2018年中考常见几何模型分析

1、中考直通车数学广州分册第八章专题拓展模块分值20172016201520142013因动点产生的线段和差、周长最值问题和面积问题77与四边形有关的压轴问题1414因动点产生的等腰三角形问题和直角三角形314因动点产生的相似问题17141714与圆有关的压轴题141417动态几何之定值最值问题141414常见几何模型173第 24 讲常见几何模型年份题量分值考点题型201431全等的性质和判定（手拉手模型）选择题2016172全等的判定及其性质、旋转模型填空题、解答题【考点解读】常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几 何压轴题为主。几何模型类型较多，综合性强，

2、属于中考中重点但同样是难点的一个考点。【考点分析】2011 年考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。2014 年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016 年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像 的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。【模型介绍】手拉手模型：1、【条件】 如图两个等边三角形ABD与BCE，连结AE与CD，【结论】（1）ABEDBC（2）AE DC.4JB（3）AE与DC之间的夹角为60 1（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC2、【条件】如图两个等腰直角三角形ADC与ED

3、G，连结AG,CE，二者相交于点H。【结论】 （1）ADG CDE是否成立？（2）AG=CE（3）AG与CE之间的夹角为90（4）HD是否平分AHE？旋转模型：一、邻角相等对角互补模型【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，BAD【结论】ACB ACD 45BC CD 2ACBCD 90二、角含半角模型：全等角含半角要旋转：构造两次全等CF【条件】 :如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF 45,连接EF;【结论】(1)AGEAFE(2)EF BEFD;一线三等角模型：【条件】 一条直线同一侧三个相等的角（如图）；【结论】ABCCDE1、锐角形一线三等角2、直角形一

4、线三等角3、钝角形一线三等角【真题拾遗】1 . （2014 ?广州）如图，四边形 ABCD、CEFG 都是正方形，点 G 在线段 CD 上，连接 BG、DE, DE 和 FG 相交于点 O，设 AB=a，CG=b （a b）.下列结论：厶 BCG 也 JDCE:BG 丄 DE ；土=丄；（ a - b ）2?SFo=b2?SZDGO.其中结论正确的个数是（）C. 2 个2 . ( 2016 ?广州)如图，正方形 ABCD 的边长为 1 , AC , BD是对角线.将 DCB 绕着点D 顺时针旋转 45。得到QGH，HG 交 AB 于点 E,连接 DE 交 AC于点 F,连接 FG .则下 列结

5、论：其中正确的结论是_HA /三、解答题3 . (2011 广州中考)如图 1 ,OO 中 AB 是直径，C 是OO 上一点，/ ABC=45 ，等腰直角三角形 DCE 中ZDCE 是直角，点 D 在线段 AC 上.(1 )证明：B、C、E 三点共线；(2 )若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN= .：?OM ;(3 )将/DCE 绕点 C 逆时针旋转a(0 a AE, AEV二，.CB+FGV1.5，故错误故答案为.H._2C点评：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种

6、证明角相等的方法,属于中考常考题型.三、解答题3、考点：(1 )三点共线 (2)中位线、全等三角形(手拉手性质)(3)同(2)分析： (1)根据直径所对的圆周角为直角得到/BCA=90 ,DCE 是直角，即可得到/ BCA+ZDCE=90 90 =180 ;(2) 连接 BD ,AE,ON，延长 BD 交 AE 于 F,先证明 Rt ABCD 织 tACE ,得到 BD=AE ,ZEBD= /CAE，则ZCAE+ZADF= ZCBD+ ZBDC=90 ，即 BD 丄 AE，再利用三角形丄丄的中位线的性质得到 ON=%D, OM=2AE, ON /BD , AE /OM ,于是有 ON=OM ,

7、ON 丄 OM，即AONM 为等腰直角三角形，即可得到结论；(3) 证明的方法和(2 ) 一样.解答:(1)证明：TAB 是直径，ZBCA=90 ,而等腰直角三角形 DCE 中/DCE 是直角，ZBCA+ /DCE=90 90 180 , B、C、E 三点共线;(2)连接 BD , AE, ON，延长 BD 交 AE 于 F，如图 1,CB=CA , CD=CE ,.Rt ABCD 织 tKCE ,.BD=AE，/EBD= /CAE,ZCAE+ ZADF= ZCBD+ /BDC=90 。，即 BF 丄 AE,又TM 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，而 O 为 AB 的中点，11

8、ON二一BD,OM二一AE, ON /BD , AE /OM ;22ON=OM , ON 丄 OM，即AONM 为等腰直角三角形，MN=:：OM ;(3)成立.理由如下：女口图 2,连接 BD1 , AE1 , ON1 , vzACB -/ACD1= ZD1CE1 -/ACD1 ,/BCD 仁 ZACE1，又/ CB=CA , CD1=CE1 ,ABCD1也ACE1 ,与(2)同理可证 BD1 丄 AE1 , ON1M1 为等腰直角三角形，从而有 M1N 仁 k：OM1 .團2圍】点评：本题考查主要三角形全等的判定和中位线的性质，熟练掌握手拉手模型，作为本题切 入点，可以非常顺利的解决本题。4

9、、考点：圆的相关概念、等腰三角形、截长补短(旋转模型性质)、勾股定理分析： (1)要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明/ BAD 是直角即可，又因为/由对称性可知：/ AMB=ACB=45ABD=45。，所以需要证明/ ADB=45 ;(2) 在 CD 延长线上截取 DE=BC，连接 EA，只需要证明 EAF 是等腰直角三角 形即可得出结论；(3) 过点 M 作 MF 丄 MB 于点 M，过点 A 作 AF 丄 MA 于点 A , MF 与 AF 交于 点 F,证明 AMF 是等腰三角形后，可得出 AM=AF , MF= : AM，然后再证明 ABF ZADM 可得出BF=DM，最后根据

10、勾股定理即可得出 DM2 , AM2 , BM2(2 )在 CD 的延长线上截取 DE=BC ,ZABC+ZADC=180 ,ZABC= /ADE,在ZABC 与ZADE 中,ZABC=ZADEBCEEZBAC+ /CAD= ZDAE+ /CAD ,/./BAD= /CAE=90 ,=L：/CD= ZABD=45 ,)AE 是等腰直角三角形， :AC=CE , :AC=CD+DE=CD+BC;(3)过点 M 作 MF 丄 MB 于点 M，过点 A 作 AF 丄 MA 于点 A , MF 与 AF 交于 点 F,连接 BF,者之间的数量关系.解答： 解：(1 )；=门,ZACB=ZADB=45v

11、zABD=45-ZBAD=90BD 是ZABD 外接圆的直径连接 EA,vZABD=ZADB,AB=AD ,VZADE+ /ADC=180/ABC 也 ZDE (SAS),ZBAC= /DAE ,/zFMA=45念 MF 是等腰直角三角形,AM=AF , MF= AM ,JMAF+ ZMAB= ZBAD+ ZMAB ,zFAB= /MAD ,在AABF 与AADM 中,点评：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握旋转模型的特征和性质，作为本题切入点，构造出 等腰直角三角形，方向明确，减小了本题的难度。【模拟演练】 一、选择题1、

12、（ 2014 番禺华附一模）如图 2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF丄EC交边AB于F,连FC,下列结论不止确.的是（D ）.AEB.MEFS/DCE二、填空题3、（2016 黄埔区一模）如图6，已知ABC和AED均为等边三角形，点D在BC边上,DE与AB相交于点F，如果AC12,CD 4，那么BF的长度为 _.三、解答题4、（2016 荔湾区一模）如图，正三角形ABC内接于OO,P是弧BC上的一点（P 不与点C.AAEFS/ECD .AAEF2、（2017 十六中一模）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.有直角ZMPN时针旋转/ MPN，旋转角为

13、B（0 090 ）,PM、PN 分别交 AB、BC 于 E、F 两点，连接 EF 交 OB 于点 G,则下列结论中正确的是（C ）.(1)EF=V2OE；(2) S四边形(3) BE+BF=V2OA;（4 ）在旋转过程中，当 BEF 与ACOF 的面积之和最大时,(5 ) OG ?BD=AE2+CF2.A. ( 1)( 3)( 4)( 5 )C. ( 1)( 2 )( 3)( 5)D. (1)( 2 )( 3)( 4)B. (2)( 3)( 4)( 5)丘图6刀亡B、C 重合），且PB PC ,PA交BC于E,点F是PC延长线上的点，CF PB ,AB 13,(1) 求证ABP也ACF;2(2

14、) 求证AC PA AE;(3 )求PB和PC的长.5、(2016 海珠区一模)已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG，连接 AF 交 BC 于 O 点，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH 丄 DG 于 H , CD=2 , CG=1。(1 )如图 1，点 D、C、G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 得长；(2 )把正方形 CEFG 绕着点 C 逆时针旋转(0 aV180 )1如图 2，当点 E 落在 AF 上时，求 CO 的长；2如图 3，当 DG=-】7时，求PH的长。236、(2017 二中一模)已知抛物线 C1:y ax bx (a 0)经过点 A (1 ,

15、 0 )和 B (-3 ,20).(1 )求抛物线 C1的解析式，并写出其顶点 C 的坐标；(2 )如图 1，把抛物线 C1沿着直线 AC 方向平移到某处时得到抛物线 C2，此时点 A, C 分 别平移到点 D , E 处.设点 F 在抛物线 C1上且在 x 轴的上方，若 DEF 是以 EF 为底的等腰 直角三角形，求点F 的坐标；(3 )如图 2,在(2)的条件下，设点 M 是线段 BC 上一动点，EN 丄 EM 交直线 BF 于点 N , 点 P 为线段MN 的中点，当点 M 从点 B 向点 C 运动时：tan ZENM 的值如何变化？请说明理由；点 M 到达点 C 时，直接写出点 P 经

16、过的路线长.参考答案1、D考点：相似三角形、三角形内角和（一线三直角）分析：利用等角的余角相等得到/ AFE= /DEC,则根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到 RtKEFsRt QCE，由相似的性质得 CD : AE=DE : AF，而 CD=AB , DE=AE , 贝 UAB : AE=AE : AF ,即 AE2=AB ?AF,禾 U 用 AF AE;再禾 U 用 RtAAEFsRtQCE 得到 EF: EC=AF : DE,把 DE=AE 代入得到 EF: EC=AF : AE，根据比例性质得 EF: AF=EC : AE，加上/A= /FEC=90。，则根据两组对应边的比相等且

17、夹角 对应相等的两个三角形相似得到 AEFs/ECF;由ZEFC90 可判断 ZAEFs/BFC 相似 不成立，而当/AFE= ZBFC 时，可判断厶 AEFs/BCF.解答：/AEF+ ZDEC=90 , /ZAEF+ ZAFE=90 , /-ZAFE= /DEC,Rt AEFSRt DCE ;.CD:AE=DE:AF ,：E 为矩形 ABCD 的边 AD 的中点，CD=AB , DE=AE ,.AB:AE=AE:AF,即 AE2=AB ?AF,而 AF?AB ,.AB?AE;RtAEFSRtDCE,AEF:EC=AF:DE，而 DE=AE,EF:EC=AF:AE ,即 EF:AF=EC:A

18、E , vZA= ZFEC=90 ,ZAEFsCF;/EFC 須 0 ./AEFs/BFC 相似不成立,但当/ AFE= ZBFC 时,AEFZBCF.故选 D.点评：此题为非常明显的考查相似三角形知识点，根据一线三等角模型特征快速得出答案。2、C考点：正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质分析：由四边形 ABCD 是正方形，直角/ MPN，易证得厶 BOE 也 zCOF ( ASA )，则可证得结论;则可证得结论；3首先设 AE=x，贝 U BE=CF=1-x , BF=x，继而表示出 BEF 与ACOF 的面积之和，然 后利用二次函数的最值问题，求得答案；

19、4易证得厶 OEGs)BE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OG?OB=OE2 ,再利用 OB 与 BD 的关系，OE 与 EF 的关系，即可证得结论.解答：四边形 ABCD 是正方形，OB=OC, ZOBE= /OCF=45 ，/BOC=90 , /-ZBOF+ ZCOF=90 ,左 OF=90 , /BOF+ ZCOE=90 , /BOE= ZCOF ,在 ABOE 和ACOF 中，/ BOE= ZCOF , OB=OCZOBE= ZOCF ,.A3OE 也AOF(ASA) ,.OE=OF , BE=CF ,EF=2 2OE 做正确;由(1)易证得S四边形OEBFBOCABCD ,=1

20、边边OEBF=SBOE+SBOE=SABOE+ SCOF=SBOC=一S正方形ABCD4S四边边OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确;O 作 OH 丄 BC,VBC=1 ,.OH=12BC=12设 AE=x，贝 U BE=CF=1 - x, BF=x ,11111129SABEF+SZCOF= BE?BF + CF?OH = x(1-x) + (1-x)X= (x-14) + 22222232a= - 120 , 当 X=14时,SABEF+SACOF最大；即在旋转过程中，当ABEF 与ACOF 的面积之和最大时,AE=14 ;故错误；/EOG= /BOE, ZOEG= ZOBE=45

21、A)EGSA)BE,OE:OB=OG:OE ,OG ?OB = OE2,OB=1BD,OE=2 2EF,2OG ?BD :=EF2, 在伯 EF 中，EF2= BE2+ BF2, EF2= AE2+ CF2,OG ?BD = AE2+ CF2.故正确。C.点评：从图形上看是一个比较复杂的题，但是实际题目难度并不是很大，利用对角互补旋转模型结论再结合个够定理就能解决此题。3考点：相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质分析：先利用等边三角形的性质得到/ C= ZADE= /B=60 ,AB=BC=AC=12 ，再利用三角 形外角性质证明/ BDF= /CAD，则可判断 DBFKCD，然后利用相似

22、比计算 BF 的 长.解答:/C= /ADE= ZB=60 , AB=BC=AC=12 ,/ZADB= ZDAC+ ZC,而/ADB=ZADE+ ZBDF ,ZBDF= /CAD ,/DBFSCD,BF:CD=BD:AC ,8即 BF:4=8:12,解得 BF=.38故答案为-.3点评：此题利用对角互补旋转模型推导过程得到对应结论，再利用相似解决第（2）（3 ）问4、考点：圆周角定理，等边三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角分析：对于（1），先根据等边三角形的性质得到 AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得/ACF= ZABP，根据“ SAS ”即可得证

23、；对于（2 ），先根据等边三角形的性质得到/ ABC= JCB=60。，再根据圆周角定理得/APC= /ABB=60 ，加上/CAE= ZPAC,于是可判断 ACEs公 pc ,然后利用相似比 即可得到结论；1332对于（3），先利用AC= PA?AE计算出AE=4，则 PE=AP-AE=4，再证 APF为等边三角形，得到 PF=PA=4，则有 PC+PB=4，接着证明 ABPsCEP，得到2PB PC=PEAP=3 ,然后根据根与系数的关系，可把 PB 和 PC 看作方程X-4x +3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和 PC 的长.解答：（1）证明：正三角形 ABC 内接于OO ,A

24、B=AC.四边形 ABPC 为圆的内接四边形， ZACF= ZABP.在ABP 和ACF 中，AB = AC/ABP =/ACFBP = CFZABPzACF.（2）证明：正三角形 ABC 内接于O0, ZABC= ZACE=60 , ZAPC= ZABC=60 , ZACE= ZAPCvzCAE= ZPACZACEsPC5AE:AC=AC:AP2AC = PA?AE.2(3)T AC = PA?AE ,AB=AC,13 AE = AB ?AP =,4133 PE = AP -AE = 4二,44/ZABPzACF , ZAPB= /F=60而/APC=60 ,ZAPF 为等边三角形，/PF=

25、PA=4 ,PC+CF=PC+PB=4.VZBAP= /PCE,/APB=ZAPC,ZABPsEP,PB:PE=AP:PC ,3PB PC=PEAP=X4=3.4VPB+PC=4 ,2PB 和 PC 可看作方程x 4x 3 0的两实数解，解此方程得 为1,X23./PBvPC,PB=1 , PC=3 .点评：此题为标准手拉手模型，所以除了相似三角形得出答案，还能利用手拉手模型性质解决。3/CO=x=x考点：梯形中位线、相似三角形、勾股定理、全等三角形(一线三直角) 分析：先判断出四边形 APGF是梯形，再判断出 PH 是梯形的中位线，1PH =-(FG +AD)得到2;(2)先判断出 COEs

26、/AOB，得到 AO 是 CO 的 2 倍，设出 CO ,表示出 BO ,AO，再用勾股定理计算，先找出辅助线，再判断出ARD 也SC,ACSGzGTF,求出 AR+FT，最后用梯形中位线即可.解答：(1)PH 丄 CD , AD 丄 CD ,PH /AD /FG,点 P 是 AF 的中点，PH 是梯形 APGF 的中位线，13PH = (FG+AD)二,22(2)vZCEO=ZB=90 ZCOE= ZAOB,z.ZCOES/AOB,COAO=CEAB ,COAO=12 ,设 CO=x ,AO=2x , BO=2 - x,22在ABO 中,根据勾股定理得，4 + (2-x)= (2x),x2丄

27、了一2或舍),33如图 3 ,分别过点 A , C, F 作直线 DG 的垂线，垂足分别为 R, S, T,TZADR+ /CDS=90/CDS+ /DCS=90ZADR= /DCS ,vZADR= ZCSD=90 ,AD=CD./ARD BQSC ,AR=DS ,同理： CSGzGTF,SG=FT ,AR+FT=DS+SG=DG=拧,同的方法得，PH 是梯形 ARTF 的中位线，1WPH =一（AR + FT）=一.22点评：此题利用梯形中位线性质解决第（1 ）问，第（2）利用相似结合勾股定理这中常用方 法求长度，第（3 ）问构造一线三直角模型解决问题。6、考点：二次函数、等要直接三角形、相似三角形（一线三直接）、三角函数、中位线分析：(1 )根据解析式求出坐标;(2)根据等腰三角形的性质，EF=. 2DF求出 EF 的长度，再根据抛物线与直线纵 坐标差值求出答案。(3) 根据答案需要求的正切值转换为