2017年中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第27课时锐角三角函数的应用

1、 第 5 章图形的性质 第27趣瞬争翻 【精学】 考点一、解直角三角形应用题 1.常用基础知识 （i）仰角和俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方 的叫俯角 （2）坡度和坡角 .h i = 坡面的铅直高度 h和水平宽度丨的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即 1。坡度一般写成1：m的 形式，如i T 5等。 把坡面与水平面的夹角记作 :（叫做坡角），那么 i 亠铅垂线 2 方向角（或方位角）： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的水平角叫做方向角。 如图 4,0A、OB OC 0D 的方向角分别是：北偏东 30（东北方向） 南偏东 45 （东南方向

2、），南偏 西 60（西南方向）， 北偏西 60（西北方向） 3 2 .解直角三角形的实际应用 描述：解直角三角形的实际应用问题的一般步骤: 弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等概念，然后根据题意画出几 何图形.建立数学模型； 将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时, 可添加适当的辅助线把它们分割成直角三角形或矩形； 寻找基础直角三角形，并解这个三角形. 【巧练】 题型一、方位角 例 1. （2016?山东泰安）如图，轮船沿正南方向以 30 海里/时的速度匀速航行，在 M 处观测到灯塔 P 在西偏 南 68方向上，航行 2

3、小时后到达 N 处，观测灯塔 P 在西偏南 46方向上，若该 船继续向南航行至离灯塔 最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到 sin22 =0.3746 , sin44 =0.6947) ( ) 【答案】B 【分析】过点 P 作 PAI MN 于点 A,则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为 PA 的长度，利用锐角 三角函数关系进行求解即可 【解答】解：如图，过点 P 作 PAI MN 于点 A, sin68 =0.9272 , sin46 =0.7193, A. 22.48 B 41.68 C 43.16 D 4 MN=3（0 2=60 （海里）， / MNC=9,/

4、CPN=6, / MNPM MNC#CPN=136 , / BMP=68 , / PMN=9 -Z BMP=22 , / MPN=18 -Z PMN-Z PNM=2 , Z PMNZ MPN MN=PN=6（海里）, Z CNP=46 , Z PNA=44 , PA=PN?sinZ PNA=6（X 0.6947 41.68 （海里） 故选：B. 【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键. 题型二、俯角和仰角 例 2.（2016?山东聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结 合的城市地标，如图，点 O 是摩天轮的圆心，长为 110

5、 米的 AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面 C 点处利 用测角仪测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 33,测得圆心 O 的仰角为 21，则小莹所在 C 点到直径 AB 所 在直线的距离约为（tan33 0.65 , tan21 0.38 ） （ ） 5 A. 169 米 B . 204 米 C . 240 米 D . 407 米 【答案】B 【分析】过 C 作 CDL AB 于 D,在 Rt ACD 中，求得 AD=CD?taM ACD=CD?tan3，在 Rt BCO 中，求得 OD=CD?taM BCO=CD?tan2l，列方程即可得到结论. 【解答】解：过 C 作 CDAB 于 D, 在

6、 Rt ACD 中, AD=CD?taM ACD=CD?tan3 , 在 Rt BCO 中, OD=CD?taM BCO=CD?tan2l , / AB=110m / AO=55m A0=AD- OD=CD?tan3 - CD?tan21 =55m 55 _ 55 CD= 二204m 答：小莹所在 C 点到直径 AB 所在直线的距离约为 204m. 故选 B. 【点评】此题主要考查了仰角与俯角的问题，禾 U 用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条 公共边是解答此题的关键. 题型三、 坡度和坡角 例 3. （2016?重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度的综合实践活动，如

7、图，在点 A 处测得直立 于地面的大树顶端 C 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方 向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度（或坡比）i=1 : 2.4，那么大树 CD 的高度约为（参考数据: sin36 0.59 , cos36 0.81 , tan36 0.73 )( ) A. 8.1 米 B . 17.2 米 C . 19.7 米 D . 25.5 米 【答案】A 6 【分析】作 BF 丄 AE 于 F,贝 U FE=BD=6 米，DE=BF 设 BF=x米，贝 U AF=2.4 米，在 Rt ABF 中，由勾股定理得

8、 出方程，解方程求出 DE=BF=5 米，AF=12 米，得出 AE 的长度，在 Rt ACE 中，由三角函数求出 CE 即可得 出结果. 【解答】解：作 BF 丄 AE 于 F,如图所示： 贝 U FE=BD=6 米, DE=BF 斜面 AB 的坡度 i=1 : 2.4 , AF=2.4BF, 设 BF=x米，则 AF=2.4x 米, 在 Rt ABF 中，由勾股定理得： x2+ （2.4x ） 2=132, 解得：x=5, DE=BF=5 米, AF=12 米， AE=AF+FE=18 米, 在 Rt ACE 中，CE=AE?tan36 =18X 0.73=13.14 米， CD=CE D

9、E=13.14 米-5 米 8.1 米； 故选：A. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键. 【限时突破】 1 . （2016?黑龙江绥化）如图，小雅家（图中点 O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中 点 A 处）在距她家北偏东 60方向的 500 米处，那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是（ ） 7 500 C. I 時二米 D. 500，米 2 . （2016?四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的 斜坡，数据 如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ） A. 斜坡 AB 的

10、坡度是 10 B. 斜坡 AB 的坡度是 tan10 C. AC=1.2tan10 米 匚2 D. AB= i - 米 3. （2016?广西南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度 BC=10 米，/ B=36 ,则中柱 AD （D 为底边中点）的长是（ ） A. 5sin36 米 B. 5cos36米 C. 5tan36 米 D. 10tan36 米 4 . （2016 河南）如图，小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37 旗杆底部 B 点的俯角为 45 .升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处.若国旗随国歌声冉冉升起，并在 国歌

11、播放 45 秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米 /秒的速度匀速上升？ （参考数据：sian 37 =0.60 , cos37 =0.80 , tan37 =0.75） A. 250 米 B. 250 米 A 8 5. （2015?海南）如图，某渔船在小岛 0 南偏东 75方向的 B 处遇险，在小岛 0 南偏西 45。方向 A 处巡航 的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛 的正东方向上. （1） 求/ BAO 与/ ABO 的度数（直接写出答案）； （2） 若中国渔政船以每小时 28 海里的速度沿 AB 方向赶往 B 处救援，能否在 1 小时内赶到？请说明理由.（参

12、 考數据：tan75 3.73 , tan15 0.27 , 1.41 , 2.45) 6. （2015?辽宁本溪）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树 CD 的高度，如图，山坡与水平面 成 30角（即/ MAN=30 ），在山坡底部 A 处测得大树顶端点 C 的仰角为 45，沿坡面前进 20 米，到达 B 处，又测得树顶端点 C 的仰角为 60 （图中各点均在同一平面内），求这棵大树 CD 的高度（结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.732） 0 相距 8 海里，渔船在中国渔政船 A 迟 9 【答案解析】 1.【分析】在 RTAAOB 中，由/ AOB=30 可知 ABAQ 由此

13、即可解决问题. 【解答】解：由题意/ AOB=90 - 60 =30 , OA=500 / AB 丄 OB / ABO=90 , 丄 AB= AO=250 米. 故选 A. 【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解 题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型. 2 .【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案. BC 【解答】解：斜坡 AB 的坡度是 tan10 = ，故 B 正确； 故选：B. 【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键. 3 .【分析】根据等腰三角形的性质得到 DC=B

14、D=5 米，在 Rt ABD 中，禾 U 用/ B 的正切进行计算即可得到 AD 的长度. 【解答】解： AB=AC AD 丄 BC, BC=10 米， DC=BD=5 米, 在 Rt ADC 中，/ B=36 , AD tan36 = BD，即 AD=BD?tan36 =5tan36 （米）. 故选：C. 10 【点评】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型， 把实际问题转化为数学问题. 4 .【答案】国旗应以 0.3 米/秒的速度匀速上升. 【解析】 试题分析：如图，过点 C 作 CD 土幼，垂足为 D,即可得 DB=9 在 RTACBD 中，可

15、求得 CD=BD=9o 在 RTA ACD 中/AcD=37，根据锐角三角函数可得 ADb 再由速度=路程十时间即可得。 解：过点 C 作 CDL AB,垂足为 D,则 DB=9. 在 Rt CBD 中 , / BCD=45 , CD=BD=9 在 Rt ACD 中 , / ACD=37 , AD=CD tan37 9X 0.75=6.75.11 AB=AD+DB6.75+9=15.75. (15.75 2.25) - 45=0.3(米 / 秒). 国旗应以约 0.3 米/秒的速度匀速上升 LU m 丁 5 .分析：(1 )作 Od AB 于 C,根据方向角的定义得到/ AOC45。，/ BO

16、C=75，由直角三角形两锐角互 余得出/ BAO=90 -Z AOC=45，/ ABO=90 -Z BOC=15 ; V2 (2)先解 Rt OAC 得出 AC=OC=2O 辰 5.64 海里，解 Rt OBC 求出 BC=OC?taZ BOG 21.0372 海里，那 么 AB=AC+BG26.6772 海里，再根据时间=路程十速度求出中国渔政船赶往 B 处救援所需的时间，与 1 小时 比较即可求解. 解答： 解：(1)如图，作 OCLAB 于 C,由题意得，Z AOC=45 , Z BOC=75 , vZ ACOZ BCO=90 , Z BAO=90 -Z AOC=90 - 45 =45

17、Z ABO=90 -Z BOC=90 - 75 =15; (2)若中国渔政船以每小时 28 海里的速度沿 AB 方向赶往 B 处救援，能在 1 小时内赶到.理由如下： 在 Rt OAC 中, Z ACO=90 , Z AOC=45 , OA=8 海里， V2 AC=OC= OAG 4X 1.41=5.64 海里. 在 Rt OBC 中, Z BCO=90 , Z BOC=75 , OC=4海里， BC=OC?taZ BOG 5.64 X 3.73=21.0372 海里， AB=AC+BG5.64+21.0372 =26.6772 海里， v中国渔政船以每小时 28 海里的速度沿 AB 方向赶往

18、 B 处救援， 中国渔政船所需时间：26.6772 - 28 0.953 小时V 1 小时， 12 故若中国渔政船以每小时 28 海里的速度沿 AB 方向赶往 B 处救援，能在 1 小时内赶到. 点评： 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出 辅助线构造直角三角形是解题的关键. 6 .分析： 过 B 作 BE CD 交 CD 延长线于 E,由/ CAN=45 , / MAN=30 ,得到/ CAB=15 ,由/ CBD=60 , / DBE=30 ,得到/ CBD=30 于是有/ CAB 玄 ACB=15 所以 AB=BC=20 解 Rt BCE 可求得 CE 解 Rt DBE 可求得 DE CE- DE 即得到树高 CD. 解答： 解：如图，过 B 作 BE! CD 交 CD 延长线于 E, / CAN=45，/ MAN=3 , / CAB=15 / CBD=60，/ DBE=30 ,