平面向量的坐标表示

1、./ -1.理解向量的有关概念(1)(2)（4）（5）a /第7章平面向量的坐标表示单' - h' tilJI?伴拎.小I讣,P ,7向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向;单位向量：给定一个非零向量 a，与a同向且长度为1的向量叫a的单位向量，a的单位向量是相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；平行向量(也叫共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作: b，规定零向量和任何向量平行；i提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；;两个向量平行与

2、两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重'合，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！(因为有0);LUU UUUr 三点A、B、C共线AB、AC共线;(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量,a的相反向量是长度相等方向相反的向量2.向量的表示方法(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示，如uuuAB，注意起点在前，终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如a， b， c等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底,5X, y为向量a的坐标，a (x, y)叫做向量a的坐标则平

3、面内的任一向量 a可表示为a X i y j，称表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同3. 实数与向量的积：r实数 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下:rraa0时，ra的方向与a的方向相同；当r0时，a的方向与a的方向相反；当0时，零4. 平面向量的数量积:ULW(1)两个向量的夹角：已知两个非零向量过O点作0Ar uuu ra , OB b，则/ AOB = 0 (0 °w0w 180° )r rr叫做向量a与b的夹角.当0= 0°寸，a与b同向;当0= 180时,a与b反向；如果a与b的夹角是90°我们说

4、a与b垂直，记作a b .(2)两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 0,则数量a b cos叫做a与rb的数量积(或内积)，记作a b，即a b =cos 规定零向量与任一向量的数量积为0若rra (Xi，yi),b (X2, y2)'则 a b =屮y.(3)向量的数量积的几何意义:b cos叫做向量b在a方向上的投影(0是向量a与b的夹角).a b的几何意义是，数量 a b等于模a与b在a上的投影的积.是a与b的夹角.(4)向量数量积的性质：设a与b都是非零向量，e是单位向量,当a与b同向时，a b =a b ;当a与b反向时，a b = - a b ,c

5、os = |a b| a b .(5)向量数量积的运算律:【提醒】r r若a br rrr(2) | a b|=ab(1)为锐角或者0角若a可以用来证明aPb.b 0则 a b 为钝角或者 角.(4)|非零向量a , b夹角的计算公式:cosa b|rrab a b = a b = a b a b c = a c b c5.平面向量的基本定理:有且只有一对实数6.向量的运算：(1)几何运算：向量加法：禾U用如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量ut ur ut2 e? , G、e2称为一组基底-u2，使 a= g平行四边形法则”进行，但 平行四边形法则”只适用于不

6、共线的向量，除此之外，r UUU ruuur三角形法则”：设AB a,BC b，那么向量AC叫做a与b的和，即 uuu uuu uuuruuu向量加法还可利用r ra b AB BC AC ;提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加ULurA1An (据此，可根据需要I法的两个向量的首尾相接.可推广到胃長2戦.UULUULTAn lAnl在一个向量的两个端点之间任意插点)向量的减法：用uuu r uuur三角形法则”设AB a, ACb，那么a br r UUU ULur UUUAB AC CB由减向量的终点指向被减向量的终点rrrrrrababab容易得出:

7、(2)坐标运算：设 a (x1,y1),b向量的加减法运算:(X2,y2)，则:rb实数与向量的积:raraX2,yi y2若 A(心 yi),B(x2, 丫2)，则线段的终点坐标减去起点坐标;X1, y1 uuu ABXi,yiy,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向平面向量数量积:a b = x1x2yy :向量的模：|：|y2, a2 |；X2 y2 ；7.向量的运算律:(1 )交换律:a) ( )a ,(2 )结合律:(ab)c (ab)c a (b c)；(3 )分配律:a b , (a b)a8.向量平行(共线)的充要条件：r(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是(ab)当a与

8、b同向时,0 ；当a与b异向时,r r若 a x1, y1 , bX2,y2 ，则 a/ba ；实数入是唯一存在的,X1 y2y1 X2(a b)2 (a【例 2 】已知点 0( 0, 0), A ( 1, 2), B (4, 5)及 OP =OA + t AB ,（这些和实数比较类似）.(3)在 ABC 中,若AXi，yi ,Bx2,y2,c X3,y3，则其重心的坐标为X1X2X3y1y2 y33uurPG特别地umPA13 uuu PA uuu PBuurPA3 uuuPBuuuPCABC的重心,向量uuuPBuuuPBuuu AB Luur ABuuuPC uuu PCuuurAC-t

9、uuAC0uuuPCP为 ABC的重心；uuuPA P为 ABC的垂心;0所在直线过 ABC的内心（是 BAC的角平分线所在直线）；uurOCuuuPA(4)向量uuuPBuuuOBuur uuu uuu PA、PB、PC uurPC且O是ABC的外心;中三终点A、B、C共线 存在实数使得7.1向量的坐标表示及其运算XiX2yiy20 9.向量垂直的充要条件：a b向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;当r a、rr0a bababa bb冋向或有当r a、rb反向或有r0a bababa bbbb，特别地,(2) aaabbbaaa当a、b不共线0

10、例题精讲【例1】已知G1,G2分别是 ABC和 ACD的重心，G是G1G2的中点，若A,B,C,D的坐标分别是 0,02,5 ,5,7 ,10,2，求点G的坐标.求：(1) t为何值时，P在x轴上？ P在y轴上？ P在第二象限？(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的 t值；若不能，请说明理由.过关演练uuu1.已知 A(x,2), B(5, y 2)，若 AB (4,6)，贝U x, y 的值分别为2已知向量 a (2x,7) , b (6,x4)，若 a b，则 x3.已知平行四边形 ABCD的顶点A( 1, 2)、B(3, 1)、C(5,6)，则顶点D的坐标为114若向量

11、 a (3,2) , b(0, 1)，则向量2b a的坐标是6.若M为ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是()uuuuuuuuuruuuuuuirMBuuuA .ABBCACB. AMBCuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur ACC.AMBMCMD.AMAMAMuuu73,uuuuuuuuuruuur7.在矩形ABCD中，ABBC1 ,则向量 ABADACA .2B. 2j3C.3D. 4则y等于uuu& 在 ABC 中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，已知D点坐标为(1,2)，的长度等于(5.若 a (2,3) , b (4,1 y)，且 ab ,

12、E点坐标为(3,5)，F点坐标为(2,7)，则点A坐标为b共线时，x的值为9已知 a (1,2), b (x,1)，当 a 2b 与 2a10.当 m时，向量a (2,m1)与b(m 2,6)共线且方向相同；当 m时，a与b共线且方向相反.11若三点 A(1,1) , B(2, 4) , C(x,9)共线，则12.设 a ( 1,2), b ( 1,1) , c (3, 2)，用 a、b 作基底有 c pa qb，则 puuu13.已知点M (x, y)在向量OP(1,2)所在的直线上，则 x,y所满足的条件是14.已知R(4, 3),P2( 2,6),(1)若点P在线段rurrPP2上，且P

13、Puuu2 PP2则点p的坐标是(2)若点P在线段UULTUULTPP4PP2则点P的坐标是PP2的延长线上，且(3)若点P在线段P2P的延长线上，UULTPP(4)若点P在线段P2P的延长线上，15.下列四个命题:若a b 0，若a与b共线,b与c共线，则16.已知 0(0,0)、UULTPP4 UULT5pp244 uulu-PP2则点P的坐标是,则点P的坐标是0 ；若e为单位向量，则aa与c共线.其中错误命题的序号是uuu uur uuuA(1,2)、B(4,5)，且 OP OA tOB，则当 t17 .已知a , b是两个非零向量，则“a , b不共线”是“a bb ”的18.下列四个

14、命题中是真命题的有个.若a b与a b是共线向量，则a与b也是共线向量若I a I|b | |a b |，则a与b是共线向量若| ab| |a| |b |，则a与b是共线向量若|a |b | |a | |b |，贝U b与任何向量都共线uur r uun r19.在 ABC中,设向量CA a,CB b，贝U ABC的面积S ABC =ABC的周长C ABC =20.对n个向量a-i, a2,., an，如果存在不全为零的实数a1,a2,., an 性 相关.若a11,1 ,a2k1: k2: k3 =21.在四边形ABCD中，uunABuurDC1,1，uurBAuurBA时，点P落在x轴上.

15、k1,k2L kn 使得 kg k2a2 .人 a.0 ,3, 2uuur BC uuur BC则称a33, 7 是线性相关的，则uruBDurrr ,则四边形ABCD的面积是BD7.2向量的数量积【例1】设0是直角坐标原点,OA 2i 3j,OB 4i j，在x轴上求一点P,使AP BP最小，并求此时 APB的大小.【例2】已知|a| J2,|b| 1，且a,b的夹角为一，又Oc a 3b,0D42ab，求 |CD |.注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解【例3】LT已知锐角 ABC中内角A,B,C的对边分别为 a, b,c,向量m(2sin Bj3),2

16、 B(2cos 1,cos2B),2LTT且m n(1)求B的大小,(2)如果b 2，求ABC的面积S ABC的最大值.513过关演练1. (1)已知|a| b | 1，a与b的夹角为120，则a已知|a|b| 1 , a b 4,则向量a与b的夹角为2. (1)已知|a|a与b的夹角为30 ,则a在b方向上的投影为已知|a|b | 5, a b 13 ,则a在b上方向上的投影为3.已知|a|b|4，且(a kb)(akb),则k的值为4.已知|a|a与b的夹角正弦值为12，则 |b |5.已知|a|b| 5 , a b 3 ,则 |a b |6.已知|a | 2 , |b |, a与b的夹角

17、为45，要使b a与a垂直，则uuuuuurAB4,AD3,7.在平行四边形 ABCD中，已知DABuuu60，贝U ABuuu DA =uuu& P是 ABC所在平面上一点，若 PAuuu uuu uuiuPB PB PCuuurPCuuuPA，贝y P是ABC的9.已知向量a,b是不平行于x轴的单位向量，且a b J3，贝y b =r10.与向量a1r,),b2uuurABa ,uuu已知AB若a11 .在 ABC 中,12 在 ABC 中,13.下列四个命题:（21 7丄，上）的夹解相等，且模为2 2uult r uuu rBC b, CA c，且 a1的向量是r r r rr

18、r4，则a b b c c a的值为14若auuurACuuu uur2，且 AB AC0；对任意两个单位向量 a, b都有a b ,则b与a b的夹角为15.在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM2，则这个三角形的形状是b 0，则a 0或b 0 ；若 R，且a 0 ,1.其中正确命题的序号是uuu uuuuiur则uuuA QB uuuC)的最小值是UULT216.已知 ABC满足ABuuu uur uuu uuiu AB AC BA BCuurCAuuuCB，贝y ABC的形状一定是17.在 ABC 中,ABC1200,AB = 2,AC= 1,uult uuuD 是边 BC 上一点，

19、DC = 2BD，贝U AD BC =18.如果aba那么（).D. b, c在a方向上的投影相等19.若a、b是非零向量且b，则一定有（|ab| |a|b|B. |ab| |a|b|ab| |a b|D. |ab| |a|b|20.已知21.已知向量(,2 ) , b (3 ,2), r ra耗,|e|= 1，对任意如果a与b的夹角为锐角，则r r r rt R，恒有 |a te| 羽一e|,则（的取值范围是r r rB. e丄(a e)r r rrC. a 丄(a e) d. (a + e)丄(a e)1522 .已知两个单位向量LTUUe和e2互相垂直,1 , 2,R，则LT10,Ul1

20、02)LT(2e1UT2 02 ）的充要条件是（23.在ABC中，有命题 UULT ABUULT ULTUUUAC BC : ABULIL ULLBC CA若UUUT AB ACUULTABUULTAC0，则ABC为等腰三UUU UULTAB AC 0 ,贝y ABC为锐角三角形.上述命题正确的是（B .C .ABC所在平面内，给出下列关系式：D.UUT 1(1) OA (LLUOBULLT OCT 0 ；UUT UUUUULT UULTUULT(2)OA OBOB OCOCUULTUUUUUTACABUUU(3)OALLtTLUUOBACABUUUUULTUUUUUU(4)OAOBABOB则

21、点0依次为 ABC的A .内心、外心、重心、垂心C .重心、垂心、内心、外心UULT OCUULT BC UUdr BCUUU OA ；A .24点O在UUUBA-UUB-BAULTBCB .重心、D .外心、（外心、内心、内心、垂心、）垂心重心7.3平面向量的分解定理UUU TUULT T 【例1】已知D是 ABC的边BC上的点，且BD: DC 1:2 , AB a, AC b , ULLTUULT表示AD，则AD =.如图1所示若用a、b17rJ-过关演练223319uuraQAuuu1.已知等差数列an的前n项和为Sn，若OBuLura200 OC，且 A、B、C三点共线（该直线不过原4

22、.已知向量a (3, 2), b (2,1),(7,4），用a和b来表示c，则c为（A. 2aB. 2aC.2b2b5.设 M 是 ABCuuuu的重心，则AM =uuur uuuAC ABA .uuur uuuAC ABB.uuurACC. 一uuuABuuur uuuAC AB6. AD、BE分别为ABC的边BC、uuurAC上的中线，且ADuuoBEb，那么uuuBC 为( )点 O),则 S2002.下列条件中，A Bp三点不共线的是（）UULT1 uuu3 uuurUULTUULTUULTA .MP MA MBB.MP2MAMB44UULTuuuruuurUULT3 ujur1 UU

23、LTC.MP3MA3MBD.MP-MA MB443.下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是()uruulturA .e,0,0,621,2B. e 1,2,e25,7uuuuruu13C.e3,5 , e26,10D. e12, 3,e2J17过ABC的重心作一直线分别交AB、4-b3uultAC于点D、E 若ADuuu uu xAB,AEUULTyAC , xy0,则丄x的值为8. P是uuuABC内的一点，APuuuABuuurAC ，贝y ABC的面积与ABP的面积之比为UUUuuu9.OAOBA . 2uuu uuiuuuiuuuuruuu1,0A与OB的夹角为120

24、76;,0C与OA的夹角为30°, OCuuu uuiuOA,OB21LuurOC.=UUUrULUUOA1,OB10 .已知L uu uuuuuurJ3,OAOB 0, AOC 30°.设 OCuuumOAuuwn OB(m,nR)，-等于nuuu11.已知四边形ABCD是菱形，点p在对角线AC 上,（不包括端点A、C ），则AP等于（）UULTUULTuuuuuurA .(ABAD), (0,1)B.(ABBC), (0,22)uuuUULTuuuuuuC.(ABAD), (0,1)D.(ABBC), (0,AUUU Tuuur TUULTTUUUTT TT12.如图，在 ABC中，设