保险精算学4-2作业

1、1、30岁的人购买两年期定期保险，保险金在被保险人死亡的年末给付，保单年度t的保额为bt,已知条件为：q3o=O.1, b2=10- bi, q3i=0.6.i=0, Z表示给付现值随机变量，则求使得Var(Z)最小的bi的值。【解析】匸山则、=1,故y h e J 町f* =札"I 卩 _ 1 "-如lrK(30) - 0三皿=总弭=卩rK (3(J>=皿=吗風】=(1 -0.lx0 6= 0/)4故 t'(2 ) = b, X )1 + (10-/1,)K0.54. 昇 xO.l + 10 =,)" J( 0.54.故 V瘦 f (Z) = &#

2、163;'(Z)-(£(Z )f = 0-44听 4为:-(rC4H/i,十 24.S-+=所以当,=6XJ41i/(2 X0.44M).8 忖，rr(2)最小口2、50岁的人投保保额为1的终身死亡保险，设年利息力为常数0.06,死亡服从De Moivre假设，3=100,求保额在保单生效时的精算现值。t解析ItEOeMoNre假段卜一.仃r/J X. JtI1M X.ZJ J * 皿一工5(!5O + f)=l/50o所以保獭花保单生效时的精算现值为書3、已知：lx=100 X, 0« 100 i=0.06。求 A3010【解析J己知则故IT±-tt*,

3、 JOD-J - Jk - lUG + jt + t + 11 o n - JK-y 宀OCJ -工匕7,36111I () - A-0.5584(90-jr) 7,3601k101)- A10血一_157.6_0,5SR4.r100 - Jt“57 6- 0 54x10故”轴丽=TO=0 5X44、已知：A 0.24,4 100.35, AX：100.5。求AX10。【解析】由已知，有故一罰二儿-,严九訥"5、(25)有一份终身寿险，提供如下保障:(1)死亡保险金在死亡发生的年末支付，并且在65岁之前为20000元，在其后为10000元;(2)若其在65岁时仍然活着，则退回趸缴纯保

4、费(不带利息) (3) A25=0.10, A65=0.2, 4OP25=0.8, V4O=0.2。求该保险的趸缴纯保费。t解析】设尸为g缴纯保费、込为死亡给付现偵随机变童，则闽的荒缴纯保费可以看柞 一个蛤讨2000()尤的终身寿险.减去一个给忖1000()尤的40佯延期终:寿险”加上一个砧岁肘 的生存保险，W尸=2M(KM鹉-俭+严严乂畑"7化服> =200啊码一 mow如兀-200(1"工-1恥00严服九、+20000 X 0 1 - 0(JOOx 2 x () M x 0 21 - 0 2x0.8耕冉 t 八 M 200(1< X ).6、已知 A35：1

5、 0.9439, (2) A35 0.13, ( 3) P35 0.9964, (4)(IA)353.71。求(IA)36。【解析】由已Sb #=V ?十卩叶=V = 0,439 乂(M.-心= F P/ WL r7、一份保险若(80)在第k+ 1年死亡，k=0, 1, 2,，则在其死亡年末支付k+1。假设v=0.925;且若q8o=O.1，则该保险的趸缴纯保 费为4。那么当q80=0.2时，求该保险的趸缴纯保费。【鮮析】由已知，有原缴纯保费为呻旳+2#为曲弘i+3v>so'i(a I皿沁出皈|+- W时*TW2內总I朝叫呛+4V為. J=4%鮒由41变为叮时”新的«缴

6、纯保费知加饷4( 1 -沏QQ谟务4狩L岛+4叫办|+-) =2伽加一 2如)仗一呗=2 X 0.925X0.1 + (1 2 X(1 X (4-0'?)25 X0J )X)-9=3*668对于（60）购买的20年期递减的定期寿险，已知i=0.06,当q6o=O.3时，该险种的趸缴保费为13元；当q6o=O.2时，设该险种的趸缴保费为P。且除60岁外，其余年龄的生存状况没有任何改变。求P。解析】洱时，仙丨"=酣和P J恥）:问故（g L耐"1八故当爾cHH时，=20 XX 0,2 十X<1 -0 2x1 (J61 Of,=12 19、小张为现年60岁的母亲购买

7、了一份终身寿险保单，保单利益为:若被保险人在保险期第一年内死亡，则在年末给付保险金7000元;若在第二年内死亡，则在年末给付保险金 7100元，即在以后，死亡时间每推迟一年，保险金额增加100元。已知i=2%, M6o=184.8575O9,D6o=274.336777, 0=3538.387666。求这种寿险的趸缴纯保费。【解析】此寿险叮分解为两部分，一部分为给时保险金不变的寿险，不论被保险人什么 吋候死亡保险金给付擁是6帥0兀，另一部分为变额痔险，尿险金的给付按死亡时闾推移，每 年谨增HX）元，则这种寿险曲崑缴纯保费为=.W阳叫nflyOUA“ + 1 00(打Oz =麻勺 «計

8、 十 100%3:53 飢抬"66=6900 Xh 1 00 K：74.3367772T4,33<i777=几】10、考虑一终身寿险，保险金额b在死亡时刻给付，Z为未来给付的随机变量的现值，已知 8=0.04,如=0.02, t >p E(Z)二Var(Z)。求bE解析】由丁-二=厂亠"巧=，”一 kii h故 EZ = hA = *力"3订)=广伦一町)-扩p + Vi » "丿 J3辭得 1 b = 3.75.1,0 T 9511、设(X)的未来寿命T=T(x)的密度函数为：J t 950,其它利率力为8=0.06,保额为一个单

9、位的终身寿险的现值随机变量为乙求满足Pr(Z<Z.9)=0.9的分位数Z.9的值。【解析】令"F 2 "叫时,r = exp. R ） < L则I血r卩化左门耳卜叫/曲J =（丁，的= iJ_9解軒:h = 9 fly In 刍* = 9 芍 In 卄做 q = &斗-9"） = 0655.12、30岁的人购买保额为1000元的特殊的35年期两全保险，已知在其购买保险时，其两个孩子的年龄分别是3岁和6岁，保单特殊约定为：如果被保险人死亡时两个孩子的年龄都小于11岁，那么给付额为3000元，如果被保险人死亡时只有一个孩子的年龄小于11岁,那么给付

10、额为 2000元。在被保险人死亡时立即给付保险金，且eo+t=0.04, t 80.06，35E3o=0.0302。则求此保单的趸缴纯保费。【解析】由题啬呵知，逐保雌相当于额】0仙无的站年期两全保险41（%元保额的！4年期 定期侃险5*卡内被探险人只冇一个挨子小于H岁）+10lK17t保额的$年期定期悚险（5年内 两人孩了都小子11岁】,故此保口的耳繳保险费为乂II txpt#n 5工时-口'门屮小,办+ ”七“+ /1卩（一歸）5和-如* /）戸叭df4, «p（-知）沱匸巩-斗l-es p 5(也 U4 + WI用) = 7yb JG J"呻血呵'，I宀

11、 “:二加吨卜即心“呵0 04+0山4 + 0 0613、设乙是（X）岁的人投保死亡即刻赔付1的n年定期寿险的现值变量，Z2是（X）岁的人投保死亡即刻赔付1的n年定期两全保险的 现值变量。已知：vn = 0.200, nPx = 0.450, EZ2 = 0.350, VarZ2=0.060,求 Var(Z1)。【斛析】令Zj为G）岁的人投保期末贴付1的用年定期生存保险的现偵变童.则有; 史飞王= * *»卩，=0 .2 xO”45 = 0,09= f'h ” p, = （）1.04 X- >.45 = U.OlN根据两全保险定期爲险和生存保险的爻系，有昭皿所以 E（ZQ=E（£d+E,故 f（Z, ）=£（）-£（Z,）=0J5-0.09=0.26:X 应&