多元线性回归模型公式

1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个(多于两个)要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。(一)多元线性回归模型的建立假设某一因变量y受k个自变量Xi,X2,.,Xk的影响，其n组观测值为(ya,Xia,X2a,.,Xka)，a =1,2,，n。那么，多元线性回归模型的结构形式为:ya = Po + PiXia + P2X2a +. + kXka 中 S（ 3.2.ii）Xia式中:p0,Pi,., Pk为待定参数;码为随机变量。如果b0,bi,.,bk分别为p0,Pi,p2., Pk的拟合值，则回归方程为?=b0+匕必+b2X2+.+b

2、kxk （3.2.12）式中:bo为常数;bi,b2,.,bk称为偏回归系数。偏回归系数bi( i =i,2,.,k )的意义是，当其他自变量 Xj( jHi)都固定时，自变量Xi每变化一个单位而使因变量 y平均改变的数值。根据最小二乘法原理，Pi( i =0,i,2,.,k )的估计值bi( i =0,i2.,k )应该使nQ =送ail1 A Yya - ya In2ya-（bo+ biXia +b2X2a +. + bkXka9T min（3.2.i3）am有求极值的必要条件得EQ占bj石Q"（八、cya - ya J = 0守a負丿（3.2.i4）= 22 ”a-ya jXj

3、a =0（j =i,2,.,k）将方程组(3.2.14)式展开整理后得:最新范本，供参考!nnnnnbo +(S X1a)bi+(2；X2a)b2+ .+(£Xka)bk=2yaa -4nX1aXka)bk =2： X1ayaa 4n( 3.2.15)X2aXka)bk=2 X2ayaa z1a 4a -1nnnn2任 X1a)bo+任 X1a)b1+任 X1aX2a )b2 + . + 任a 二a 1a 1aUnnnn2(送 X2a)bo+(2 X1aX2a)bi+(2 X2a h + + (送a4a4a4aUn(£ Xka)bo+(2 X1aXka)bi +(2 X2a

4、 Xka) + + (壬 xQbk I a4azin=2 Xkaya azi方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。 如果引入一下向量和矩阵：2b1b2,Y =¥2,X =乩f 111 .11X11X12X13XiiX21Xl2Xl3X1nX1nX22X2nX11X12Xk2Xk3XknX21X22Xk2a=xtx =X21X22.X2nX13n无X1aamn送X2aa 二nza z1n送 X12aa z1nZ X1aX2a amX1a.Xkn 丿n送X2aa z1n送 X1aX2a a z1nZ X；aa吕11X1nX2nXkn丿nS XkanW X1a Xka az!n送 X

5、2a Xkaa z1B = X TY =n无Xkaaz1n送 X1 aXkaa =1nZ X2aXkaa =1j11.1、X11X12X13.X1ny2X21X22X23.X2nXk1Xk2Xk3.Xkn 丿Jn；n£ xkaaz1/ nza z1nS X1ayaamn艺 X2a yaam、yan2 Xka ya la# 丿则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式Ab = B (3.2.15 '求解（3.2.15'式可得:b = AB =(xTx)/xTY (3.2.16)如果引入记号:n_j=Lji(Xia Xi)(Xja Xj)(i, j =1,2,.

6、, k)aziaLiy =2 (Xia -Xi)(ya - y)(i =人2，.*)则正规方程组也可以写成:Lud +. + = L"Lzb 中 _22鸟中+ _21<0 = L2y (3.2.15')'l_kib * Lk2b. Lkkbk - Lkybj = y - biXi b? X2 . - bk Xk（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。 与前面 的一元线性回归分析一样，因变量 y的观测值y1, y2,.,yn之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量X1,x2,.,xk的

7、取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和St或（Lyy ）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q :在多元线性回归分析中, 按公式回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以计算，而剩余平方和为n A U =2 (ya-y)amk=送 bi _iyi ¥nQ 二送(yaaA 2 ya)=Lyy 一 U即回以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，归平方和越大，则剩余平方和 Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归 分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数 k，而剩余平方和的