三角形的等积变形

1、课程信息年 级四年级学 科奥数版 本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式：$=底X高及三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。当三角形的底和高同时发生变化时，三

2、角形的面积不一定变化。 一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。重要结论：等底等高的两个三角形面积相等。若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。例1 如图，在 ABC中，D是BC边上一点，BD=12厘米，DC=4厘米。（1）求 ABC的面积是 ABD面积的多少倍;ADC面积的多少倍。（2）求 ABD的面积是4分析与解：因为

3、ABD、 ABC和 ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12+4= 16, 16+12=4 ,所以 ABC的底是 ABD的底的-倍，所以， ABC的面积是4ABD面积的-倍；333同理，因为12X = 3,所以4ABD的面积是4ADC面积的3倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数=底边长的倍数。例2 如图，E在AD上,AD垂直于BC,AD = 12厘米，DE=3厘米。求 4ABC的面/积是4EBC面积的几倍。分析与解：因为AD垂直于BC,所以当 BC为4ABC和4EBC的底时，AD AABC的高，ED是4EBC的

4、高。于是 ABC的面积=BCX12e =BC4； EBC 的面积=BCX32 = BCX1.5。所以4ABC的面积是4EBC的面积的4倍。巩固理解结论：两个三角形等底时，面积的倍数=高的倍数。例3 如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点为 O,求证：4AOB与ACOD面积相等。分析与解：:ABC与4DBC等底等高,Saabc = Sa dbc。又SA AOB = SA ABCSABOC，SA DOC = SA DBCSA BOC，一SAAOB = SA COD 例4 如图，4ABC的面积是 24, D、E和F分别是 BC、AC和AD的中点。求 DEF的面积。分析与解：.D是BC的中

5、点，.ADC的面积是 4ABC面积的一半，即 24攵=12。.E是AC的中点，.ADE的面积是 4ADC面积的一半，即 12妥=6。.F是AD的中点，DEF的面积是 4ADE面积的一半，即 DEF的面积=6妥=3。工凰同圻航例5如图所示，在平行四边形 ABCD中，E为AB的中点，AF = 2CF , AAFE （图中阴影部分）的面积为 8平方厘米。则平行四边形 ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解：连结FB。因为AF = 2CF,所以4AFB的面积是4CFB的面积的2倍。又因为E为AB的中点，所以4AFB的面积是4AEF的面积的2倍。所以4ABC的面积是4AEF的面积的3倍。又因为平行四边形

6、 ABCD的面积是4ABC的面积的2倍，所以平行四边形 ABCD的面积是4AFE的面积的3X2= 6倍。因此，平行四边形 ABCD的面积为8X6 = 48 （平方厘米）。（答题时间:30分钟）1 .用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2 .如图，在长方形 ABCD中，AD为8厘米，AB为3厘米。请问：阴影部分的面积是多 少平方厘米？3 .如图，在4ABC中，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知 S abc = 27平方厘米，求S DEF4 .如图所示，梯形 ABCD的上底AD长为5厘米，下底BC长为12厘米，腰CD的长为8厘米，过B点作CD的垂线BE, BE

7、的长为9厘米。那么梯形 ABCD的面积是多少？5 .如图所示，正方形 ABCD的边长为10,三角形BEF的面积为30。那么BF的长度为 多少？友的结局在征来自于艰难的过程.。试题答案1 .解：解法一：如图（1）,将BC边四等分，连接A与各等分点，则AABD、AADE、AAEF、 AFC的面积相等。解法二：如图（2）, D是BC的二等分点，E、F分别是AC、AB的中点，从而得到四 个等积三角形 AADF BDF、 DCE、AADEo解法三：如图（3）, D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到 ABD、 AEC、AECF AFCD的面积相等。2 .解：可以通过等积变形把三个阴影三角形

8、变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为 8M妥=12 （平方厘米）。1 一3.解：因为D为BC边的二等分点，所以SA ADC SZABC = 9千方厘米。同理SA ABE =31 一 _1 一SA ABD = 6 平方厘米，SA BDF SA BDE 4 千方厘米，所以 SA DEF 27 9 6 4 833平方厘米。4 .解：连接BD,作出梯形的一条高 DF。三角形BCD以CD为底、BE为高，面积为89及 =36 （平方厘米）；也可以看做以 BC为底、DF为高，由BC=12厘米可知 DF为36X2+12 =6 （厘米）。在梯形ABCD中，上底为5厘米，下底为12厘米，高为6厘米，面积为（5 + 12） X6妥=51 （平方厘米）。5 .解：三角形ABE中以AB为底，相应的高与正方