立体几何大题练习文科

1、立体几何大题练习（文科）1. 如图，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是梯形，AB/ DC / ABC=9Q AD=SD BC=CD=侧面SAD/底面ABCD.（1）求证：平面 SBD/平面SAD;（2）若/ SDA=12Q,且三棱锥 S- BCD的体积为，求侧面 / SAB勺面积.【分析】（1）由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a, AB=2a,运用勾股定理和余弦定理，可得AD ,由线面垂直的判定定理可得BD/平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证;BC=1,运用勾股定理和余弦2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得定理，可得SA, SB,运用三角形的面积公式，即可

2、得到所求值.【解答】（1 ）证明：在梯形 ABCD中，AB/ DC / ABC=90, BC=CD=设 BC=a,贝U CD=a, AB=2a,在直角三角形 BCD中，/ BCD=9可得 BD=a，/ CBD=45， / ABD=45，由余弦定理可得 AD=a,贝 BD/ AD,由面SAD/底面ABCD.可得BD/平面SAD, 又BD/平面SBD,可得平面 SBD/平面SAD;（2）解：/ SDA=12Q且三棱锥 S- BCD的体积为,由 AD=SD=a，在/ SAD，可得 SA=2SDsin6Q =a/ SA啲边 AD上的高 SH=SDsin6Q ,=a 由SH/平面BCD可得X a XX

3、,a2=解得 a=1 ， 由BD/平面SAD,可得 BD/ SDSB=2a，又 AB=2a，在等腰三角形SBA中, 边SA上的高为=a, 则/ SA啲面积为X SAX a=a=点评】 本题考查面面垂直的判定定理的运用 注意运用转化思想 考查三棱锥的体积公式 的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题2. 如图，在三棱锥 A-BCD中，AB/ AD BC/ BD平面 ABD/平面BCD,点E、F ( E与A、D不重合)分别在棱 AD, BD上，且 EF/ AD求证：(1) EF/平面ABC;2) AD/ AC.【分析】(1)利用AB/ EF及线面平行判定定理可得结论;(2)通过取线段 CD上

4、点G,连结FG EG使得FG/ BC则EG/ AC利用线面垂直的性质定理可知 FG/ AD，解答】证明：结合线面垂直的判定定理可知AD/平面EFG从而可得结论.(1)因为 AB/ AD EF/ AD 且 A、B、E、F 四点共面,所以 AB/ EF，又因为EF/平面ABC, AB/ 平面 ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF/平面ABC;(2)在线段 CD上取点 G ,连结FG EG使得FG/ BC贝U EG/ AC因为 BC/ BD FG/ BC所以 FG/ BD又因为平面 ABD/平面BCD,所以FG/平面ABD ,所以FG/ AD又因为 AD/ EF 且 EFn FG=F所以AD/平

5、面EFG所以AD/ EG故 AD/ AC.点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定 考查空间想象能力 考查转化思想 涉及线 面平行判定定理 线面垂直的性质及判定定理 注意解题方法的积累 属于中档题.3. 如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，CC1/底面ABC, AC/ CB点M和N分别是B1C1和BC的中点.(1)求证：MB/平面AC1N;(2)求证：AC/ MB.【分析】(1 )证明MC1NB为平行四边形，所以 C1N/ MB,即可证明 MB/平面AC1N;(2)证明AC/平面BCC1B1,即可证明 AC/ MB【解答】证明：(1)证明：在三棱柱 ABC- A1B1C1中，因为点M ,

6、N分别是B1C1, BC的中点，所以C1M/ BN，C1M=BN.所以MC1NB为平行四边形.所以C1N/ MB.第3页(共 9页)因为所以MB/平面 AC1N;C1IN/平面 AC1N, MB/平面 AC1N,因为CC1/底面ABC,所以AC/ CC1.因为AC/ BC BCn CC1=C所以AC/平面 BCC1B1.因为MB/平面 BCC1B1所以AC/ MB.点评】 本题考查线面平行的判定, 考查线面垂直的判定与性质, 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.4. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，AD|BC , PD/底面ABCD,/ ADC=90 AD=2BC

7、, Q为AD的中点，M为棱PC的中点.(/证明：PA/平面BMQ;(/已知PD=DC=AD=2求点P到平面BMQ的距离.【分析】(1 )连结AC交BQ于N,连结MN，只要证明MIN/ PA,利用线面平行的判定定理可证;(2)由(1)可知，PA/平面BMQ ,所以点P到平面BMQ的距离等于点 A到平面BMQ的距离.【解答】解：（1）连结AC交BQ于N ,连结MN ,因为/ ADC=9Q Q为AD的中点，所以N为AC的中点.（2分） 当M为PC的中点，即 P M=MC时，MN为/PAC勺中位线,故MN PA,又MN/平面BMQ，所以PA/平面BMQ .（5分）（2）由（1）可知，PA/平面BMQ，

8、所以点P到平面BMQ的距离等于点 A到平面BMQ的距离，所以 VP- BMQ=VA BMQ=VM - ABQ,取CD的中点 K,连结MK,所以 MK/ PD, , - （7分） 又PD/底面ABCD,所以 MK/底面ABCD.又，PD=CD=2 所以 AQ=1, BQ=2, , - （10 分） 所以 VP- BMQ=VA- BMQ=VM - ABQ=, - （11 分） 则点P到平面BMQ的距离d=- （12分）点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离.5 .如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，BC/ AC D, E分别是AB, AC的中点.（1）

9、求证：B1C1/平面 A1DE;（2）求证：平面 A1D /平面ACC1A1.分析】（1）证明 B1C1/ DE，即可证明B1C1/平面A1DE;（2）证明 DE/平面 ACC1A1,即可证明平面 A1D/平面ACC1A1.第4页（共 9页）解答】证明： （1）因为 DE分别是AB, AC的中点，所以 DE/ BC - （2分） 又因为在三棱柱 ABC- A1B1C1中，B1C1/ BC所以B1C1/ DE- （4分） 又B1C1/平面 A1DE, DE/平面 A1DE,所以B1C1/平面 A1D（6分）（2）在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，CC1/底面ABC,又 DE/底面 ABC,所

10、以 CC1/ DE-（ 8 分） 又 BC/ AC DE/ BC 所以 DE/ AC （10 分） 又 CC1 , AC/平面 ACC1A1,且 CCm AC=C 所以 DE/平面 ACC1A1 （12 分） 又DE/平面A1DE ,所以平面 A1D曰平面ACC1A（14分）点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题.PC=AC1）求证：PA/平面 CMN;2）求证：AM/ 平面 PBC【分析】（1 ）推导出MIN/ AD, PC/ AD AD/ AC从而AD/平面PAC 进而 AD/ PA MN/ PA再由CN/ PA能证明PA/平面CMN.（2

11、）取CD的中点为 Q ,连结 MQ、AQ ,推导出 MQ/ PC,从而MQ/ 平面 PBC 再求出 AQ/平面 从而平面 AMQ/ 平面 PCB 由此能证明 AM/ 平面 PBC.【解答】证明：（1） /M , N分别为PD、PA的中点,/ MN为 / PA啲中位线,/ MN/ AD/ PC底面 ABCD, AD/平面 ABCD, / PC/ AD又/ AD/ ACP8 AC=C / AD平面 PAC/ AD/ PA/ MN/ PA又 / PC=AC N 为 PA的中点，/ CN/ PA/ MNP CN=N MN/ 平面CMN , CM/平面 CMN ,/ PA平面 CMN .解（2）取CD的

12、中点为Q 连结 MQ、 AQ/ MQ是 / PC啲中位线,/ MQ/ PC6在四棱锥P-ABCD 中，PC/底面 ABCDM ,N 分别是 PD,PA 的中点，AC/ AD/ ACD=/ ACB=60又 / PC平面 PBC, MQ/ 平面 PBC, / MQ/平面 PBC,AD/ AC/ ACD=60/ ADC=3. 0/ DAQ=/ ADC=30/ QAC=/ ACQ=60/ ACB=60/ AQ/ BCAQ平面 PBC, BC/平面 PBC, / AQT面 PBC,MQP AQ=Q /平面 AMQ/ 平面 PCBAM平面 AMQ , / AM平面 PBC线面、面面间的位置关系点评】 本题

13、考查线面垂直、 线面平行的证明 考查空间中线线、 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力 考查化归与转化思想、数形结合思想、第5页（共 9页）函数与方程思想，是中档题7.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面 PAD/底面ABCD,且PA=PD=AD E、F分别为PC BD的中点.(1)求证：EF/平面PAD(2 )求证：面 PAB/平面PDC.【分析】(1 )连接AC,则F是AC的中点，E为PC的中点，证明EF/ PA利用直线与平面平行的判定定理证明 EF/平面PAD;(2)先证明CD/ PA然后证明PA/ PD利用直线与平面垂直的判定定理证明PA/平面P

14、CD,最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB/面PDC.【解答】证明：(1)连接AC,由正方形性质可知,AC与BD相交于BD的中点F, F也为AC中点，E为PC中点.所以在 /CP中, EF/ PA又 PA/平面 PAD, EF/平面 PAD,所以EF/平面PAD;(2)平面 PAD/平面 ABCD平面 PACT 面 ABCD=ADCD/ 平面 PAD/ CD/ PA正方形 ABCD中CD/ ADP/平面PADC/平面ABCD又,所以 PA2+PD2=AD2所以/ PAD!等腰直角三角形，且，即PA/ PD因为 cm PD=D,且 CD PD/面 PDC所以PA/面PDC 又 PA/面 P

15、AB,所以面PAB/面PDC.点评】 本题考查直线与平面垂直的判定， 直线与平面平行的判定的应用， 考查逻辑推理能力.&如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA/平面 ABCD底面 ABCD为菱形，且 PA=AD=2 BD=2, 第6页(共 9页)E、F分别为AD、PC中点.（1）求点F到平面PAB的距离;（2）求证：平面 PCE/平面PBC.【分析】（1 ）取PB的中点G,连接FG AG,证得底面ABCD为正方形.再由中位线定理可得FG/ AE且 FG=AE四边形AEFG是平行四边形，则 AG/ FE运用线面平行的判定定理可得AD/EF/平面PAB点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的

16、判定和性质，证得平面PAB,即可得到所求距离;（2）运用线面垂直的判定和性质，证得BC/平面PAB, EF/平面PBC,再由面面垂直的判定定理，即可得证.【解答】（1 ）解：如图，取 PB的中点G,连接FG AG,因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2 , 所以底面ABCD为正方形./ E F分别为AD、PC中点,/ FG/ B， CAE/ B，C，/ FG/ AE FG=AE/四边形AEFG是平行四边形，/ AG/ FE/ AG平面 PAB, EF 平面 PAB / EF平面 PAB/点F与点E到平面PAB的距离相等, 由PA/平面 ABCD,可得PA/ AD又 AD/ AB PAD AB

17、=AAD/平面 PAB则点F到平面PAB的距离为EA=1.2）证明：由（ 1）知 AG/PB，AG/EF，/ PA平面 ABCD, / BC/ PA/ BC/ ABABA BC=B / BC/面 PAB,由AG/平面PAB / BC/ AG又 / PBA BC=B/ AG平面 PBC, / EF平面 PBC,/ EF平面 PCE第9页（共 9页）/平面PCE/平面PBC.点评】 本题考查空间点到平面的距离， 注意运用转化思想， 考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题9.在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为直角梯形，/ BAD=/

18、 ADC=90C=2AB=2AD, BC/ PDE, F分别是PB, BC的中点.求证：（1） PC/平面DEF;（2）平面PBC/平面PBD分析】（1 ）由中位线定理可得PC/ EF 故而 PC/平面 DEF;2）由直角梯形可得 BC/ BD，结合BC/ PD得出BC/平面PBD,于是平面 PBC/平面PBD.【解答】证明：（1） / E F分别是PB, BC的中点,/ PC/，EF又 PC/平面 DEF, EF/平面 DEF,/ PC/面 DEF.（2）取CD的中点M，连结BM,贝U ABDM, 又 AD/ AB AB=AD,/四边形 ABMD 是正方形，BM/ CDBM=CM=DM=1，BD=，BC=BD2+BC2=CD2BC/ BD BC/ PD BDn PD=DBC/面 PBD,又BC/平面PBC, /平面PBC/平面PBD.点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题.10.如图，在三棱锥 A-BCD中，E, F分别为BC, CD上的点，且 BD/平面AEF. 第8页（共 9页）（1）求证：EF/平ABD面;(2)若 AE/平面BCD, BD/ CD求证：平面 AEF/平面ACD.【分析】（1 ）利用线面平行的性质可得 BD/ EF从而得出EF/平面ABD;(2)由 AE/平面 BCD可得 AE/ CD 由 BD/ CD BD/ EF可