二项式定理常见题型

1、项式定理1. 二项式定理：(a b)n Cnan cnan 1b Lcnan rbr L CR"n N),2. 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 C n (r 0,1,2,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第 r 1项C；an rbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1 Va" rbr表示。3 .注意关键点： 项数： 顺序： 指数：系数:展开式中总共有 (n 1)项。注意正确选择 a,b,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。a的指数从n逐项减到0,是降幕排列

2、。b的指数从0逐项增到n，是升幕排列。各项的次数和 等于n.注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是与b的系数(包括二项式系数)。Cn0,C1，Cn2,C,c；n.项的系数是a4.常用的结论：令 a 1,b X, (1 令 a 1,b X, (1 5 .性质：二项式系数的对称性:X)n Cn0 Cnx Cn2X2 L c；xr LX)nc0 cnx C：X2 Lc：xr LC；nxn( n N/ id n n n z(1) CnX (n与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为变形式cn Cn Lcn L=偶数项的二项式系数和：a 1

3、,b1，奇数项的二项式系数和在二项式定理中，令从而得到：cO CC：c；rcn奇数项的系数和与偶数项的系数和:(a(X 令X 令XX)na)nC 0 n 0Cna X0 0Cna则a0厂1 n 1Cna X n 1CnaxC2anCna2I 22Xn 2X1,1,则 ao得,a。得，印aiaia2a3a2a2aasLa3 Lan(aa3anancOC：cn2nCnc；C； Lc n 0 nCna X_ n n0Cna Xi 1)n (a 1)nnaoa1xnanXcO L cn L1)nc；n(11 2n22a2X2a2XCn CkcncnQ k 1cn2n,1)n2n1a1XnanX1aoa

4、n(a (a J(奇数项的系数和2(a (a (偶数项的系数和二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数如果二项式的幕指数 大值。n是偶数时，则中间一项的二项式系数n是奇数时，则中间两项的二项式系数ncn2取得最大值。n 1 n 1c, c£同时取得最2 -A ，从而解出r来。Ar 2系数的最大项：求(a bX)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 A 1为A1, A2, , An 1，设第r 1项系数最大，应有"A 16二项式定理的十一种考题的解法:【题型一：二项式定理的逆用】 【例解:1 】：cn c； (1 6)n C06 Cn 626cn6n

5、163L C； 6n与已知的有一些差距,【练c362L C； 6n)HC： 6 cn2 626L cn 6n 1)(16)n6Cnn 6n11 6(7n 1)62Cn61 】：cn 3Cn cn9C3Cn !Cn323）n 13【题型二：利用通项公式求【例2】：在二项式（平245，1解：设Sn3SnSn(13n9Cn L扩33413Xn的系数】3n1C；3n 1C；，则L C；3n C0的展开式中倒数第Cn3 C2323项的系数为解：由条件知C：2即 Cn 45，210 rTr 1C1r0(x 4)10 r(x3)rC；oX2n n2 _r3，由题意900，解得3210x ,系数为贝y含有X3

6、的项是第7项T6 1 C10x3)9展开式中X9的系数？2x的-I-小 r,2、9r,1 , r小 r18 2r,1 , rr _ r .【练2】：求（X2c333 LCn3n 1(1 3)n45 ,3求含有X的项的系数?9（舍去）或n 10,由10 r4210 。3,解得解：Tr1 C9(x )()C9x() x C9 (2x29 3 1 3 21故X的系数为C9 ()。22【题型三：利用通项公式求常数项】1 10)的展开式中的常数项？2Vx1120 5r斗)r C1r0()rx 2 ,令： 2仮21求二项式(2x)6的展开式中的常数项？2xC；(2x)6 r( 1)r(m ( 1)rC；2

7、6rd)rx6 2x2(1)3C320若(X21)n的二项展开式中第5项为常数项，则X4. 2、n 4.1、44 2 n 12 人 c> c c /Cn(x )()CnX ，令 2n 12 0,得X1 , r 18 3r1)X令183r 9,则 r 3【例3】:求二项式（X2解:【练解:【练解:Tr 13】:Tr 1T44】：T5C1r0(x2)10r(205-r 0，得22r，令 6 2r8所以T9452560，得 r 3，所以【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】【例4】：求二项式（JX Vx）9展开式中的有理项?-12 -1 1解：Tr 1 C9(x2)9 r( x3)r2

8、7 r所以当r 3时，丄6当 r 9 时，3，627 r27 r(1)rc9xk，令z,( 064，T4 ( 1)3C3x484x4，T10( 1)3cy【题型五：奇数项的二项式系数和【例5】：若（JZ ）n展开式中偶数项系数和为256，求n.Jx解：设（4 丄于）n展开式中各项系数依次设为令x1,则有a0=偶数项的二项式系数和】a0 , a1,an ,ai将-得：2（ a1 a有题意得，2n 1【练5】：若（#x x1）n的展开式中，2 C4n Cn3 a5256an 0,，令x )28，2n,a1n 9。1,则有a。a3a5所有的奇数项的系数和为a1r 9)得 r3或r9 ,a 2a32n

9、1,(1)nan1024,求它的中间项。2n,解: QCn Cn Cn4C；'C： Cn3L C：r 12n12n 11024，解得所以中间两个项分别为 n 6,n7，T5 1C；(£)6(再)5 462 x 4，T6 1462n 1161x【题型六：最大系数，最大项】【例6】：已知（丄2x）n，若展开式中第5项，2项式系数最大项的系数是多少？解：QCn Cn 2C5, n221n980,解出 n 7或n 14，当 n 7时,C；（丄）423 沒，T5的系数 C；（1）3242 2 2T8的系数 （1）7272二项式系数最大的项是多少？的项是T4和T5 T4的系数二项式系数最

10、大的项是 T8，【练6】：在（a b）2n的展开式中,解：二项式的幕指数是偶数第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二展开式中二项式系数最大70,当n 14时，展开式中3432。2n,则中间一项的二项式系数最大，即1，也就是第n 1项。x 1【练7】：在（一 沪）n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?2 Vx解：只有第5项的二项式最大，则 -1 5,即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于C；（丄）2 72 2【例7】：写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数 7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且

11、同时取得最大值，从 C；a4b3的系数最小，T5 C；a3b4系数最大。1而有T4【例8】：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（一2x）n的展开式中系数最大的项？211n 12,假设 Tr 1 项最大，Q （ 2x）12 （）12（1 4x）1222解：由Cncn Cn279,解出ArAr 2C1r24rC1r24rC1r214rC1r214r11，化简得到9.4 r 10.4，又Q0 r 12， r 10，展开式中系数最大的项为 T11,有 T11(1)12C112 410x1016896X102的展开式中系数最大的项是多少？Q Tr 1 G； 2r XrC1r0 2rC1r012r

12、1 解得 2(11C1r0 2rC1r012r1，寸 r 1r 7,展开式中系数最大的项为【练8】：在(1 2x)10解：假设Tr 1项最大，ArAr 2Q0 r【题型七：含有三项变两项】【例9】：解法：10,r) r，化简得到6.3 k 7.3，又2(10 r)T8 C17)27x715360 X7.解法:【练9】:求当(X2 3x 2)5的展开式中X的一次项的系数？(X23x 2)5(X22)3x5，Tr1c5(x22)5 r(3x)r，当且仅当 r 1 时，Tr1 的展开式中才有X的一次项，此时Tr 1 T2 c5(x2 2)43x，所以X得一次项为c5c：243x 它的系数为c5c：2

13、43240。(X2 3x 2)5 (X 1)5(x 2)5 (CsX5 C5x4C?)(cfx5 c5x42故展开式中含X的项为Cs XC5 25 C；x24 240x，故展开式中X的系数为240.1 32)的常数项？求式子(X(C5xC5XC|25)解: (XTr 1(JX J)6，设第 r6r (丄)r (1)6C6r|x|6X两个二项式相乘】2)31项为常数项，则C6( I)r2r，得62r 0,r 3,T31(1)3C；20.【题型八：【例10】：求(1 2x)3(1 X)4展开式中X2的系数.解：Q(1 2x)3的展开式的通项是 cm (2x)m Cm 2(1 X)4的展开式的通项是

14、c4 ( X)n cn 1n Xn,其中m 0,1,2,3, n 令 m n 2,则 m 0且 n 2,m1且 n 1,m2且 n的展开式中X2的系数等于C3 20 C2 ( 1)2 c3 10】：求(1仮)6(1丄)10展开式中的常数项.Vx1m(1奴)6(1旷)10展开式的通项为C6mx3 gx【练解:【练解:21C其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,当且仅当 4m时得展开式中的常数项为211】：已知(1 X X )(X(X3n,c0c0c3C 4c 6C 8C6C10C6C10C6C102)n的展开式中没有常数项X1 ( 1)1cl 22 C0 ( 1)064m 3

15、nmn6 c10X 12口 r m0,亠m3,亠m6,即或或n0,n4,n8,4246,n N*且2n8,则nC0,因此(1 2x)3(10,123,4,X)4xn r X3rcn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得V)n展开式的通项为Xn 4 r r n 4 r 1 小 rX ,Cn X ,Cncn2,Q展开式中不含常数项,2 n2,即 n 4,8且n 3,7且n 2,6,【题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和】【例11】：在(X 72) 2006的二项展开式中，含X的奇次幕的项之和为cnn 4r X4r 且 n 4r 1且 n 4rn 5.S,当 X 时,SIc、夕 2006La2

16、006XI aX2006La2006X：2005)(X 返严a/2 ) 2006展开式的奇次幕项之和为S(X) 1(X解:设(X 72) 2006=a0(X V2) 2006=a0qx1a1X123OqXa3X23OqXa3X得 2(a1X a3X3a5X5 La2005 x(X V2)2006（X运)2006(X 逅) 2006 "时，皿2皿问2006 2间20063 2006223008 22【题型十:赋值法】设二项式 （3坂- ）n的展开式的各项系数的和为XP S 272 ,则n等于多少？ 解：若（3皈）X令X 1得P2n 16或 2n【例12】:230a1X32 XanXn，

17、有 Pp，所有二项式系数的和为S,若aoa1an ， S Cn4n，又 P S 272 ,即 4n 2n 272 17（舍去），n 4.n【练12】：若3丘 亠 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少?VX(2n 17)(2n 16)0 解得解：令X 1，则3仮n1的展开式中各项系数之和为 2"64，所以n 6，则展开式的常数项为Jx【例解:【练解:煮3仮)3 ( $)313】：若(1 2x)20091令X 2,可得a0540.1a02a2x3asXa2009X2009 (X R),则色2a222|009的值为在令X 0可得a0若（X 2）50得a013】令X5a5X

18、32,令 Xa? a3 a4【题型十一：整除性】【例14】：证明： 证：32n 2 8nC018n1cnw1a102?1,因而色24a4X1得a。31.a20092 2009a2尹3a3Xa12a2009220092a2X0,3221.a532n 29n,18n18n64整除9 !C：cn8n18n9(n9cnc；32n(8池22a1a2a31a1Xa4)能被64整除1)n1Cnn1818(n 1)8n 9(n8n 9C；1a20092 2009aoa。,则 a1a21,a3a4a5a5118n 98n9Cn 18ncn18n由于各项均能被以上是二项式定理应用的十一种典型题型，可概括为三个方面

19、的应用：二项式的展开式及组合先项原理的应用；通项公式的应用（求指定项如第三项、倒数第二项、含有X2项、常数项、有理项、无理项等，还可求系数最大的项）：赋值法的应用。另外，在题型上还可以与数列、函数等知识相结合。 练习：1. 已知（a+b）n展开式中各项的二项式系数之和为8 192,则（a+b）n的展开式中项数共有（A.14B.13C.12D.152. ab<0,a+b=1,（a+b）9展开按a的降幕排列后第二项不大于第三项，则a的取值范围是（)能被64整除A.4B. 5,C.D.(1,+ g)3.在 2x2n的展开式中含常数项，则自然数n的最小值是()A.24. 设(寸2 +x)10=a0+a1x+a2x2+a10X10,贝廿(a0+a2+a4+ a10)2-(a1+a3+ + a9) 2的值是()A.1B.-1C.0D.(V2-1)105. 设(1+x)+(1 + x)2+(1 + x)3+ +(1 + x)n=a0+a1x+a2x2+ +an x