AB中点，E是ACD勺重 心.证明OE

16、± CD(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM为高亦为中线，取AC中点米F, E 必在 DF上且 DEEF=2:1.设/CD交 AMT G, G必为 ABC®心.连GEMF MF交DC于K易证：/O>SA一1 - 1 1(1DGGK=1DC( 1 -)DO2:1.BC32 3.DGGK=DEEF GE/ MF. OD± AB MF/ AB,.OD1 MF OD± GE 但 OGI DE G又是 OD乏垂心. 易证OE± CD例13. zABC中ZC=30° , O是外心，I是内心，边AC上的D点 与边BC上的E点使得AD=BE

17、=AB求证：OI ± DE, OI=DE(1988,中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作/ DAOF分线交BC于K易证 AID0zAIB0zEIB,ZAID=Z AIB=/EIB.' D 、'利用内心张角公式，有Ay 一."；C/AIB=90° +-ZC=105° ,”；'> /./DIE=360° -1050 X 3=45° ./AKB=30° +1/DAO2=300 +1(/BAG/BAO2。1=30+ (/BAG60 )21=/BAG/BAI = /BEI.2 . AK/ IE

18、.由等腰 AOD知DOX AK .DOL IE,即 口5是4 DIE 的一条高.同理EO是ADIE之垂心，OI ± DE由 / DIE=/IDO,易知 OI=DE例14.锐角 ABC中，O, G, H分别是外心、重心、垂心.设外心 到三边距离和为d外，重心到三边f离和为d重，垂心到三边距离和为 求证：1 - d垂+2 d外=3 d重.分析：这里用三角法.设4ABC外接圆 半径为1,三个内角记为A, B, C,易知 d 外=OG+OG+OO=cosA+cosB+cos C, 2d 外=2(cos A+cosB+cosC).; AH=sin B - AB=sin B (2sin C)=2

19、sin B - sin C, 同样可得BH CH.3d重= ABCE条高的和 =2 (sin B sin C+sin C sin A+sin A sin B) BH - =2, sin BCHHH=cosC - BH=2 - cosB - cosC 同样可得HH, HH.d 垂=HH+HH+HH=2(cos B - cosC+cosC - cosA+cosA - cosB)欲证结论，观察、，须证(cos B - cosC+cosC - cosA+cosA - cosB)+( cosA+ cos B+ cosC)=sin B - sin C+sin C sin A+sin A sin B 即可.练习题1. I为4ABC之内心，射线AI, BI, CI交4