2020届江苏高考数学(文)总复习课堂检测:数列求和_第1页
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1、课时跟踪检测(三一)数列求和一抓基础,多练小题做到眼疾手快1._(2019 镇江调研)已知an是等差数列,Sn为其前 n 项和,若 a3+ a?= 8,则 S9=_.解析:在等差数列an中,由 a3+ a7= 8,得 ai+ a9= 8,ai+a9x98X9 “所以 Sg=2= 2 = 36.答案:362. 数列1 + 2n 的前 n 项和为_.解析:由题意得 an= 1 + 2n 1 2,i 2所以 Sn= n + 匸3= n + 2n 1.1 2答案:n+ 2n 13._ 数列an的通项公式是 an= (1)n(2n 1),则该数列的前 100 项之和为 _ .解析:根据题意有 S1oo=

2、 1 + 3 5+ 7 9 + 11197+ 199 = 2X50= 100.答案:1004.(2018 泰州期末)已知数列an的通项公式为 an= n 2nS 前 n 项和为 Sn,贝 V Sn=的前 n 项和为_解析:因为 a5 a1= 30, a4 a?= 12,所以 a“q4 1) = 30, a#q4 q)= 12,两式相除,化简得 2q2 5q+ 2 = 0,解得 q= 2或 2,因为 q 1,解析:/ an= n 2n1,2n1 Sn=1X1+2x2+3X2+ +nx2,2Sn=1X2+2X22+3X23+ +nx2n,12两式相减可得一 Sn= 1+ 2+ 22+ + 2n 1

3、 n 2n= n 2n,2 2化简可得 Sn= (n 1)2n+ 1.答案:(n 1)2n+ 15.已知等比数列an的公q 1,且 a5 a1= 30, a4 a?= 12,则数列所以 q= 2, a1= 2.所以 an= 2 -2n 1=2n3+1-7+ 右6.若数列an满足 an(1)an-1= n(n2), Sn是an的前 n 项和,贝 V S4o=解析:当 n= 2k 时,即 a2k a2k-1= 2k,当 n = 2k 1 时,即 a2k-1+ a2k-2= 2k 1, 当 n = 2k+ 1 时,即 a2k+1+ a2k= 2k + 1,+得 a2k+ a2k-2= 4k 1,一得

4、 a2k+4+ a2k1= 1,S40=(讪讪+as+a5+ +a39) )+(a2+a4+a&+a$+ +a4o)=1x10+(7+15+23+ +79)10(7 + 79、=10+= 440.2答案:440二保咼考,全练题型做到咼考达标1.在数列an中,若 a1= 2,且对任意正整数 m, k,总有 am+k= am+ ak,则an的前 n项禾口 Sn=_.解析:依题意得 an+1= an+ a1,即有 a“+1 a“= a1= 2,所以数列a“是以 2 为首项、2 为公差的等差数列,an= 2+ 2(n 1) = 2n, Sn= “ 律2 = n2+ n.答案:n2+ n2.已知

5、数列an中,an= 4n + 5,等比数列bn的公比 q 满足 q= an an-1(n 2)且 b1=a2,则 |b1|+|b2|+|b3| + |bn|=_.解析:由已知得 b1= a2= 3, q= 4,所以 bn= ( 3)x( 4)n 1,所以 |bn|= 3X4n1,即|bn|是以 3 为首项,4 为公比的等比数列.所以 |b1|+ |b2| + + |bn|=31-: = 4n 1.答案:4n 13.已知数列 5,6,1, 5,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两答案:12所以_3n_an 1 I an+1 12n所以 Tn= 1项之和,则这个数列的前 16 项之和

6、S16=_ .解析:根据题意这个数列的前 7 项分别为 5,6,1, 5, - 6, 1,5,6,发现从第 7 项起, 数列重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前 6 项和为 5 + 6+ 1+ ( 5) + ( 6)+ ( 1) = 0.又因为 16= 2X6 + 4,所以这个数列的前16 项之和 S16= 2X0+ 7= 7.答案:74.对于数列an,定义数列an+1 an为数列an的“差数列”,若 a1= 2,数列an的差数列”的通项为 2n,则数列an的前 n 项和 Sn =_.解析:因为an+1an= 2n,所以an=(ananT) )+ (an-1an-2) )+ + (a

7、2a1) )+ a1=212 2n2 2n+1+ 2n2+ - + 22+ 2 + 2=-+ 2 = 2n 2+ 2= 2n,所以 Sn=-= 2n+1 2.1 2n1 2答案:2n+1 25. (2019 宿迁调研) )已知数列an中,a1= 1, a?= 3,若 a“+2+ 2a“+1+ a“= 0 对任意 n N 都成立,则数列an的前 n 项和 Sn=_.解析: a1= 1, a?= 3, a*+2+ 2a*+1+ a*= 0,二an+2+an+1=(an+1+an), a2+a1=4 则数列an+1+ an是首项为 4,公比为1 的等比数列,an+1+an=4X(1)n 1.当 n

8、= 2k 1 时,a2k+ a2k-1= 4X( 1)2k2= 4.二Sn=(a1+a2) )+ (a3+a4) )+ + (a2k-1+a2k) = 4k= 2n.当 n = 2k 时,a2k+1+ a2k= 4.Sn= a1+ (a2+ a3) )+ + (a2k2+a2k1)=14X(k1)=54k=54X号号1=32n.答案:32n, “为奇数,l2n, n 为偶数6在等差数列an中,首项a1= 3,公差 d = 2,若某学生对其中连续 10 项进行求和, 在漏掉一项的前提下,求得余下解析:由已知条件可得数列an的通项公式 an= 2n+ 1,设连续 10 项为 ai+1, ai+2,

9、ai+3,,ai+10, i N,设漏掉的一项为 询+k,1 k 10,由ai十:10X10引+k= 185,-Sn=3 2n, n 为奇数,2n, n 为偶数.9 项的和为 185,则此连续 10 项的和为得(2i + 3+ 2i+ 21)X5 2i 2k 1 = 185,即卩 18i 2k= 66,即 9i k = 33,所以 34 9i = k +344333 43,3iw v5,所以 i= 4,此时,由 36= 33 + k 得 k = 3,所以 ai+k= a7= 15,99故此连续 10 项的和为 200.答案:2007. (2019 邵阳模拟) )九章算术是我国古代的数学名著,书

10、中均属章有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知A, B, C,D,E 五人分 5 钱,A,B 两人所得与 C,D,E 三人所得相同,且 A,B,C,D,E 每人所 得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”( (“钱”是古代的一种重量单位) )在这个问题中,E 分得_ 钱.解析:由题意,设 A 所得为 a 4d, B 所得为 a 3d, C 所得为 a 2d, D 所得为 a d, E所得为 a,|5a 10d= 5,2、2则解得 a=2,故 E 分得石钱.2a 7d= 3a 3d,33答案:28. 已知数列an中,ai= 2, a2n= a + 1, a2

11、n+1= n an,则a*的前 100 项和为_.解析: 由 a1= 2, a2n= a*+ 1, a2n+1= n a*,得 a2n+ a2n+1= n + 1,所以 a1+ (a2+ a3) )+ (a4+ a5) )+ (a98+ a99) )= 2+ 2 + 3+ 50= 1 276,因为 a1oo= 1 + a50= 1 + (1 + a25) )= 2 + (12a12) )= 14 (1 + as) = 13 (1 + a3) )= 12 (1 a0= 13,所以 * + a?+ + a10= 1 276 + 13= 1 289.答案:1 2899. (2018 苏北四市期末)

12、)已知正项数列an的前 n 项和为 Sn,且內=a, (a“+ 1)(an+1+1)= 6(Sn+ n), nN.(1) 求数列an的通项公式;(2) 若对于?n N*,都有 Sn 2 时,(an-1+ 1)(an+ 1) = 6(Sn-1+ n 1),所以(an+1)(an+1+1)(an-1+1)(an+1)=6(Sn+n)6(Sn-1+n1),即( (an+ 1)(an+1 an-1)= 6(an+ 1).又 a* 0,所以 a*+1 an-1= 6,所以 ak-1= a+ 6(k 1) = 6k+ a 6, a?k= 5 + 6(k 1) = 6k 1,) )3n + a 3, n 为

13、奇数,故 an=3n 1, n 为偶数.1当 n 为奇数时,Sn= 2( (3n+ a 2)(n+ 1) n,3n?+ 3n + 2 由 Snn(3n+ 1),得 a 0,所以实数 a 的取值范围是(0,4.10. (2019 宿迁中学调研) )已知各项均为正数的数列an的首项 a1=前Cn项和,且满足anSn+1an+1Sn+anan+1=入ftan+1(入工 0 , n N ).(1)若 a1, a2, a3成等比数列,求实数 入的值;1若匸2,求 Sn.2解:(1)令 n= 1,得 a2=.1 +入令 n=2,得 a2S3a3S2+a2a3=入a3,所以a3=入 + 1 2 入+ 1 -

14、2 H 4H 12 入+ 1,因为入工 0,所以入=1.1 斗1(2)当 = 2 时,anSn+1an+1Sn+anan+1= ?anan+1,n+1Sn111 門 Sn+1+ 1Sn+ 11+=c,即卩一an+1anan+1an2an+1an2n + 3 n + 2-得,an= 2 an an1,即( (n + 1)an= (n+ 2)a“-1,所以=_a1(n 2), n+ 2 n +1fr所以 n + 2 是常数列,且为 3,所以 an=1( (n+ 2).令 f(n) =23n + 3n + 2n+ 1则 f(n + 1) f(n)=23n + 9n + 40n+2 n+11, Sn是

15、数列an的所以Sn+an1=2+ (n-1 匕,即 Sn+ 1 =n+3an,an+1an由 a2= a1a3,得所以数列12 为首项,寸寸为公差的等差数列,n-1,当 n 2 时,Sn-1+ 1 =三上台阶,自主选做志在冲刺名校1. (2018 东检测) )九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有 垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日 相逢,各穿几何? ”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以 后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半”如果墙足够厚,Sn为前 n 天两只老鼠打洞长度之和,则 Sn=_尺.解析:

16、依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1 为首项,2 为公比的等比数列,所以前 n天大老鼠打洞的距离共为1%2= 2n- 1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共为1 2所以 Sn= 2n 1+ 2 2?1= 2n 2 + 1.答案:2n十+ 12. (2018 苏州高三暑假测试)等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 an Sn= n2 16n+ 15(n N*),若对任意 n N*,总有 Sn Sk,则 k 的值为_ .解析:设等差数列an的公差为d,则 an Sn= a1+ (n 1)d na1+中? 1) )d =务2a1= 13,解得*所以 Sn=d= 2,13n + -2k( 2) =

17、n2+ 14n= (n 7)2+ 49,所以( (Sn)max= S7,所以S7对任意 n N*恒成立,所以 k 的值为 7.答案:73. (2019 南京一模) )平面内的“向量列”an,如果对于任意的正整数 n,均有 an+1an= d,则称此“向量列”为“等差向量列”,d 称为“公差向量”;平面内的“向量列” bn,如果对于任意的正整数 n,均有 bn+1= qt)n(qM0),则称此“向量列”为“等比向 量列”,常数 q 称为“公比”.(1) 如果“向量列” an是“等差向量列”,用 a1和“公差向量” d 表示印+ a2+ an;(2) 已知an是“等差向量列”,“公差向量” d= (3,0), a1= (1,1), a“=(X-,y,bn代入得 Sn=2n+3an- 1 =宁n+ a1 d= n2+16n + 15,所以a1 d= 15,是“等比向量列”,“公比”q= 2, b1= (1,3), bn= (mn, kn),求 a1b1+ a2b2+ anbn.解:( (1)“向量列” an是“等差向量列”-ai+ a2+ an= nai+ (1 + 2 + + n 一 1)d(2)Tai=(1,1),d=(3,0),an=(3n 一 2,1).bi= (1,3), q= 2,bn= (2

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