2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题14空间中的平行与垂直教学案文含解析

1、1【20192019 年咼考考纲解读】1.1. 以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与 性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题2.2. 以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、 棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档.【重点、难点剖析】1 1 .直线、平面平行的判定及其性质(1)(1) 线面平行的判定定理：a? ?a,b? ?a,a/b? ?a/a. .(2)(2) 线面平行的性质定理：a/a,a? ?3 , aA3=b? ?a/b. .面面平行的判定定理：a? ?3 ,b? ?3 ,

2、anb=P,a/a,b/ a? ?a / 3. .面面平行的性质定理：a/3,an丫 =a,3 n丫=b? ?a/b. .2 2 .平行关系的转化 两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图.(1)(1)线面垂直的判定定理：m? ?a,n? ?a,mnn= P,P,I丄m l丄n? ?l丄a. .线面垂直的性质定理：a丄a,b丄a? ?a/b. .如图，平面a与平面3相交于BC AB?a,CD? ?3,点A? ?BC,点D?BC则下列叙述错误的是 ( (A A.直线AD与BC是异面直线B.过A

3、D只能作一个平面与BC平行C.过AD只能作一个平面与BC垂直空间中的平行与垂直(3)(3)面面垂直的判定定理:a? ?3 ,a丄a? ?a丄3. .3 3 .直线、平面垂直的判定及其性质2D.过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行答案 C C解析由异面直线的判定定理得直线AD与BC是异面直线；在平面3内仅有一条直线过点D且与BC平行, 这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行；若AD垂直于平面a，则过AD的平面都与BC垂直，因此 C C 错；过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行. 题型二空间平行、垂直关系的证明例 2.

4、2. (2018(2018 全国H) )如图，在三棱锥P ABC中,AB= BC=2 2 2 2,PA= PB= PC= AC=4 4,O为AC的中点.若点Ml在棱BC上，且MC=2 2MB求点C到平面POM勺距离.(1)(1)证明 因为PA= PC= AC=4 4,O为AC的中点，所以OPLAC且OP=2 2 3.3.xl因为A* BC=2AC所以ABC为等腰直角三角形，1 1所以OBLAC OB=2AC= 2.2.由OP+OB=PB知PO丄OB因为OPLOB OPLAC OBH AC= O, OB AC? ?平面ABC所以PC丄平面ABC解作CHLOM垂足为H,又由(1)(1)可得OPLC

5、H因为OMHOP= Q OM OP? ?平面POM所以CHL平面POM故CH的长为点C到平面POM勺距离.31 12 24、J2由题意可知OC=2AC=2 2,CM=3BC=3 3 ,/ACB=4545,2贋所以在OM（中，由余弦定理可得，OM=3,OC- MCsinsin /ACB4 4书CH=OM= 5 5 . .4 4肩所以点C到平面POM勺距离为 5 5 . .【变式探究】 如图，四棱锥P-ABC啲底面ABCD是边长为 2 2 的正方形，平面PABL平面ABCD点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F.1求证：AD/ EF;2若PAB是正三角形，求三棱锥P- BEF的体积.1证明

6、因为底面ABCD1边长为 2 2 的正方形，所以BC/ AD又因为BC? ?平面PAD AD? ?平面PAD所以BC/平面PAD又因为B,C, E, F四点共面，且平面BCEfR平面PAD= EF,所以BC/ EF又因为BC/ AD,所以AD/ EF2解 由知，AD/ EF,点E是PD的中点，所以点F为PA的中点，EF=2AD=1.1.又因为平面PABL平面ABCD平面PABH平面ABCAB ADLAB所以ADL平面PAB所以EF丄平面PAB又因为PAB是正三角形，所以PA= PB= AB=2 2 ,所以SPBF= 2 2 生PBA= 2 2 . .1 1x.3x.3 xlxl4又EF= 1

7、1，所以VP-BEF=VEPBF=3 3X2 2X1 1= 6 6 . .故三棱锥P-BEF的体积为6. .（20182018 北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PADL平面ABCD PA! PD PA=PDE,F分别为AD PB的中点.1求证：PEL BC2求证：平面PABL平面PCD3求证：EF/平面PCD证明 因为PA= PD E为AD的中点，所以PE!AD因为底面ABCD为矩形，所以BC/ AD所以PEL BC2因为底面ABCD为矩形，所以.曲丄-Q又因为平面丄平面ABCDf平面P.4DA平面ABCD=ADtAB匚平面.仞CD,所以.肋丄平面戸 3,又 PQu

8、 平面PADf所以 加丄PD又因为R4丄卩 6PACAB=APA,ABC：平面PAB”所以PD丄平面乂扭又PDu平面PCD,所以平面P岛丄平面PCD3如图，取PC的中点G连接FG DG因为F,G分别为PB PC的中点,1 15所以FG/ BC FG=2 2BC,因为四边形ABC为矩形，且E为AD的中点，1 1所以DE/ BC DE=2BC所以DE/ FG DE= FG所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF/ DG又因为EF? ?平面PCD DG平面PCD所以EF/平面PCD【感悟提升】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)(1) 证明线线平行常用的方法：一是利用平行公

9、理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)(2) 证明线线垂直常用的方法： 利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，I丄a,a? ?a? ?l丄a.【变式探究】(2018(2018 全国川) )如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,(2)(2)在线段AM上是否存在点P,使得MQ平面PBD说明理由.(1)(1)证明 由题设知，平面CM丄平面ABCD交线为CD因

10、为BCL CD BQ平面ABCD所以BCL平面CMD又DIM平面CMD故BCL DM因为M为CD上异于C D的点，且DC为直径，所以DMLCM又B8 CMFC, BC CM? ?平面BMC所以DML平面BMC又DIM平面AMD故平面AMD_平面BMC6解 当P为AM的中点时，MC/平面PBD证明如下：连接AC BD交于点O因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点.连接OP因为P为AM的中点，所以MC/ OP又MC平面PBD OP? ?平面PBD所以MC/平面PBD题型三 平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是

11、解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.例 3 3、如图 1 1,已知菱形AECD勺对角线AC DE交于点F,点E为AB中点.将ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图 2 2 所示.(1)(1)求证：DE!平面PCF求证：平面PBCL平面PCF(3)(3)在线段PD BC上是否分别存在点M N,使得平面CFM平面PEN若存在，请指出点M N的位置，并 证明；若不存在，请说明理由.(1)(1)证明 折叠前，因为四边形AE

12、CD菱形，所以ACLDE所以折叠后，DEI PF, DEI CF又PFnCF= F,PF, CF? ?平面PCF7所以DE!平面PCF证明因为四边形AECD菱形,所以DC AE DC= AE又点E为AB的中点，所以DC/ EB DC= EB所以四边形DEB(为平行四边形，所以CB/ DE又由(1)(1)得，DEL平面PCF所以CBL平面PCF因为CB? ?平面PBC所以平面PBCL平面PCF解 存在满足条件的点M N且M N分别是PD和BC的中点.如图，分别取PD和BC的中点M N连接EN PN MF CM因为四边形DEBC为平行四边形，1 1所以EF/ CN EF=2BC= CN所以四边形E

13、NCF为平行四边形，所以FC/ EN在厶PDE中 ,M F分别为PD DE的中点，所以MF/ PE又EN PR平面PEN PEPEN= E,MF CF? ?平面CFM MFTCF=F,所以平面CFM平面PEN【感悟提升】(1)(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.(2)(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾则否定假设，否则给出肯定结论.8【变式探究】如图，在直角梯形ABCD,AD/ BC,ABLBC BDLDC点E是BC边的中点，将厶ABD沿BD折起，使平面ABDL平面BCD连接AE AC DE得到如图所示的空间几何体.9若AD=1 1,AB=2 2,求点B到平面ADE勺距离.10(1)(1)证明因为平面ABDL平面BCD平面ABDT平面BCD= BD又BDL DC DC? ?平面BCD所以DCL平面ABD因为AB? ?平面ABD所以DCL A