平均变化率与瞬时变化率讲练

1、平均变化率与导数定义一：问题提出问题1气球膨胀”率问题:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气 球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积V(单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是 V(r)如果将半径r”表示为体积V的函数，那么 当V从0增加到1时,气球半径增加了.气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了.气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考：当空气容量从 V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少问题2高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：

2、m)与起跳后的时间t (单位：S)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t + 10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度V粗略地描述其运动状态 ？在0 t 0.5这段时间里，V =在1 t 2这段时间里,65这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49运动员在这段时间内使静止的吗？探究：计算运动员在0 t你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?265探究过程：如图是函数h(t)= -4.9 t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，讯65) h(0),49所以65.虽然运动员在0 t 这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是49运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速

3、度不能精确描述运动员的运动状态.结论：平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态;-9 -二平均变化率概念：1 上述问题中的变化率可用式子f(x2) fX)表示,X2 X1称为函数f (x)从X1到X2的平均变化2 若设 X X2 X! ,ff (x2) f (x-i)(这里 X看作是对于X1的一个“增量”可用 X1+ X代替X2,同样f y f(X2)f(X1)3.则平均变化率为-y 一X X思考：观察函数f (X)的图象(1)平均变化率 f(X2) f(X1)表示什么？XX2 X1(2)计算平均变化率的步骤：求自变量的

4、增量厶X=X2-X 1 ；IIO求平均变化率Xf(X2)=快卜触I I!I求函数的增量f=f(x 2)-f(X1);f(X1)X2 X1注意：X是一个整体符号，而不是与X相乘；X2= X 1+A X；f= y=y2-y 1;三典例分析B( 1X,解:例2 求解:四有效训练知函数f (X)=X2 X的图象上的一点A( 1,2)及临近一点X2在y),则XX X0附近的平均变化率。1 质点运动规律为 s2t 3，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为4s附近的平均变化率.2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，求在3.过曲线y=f(x)=x3上两点P (1, 1)和Q(1+ X,1+

5、y)作曲线的割线，求出当X=0.1时割线的斜率.1. 1.2导数的概念一：问题提出问题:我们把物体在某一时刻的速度称为。一般地，若物体的运动规律为s f(t),则物体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t到tt这段时间内，当时平均速度的极限，即Vlim sX 0 t我们称它为函数y f(X)在XXo处，记作f(X0)或三：求导数的步骤:f （XoX） f （Xo）；算比值f （XoX） f（Xo）.（即_变化率）求yX XoyX（在XX0时）h t 4.9t26.5t 10时，在2十加崗这段时间內.Af 0时，在2,2+也这段时间内存- 城 2）为+4.9AZ+13.1AV -沟（2+H一方（2-4

6、.9A?-13.1A/勺 2- （2亠&） AiQ=一4皿-13.1（2亠A苣）一2if=-49&-131当批= -0.01 时，Ai = -13.051； Q当山=0一01时 Ai =-13.051；十当=-0.001 时，A/=-13.0951,户当 A/ = 0 001 时，加= -13 0951J当应= -0.001 时，A/=-1109951；中当山= 0-001 时，=-1109551； P当= -0.0001 时，A/ = -13.09?951r 门当 A/ = O.OOCllByt，A = -13.099951；当如= -0.00001 时，A/ =-13.05551；当 A/

7、= 0.00001W, Az =-13.05551；中二：导数的概念函数y=f(x)在X=Xo处的瞬时变化率是： f (XoX) f (Xo)limX o即“一差；二比；三极限”。三.典例分析求y X22在点X=1处的导数.附注：导数即为函数 y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同定义的变化形式:f 2-忌 limof(Xo) f(X0 X)yf X = lim x xo ( x)lim f(x) f(Xo) ; fx = lim 丄色X XoX XoX 0X)f (Xo)；XX 0 时，XXo，所以 f (Xo) lim f (x)f (Xo)x Xo四.有效训练1、

8、已知函数yf(x)，下列说法错误的是(x) f (xo)叫函数增量B、f (xox)f(Xo)叫函数在Xo,Xox上的平均变化率C、D、f (x)在点Xo处的导数记为yf (x)在点Xo处的导数记为f (Xo)2.若质点A按规律S2t2运动，则在3秒的瞬时速度为(B、183、设函数f (x)可导,A f (1)C、54f (1 则 lim x 01、f1)X)3 XD、81凹=()、不存在、以上都不对平均变化率与导数的定义1、函数f xX2在区间1,3上的平均变化率是(2、经过函数y22x在区间3、4、2x2图象上两点 A B的直线的斜率1 , 1.5上的平均变化率为Xa1.5, Xb1)为如果质点M按规律s3 t2运动，则在时间2，2.1中相应的平均速度等于函数y1处的导数是5.已知函数f(x)1，分别计算f X在下列区间上的平均变化率(1)1，1.01(2)0.9,16.已知一次函数yf (X)在区间-2，6上的平均变化率为2，且函数图象过点(0,2)，试求此一次函数的表达式。7.已知函数y2f(x) 2x1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1+ X，f(1X),求8.将半径为V 4 R(R的球加热，若球的半径增加 R ，则球r彳(R)3 积增量R)22 19.求函数y X2在X 1,2,3附近的平均变化率，取X