利用曲面积分和体积分计算转动惯量ppt课件

1、利用曲面积分和利用曲面积分和体积分计算转动体积分计算转动惯量惯量均匀圆盘转轴垂直盘面过圆心均匀圆盘转轴垂直盘面过圆心2dJr dm=dmdSs=dSrddr=22rdSr dr rdss=两边进展积分两边进展积分22300RSrdSr drdpss=蝌蝌4411242JRRspps=鬃=2mRsp=Q212Jm R=均匀圆环均匀圆环(转轴垂直环面过圆心转轴垂直环面过圆心)2dJr dm=dmdSs=dSrddr=22rdSr dr rdss=两边进展积分两边进展积分212230RRSrdSr drdpss=蝌蝌44211() 24JRRsp=-222221121()()2JRRRRsp=-+2

2、221()mRRsp=-Q22121()2Jm RR=+可以看到：可以看到：均匀圆环的转动惯量与均匀圆环的均匀圆环的转动惯量与均匀圆环的不同之处仅仅在于积分上下限的不不同之处仅仅在于积分上下限的不同同均匀圆盘直径为转轴均匀圆盘直径为转轴2dJr dm=dmdSs=si nrR=dSR ddR=222si nrdSRR ddRss=鬃232si nrdSR dRdss= 两边进展积分两边进展积分223200si nRSrdSR dRdpss=蝌蝌 224011cos242SrdSRdpss-=蝌2240011(cos22 )82JRddpps=-蝌4221144JRRRspsp=鬃2mRsp=Q

3、214Jm R=均匀圆环直径为转轴均匀圆环直径为转轴2dJr dm=dmdSs=si nrR=dSR ddR=222si nrdSRR ddRss=鬃232si nrdSR dRdss= 两边进展积分两边进展积分2122320si nRRSrdSR dRdpss=蝌蝌 24421011cos2()42JRRdps-=-2442101()(8JRRdps=-201cos22 )2dp-44211()4JRRsp=-222221121()()4JRRRRsp=-+2221()mRRsp=-Q22121()4Jm RR=+均匀薄球壳曲面积分均匀薄球壳曲面积分22dJr dmrdSs=si nrR=d

4、SrdR d=222si nsi nr dSRRdR d=鬃 224300si nSrdSRddppss=蝌蝌 4202si n( cos )JRdpsp=鬃-4202(cos) cosJRdpps= 两边进展积分两边进展积分4202coscosJRdpps=0cos dp-412 ( 11)( 11)3JRps=- -483JRps=24mRsp=Q22222433JRRm Rsp=鬃由于质量的面密度由于质量的面密度仅仅在薄球壳仅仅在薄球壳时才有意义，所以对于厚球壳不能时才有意义，所以对于厚球壳不能用上面的方法进展计算。用上面的方法进展计算。均匀球体体积分均匀球体体积分 对于均匀球体，我们有

5、两种取微元的方法： 一、把球体沿垂直直径的方向切成薄片，再将薄片沿径向和横向切分为微小质量元。dVrddr dhj=鬃:r薄板上质量元的径矢长度:dj质量元在薄板上的横向角度微元:dr质量元占据的径矢长度微元:dh质量元所在薄板的厚度2dJr dm=dmdVr=dVrddr dhj=鬃22rdVrrddr dhrrj=鬃两边进展积分两边进展积分22300RrRVr dVr dr dhdprrj-=鬃蝌蝌蝌30rr dr是一个积分上限函数24124RRVrdVr dhrrp-=蝌蝌22rRh=-Q222 21()2RRVrdVRhdhrpr-=-蝌蝌42241(2)2RRRRRRJR dhR h

6、 dhh dhpr-=-+蝌555142(2)235JRRRpr=-+5328241553JRRRprrp=鬃343mRrp=Q225Jm R=第一种方法的本质是在柱坐标系下对球体求体积分二、把球体剥离成为一层一层的薄球壳，再把球壳沿纬线平面平面和经线面切分为质量微元。dVrdR ddRj=鬃:r质量微元到转轴的径矢长度:d质量微元沿纬度平面占据的微小角度:R质量微元到球心的径矢长度:dj质量微元在经度平面上占据的微小角度:dR质量微元在到球心的径矢方向占据的微小角度2dJr dm=dmdVr=dVrdR ddRj=鬃222si nsi nr dVRRdR ddR=鬃 si nrR=两边进展积

7、分两边进展积分2234000si nRVrdVddR dRpprr=鬃蝌蝌蝌 52012si n( cos )5JRdprp=鬃5202(cos) cos5JRdprp= 52002(coscoscos )5JRddpprp=蝌 521 ( 11)( 11)53JRrp=- -5328241553JRRRrprp=鬃343mRrp=Q225Jm R=第二种方法的本质是在球坐标系下对球体求体积分。另外，我们还可以在笛卡尔坐标系下求体积分，但是在笛卡尔坐标系下对球体求体积分计算非常费事。例如以z轴为转轴dVdx dy dz=鬃222()r dmxy dx dy dzr=+鬃对于均匀的厚球壳，我们也

8、可以采取类似第二对于均匀的厚球壳，我们也可以采取类似第二种求均匀球体转动惯量的方法。两者的不同之种求均匀球体转动惯量的方法。两者的不同之处仅仅在于积分上下限的选取。处仅仅在于积分上下限的选取。可以看到体积分转化为三重积分后的方式非常复杂，难以计算。22222222222RRzRyzRRzRyzVr dm-=蝌蝌蝌22()xy dx dy dzr+鬃2dJr dm=dmdVr=dVrdR ddRj=鬃222si nsi nr dVRRdR ddR=鬃 si nrR=两边进展积分两边进展积分21223400si nRRVrdVddR dRpprr=鬃蝌蝌蝌 55221012()si n( cos )5JRRdprp=鬃-5522102()(cos) cos5JRRdprp=- 5522102()coscos5JRRdprp=-（0cos )dp-552121() ( 11)( 11)53JRRrp=- -55218()15JRRrp=-33213=4 ()mmVRRrp=-5521332183()15 4 ()mJRRRRpp=鬃-552133212 ()5()m RRJRR-=-55213321()()RRRR-至于等式中等于什么，鄙人也不知道。这玩意谁会谁去弄吧但是我们可以用求极限的方法得到薄球壳的转动惯量计算公式。553302 ()l i m5 ()RmRRRRRR+-