2018-2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程作业选修

1、在学生用书中，此内客单独成丘3).2.3.1 双曲线的标准方程如图，已知双曲线以长方形ABC啲顶点代B为左，右焦点，且过C, D两顶点若AB=4,BC= 3,则此双曲线的标准方程为 _ .2 2Xy.-22= 1(a0,b0).a b由题意，得B(2 , 0) ,C(2 , ir-2 . 24 =a+b基础达标1. 已知双曲线的焦点在X轴上，且a+c= 9,b= 3，则它的标准方程是 _ .解析：因为b= 3,所以c2a2= (c+a)(ca) = 9,所以ca= 1,a= 4，此双曲线的2 2一Xy标准方程是 16 9 = 1.2 2答案：169 =12 22. 双曲线 8kxky= 8 的

2、一个焦点为(0 , 3)，那么k的值是_ .2y_k解析：焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是2x1,k0,则一k=3，解得k= 1.答案：13.在双曲线中,I肯，且双曲线与椭圆4X2+9y2=36有公共焦点，则双曲线方程是解析：焦点在2X以双曲线方程为X轴上，由椭圆 4X2+ 9y2= 36 知，c= ,：5,所以a= 2,b2=c2a2= 1,所 4-y2= 1.2X答案：7y2= 12x24.过双曲线 16 = 1 左焦点F1的弦AB长为 6，则ABF(F2为右焦点)的周长是解析：据题意AFAF= 2a,BF2BF1= 2a,AR+BE (AF+BF) = (AR+BF) AB=4a,因

3、此AF+BB=AB+4a= 6 + 16= 22,故三角形周长为 22 + 6= 28. 答案：285.解析：设双曲线的标准方程为f2“a= 1，解得 12,b= 3-k+ -k在学生用书中，此内客单独成丘3).二 49厂产1双曲线的标准方程为2答案：x23 = i3则厶PFF2的面积为_ .解析：双曲线的a= 1,b= 2 :3,c= 13.设PF= 3r,PR= 2r.TPFPF= 2a= 2,.r= 2.于是PF= 6,PF= 4. PF+P= 52 =FiF2,故知PFF2是直角三角形，/FiPF= 90 SAPFF2=*PFPR=2x6X4=12.答案：122 27.已知双曲线xy=

4、 1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF丄PFa, 则PF+PR的值为_ .解析： 不妨设点P在双曲线的右支上， 因为PF丄PR,所以(2 寸 2)2=PR+PFt又因为PFPB=2，所以(PFP)2=4，可得2PFPB=4，贝U (PF+P)2=PF1+P目 +2PFPR=12，所以PF+PF=答案：2 :3的最小值为_ .解析：设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义可知PF= 2a+PF= 4+PF,PF+PA=4 +PF+PA当PF+PA最小时需满足PF+PA最小.由双曲线的图象可知当点A P、F1共线时,满足PF+PA最小，易求得最小值为AF= 5,故所求最小值为

5、9. 答案：99.在厶ABO中，已知AB=4 _：2,且 2sin A sinC= 2sinB,求顶点C的轨迹方程. 解：即ba=亍，从而有CA- CB=AB=2 , 2 ,2).2 2x4y10.已知P为椭圆二+= 1 上一点，F1,Fz是椭圆的焦点，/ FP= 60，求F1PR2575的面积.2y 一X3= 1.6.设P为双曲线x12=1 上的一点，Fi,F2是该双曲线的两个焦点,若PF:PR= 3 : 2,8.已知F是双曲线 4 1y2= 1 的左焦点,A(1 , 4) ,P是双曲线右支上的动点,则PF+PA如图，以AB所在的直线为x轴,2 2, 0) ,B(22, 0),a/ 由正弦定

6、理得 sinA=石，sin2R所对的边)，/ 2sinA+ sinAB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,bcB=, sinC=亦伍，b,c分别为则AA, B, CC= 2sinB,. 2a+c= 2b解：在PFF2中，FIF2=PFi+PF2 2PFPF2cos 60 即 25=P+PFPFPF2,由椭圆的定义得 10=PF+PR,即 100=PFU PF2+ 2PFPF,所以PFPF= 25 ,所以SAFiPF= ?PFPF sin 60能力提升2 2 2 2XVXV1.若椭圆m+n= 1（mn0）和双曲线 云一b= 1（a0,b0）有相同的焦点条曲线的一个交点，贝UPFPR的值是_ .

7、解析：PF+PF=20IPFP冋=2a,所以PF+PF；+ 2PFPF=4m,PF2PFPF+PF=4a2,两式相减得：2 24PFPF= 4m-4a，二PFPF2=m- a. 答案：m- a22 22. 已知双曲线的方程是XV= 1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为 10,16 8另一个焦点为F2,点N是PF的中点，贝y ON勺大小（O为坐标原点）为_ .1解析：连结ON图略），ON是三角形PFF2的中位线，所以ON=2PR，因为|PFPF| = 8,1PF= 10,所以PF= 2 或 18,所以0N=;PF2= 1 或 9.答案：1 或 933. 已知在周长为 48 的 RtM

8、PN中，/MP= 90 , tan /PMI= 4，求以M N为焦点， 且过点P的双曲线的标准方程.3解：由 RtMPN勺周长为 48,且 tan /PMI=-，设PN=3k,PM=4k,贝U MN=5k, 3k+ 4k+ 5k= 48,得k= 4,贝U PN=12,PM=16,MN=20.以MN所在直线为x轴，以线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，2由PM- PN=4=2a,得a= 2,a= 4,222由M= 20 得 2c= 20,c= 10，贝U b=ca= 96,2 2所以所求双曲线方程为x鲁=1.4964.在抗震救灾行动中， 某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品， 急需把

9、这批药品沿 道路PA PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA=100 km,PB=150 km,BC= 60 km /APB=60。，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.解：灾民区ABC中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送 药较近，第三类沿道路PA PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹. 设M为界线上的任意Fi,F2,P是两一点， 则有P* MA= PB+ MB即MA MB= PB- PA=50（定值）.界线为以A, B为焦点的双曲线的右支的一部分如图所示.以AB所在直线为x轴，线段 设所求双曲线的标准方程为2 2x yg &= 1(a0,b0),/a= 25,2c=AB= .1002+1502-2X100X1