2013学年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列Word版及答案

1、2013 年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列、选择题 1 1 . (20132013 年高考上海卷(理)在数列an中，an=2n-1,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i行第 j 列的元素=ajGj+ai+aj,(1,2J|,7; j =1,21,12)则该矩阵元素能取到 的不同数值的个数为()(A)18(B)28(C)48(D)63【答案】A.2 2 .( 20132013 年普通高等学校招生统一测试大纲版数学(理)WORDWORD 版含答案(已校对)已知4数列 玄满足3an 1a0,a2,则：aj的前 10 项和等于31(A) 61-30(B)丄1-30(C)3 1-3一10(D)3

2、 1+3一109【答案】C3 3 .( 20132013 年高考新课标 1 1 (理)设.AnBnCn的三边长分别为3.,0,6,厶AnBnCn的面积为【答案】B4 4. (20132013 年普通高等学校招生统一测试安徽数学(理) 试题(纯 WORDWORD 版)函数y=f (x)的图像如图所示,在区间la,b 1上可找到n(n_2)个不同的数x1,x2.,xn,使得(A)3,4(B)2,3,4(C)3,4,5(D)2,3【答案】B5 5. ( 20132013 年普通高等学校招生统一测试福建数学(理)试题(纯WORDWORD 版)已知等比数列an的公比为q,记bnam(n书1am(n书2a

3、m(n书m,Si,n=1,2,3,H |,若bjc1,b1=2a1,an 1=an,bn .1Cn%bnan2A. $为递减数列B.S为递增数列C.Szn-1为递增数列，San为递减数列D.Szn-1为递减数列，Szn为递增数列f(xjf(X2)f (Xn)则n的取值范围是X1X2XnCn =am（n1 2m（n）2，amz）mg,n，N*）,则以下结论一定正确的是（）列an匚的前n项和为Sn,已知S = a210a1,9,则a1=1111(A)-(B)-一(C)-(D)3399【答案】C7 7.(20132013 年高考新课标 1 1 （理）设等差数列的前n项和为51 ,SmJ.- -2,

4、Sm=0,Sm 1二3,则 m =()A.3B.4C.5D.6【答案】C8 8 . （ 20132013 年普通高等学校招生统一测试辽宁数学（理）试题（WORDWORD 版）下面是关于公差d 0的等差数列an的四个命题p1:数列?是递增数列；p2:数列汕aj是递增数列；a1P3：数列色是递增数列；Ln JP4:数列n 3nd /是递增数列;其中的真命题为(A)P1, P2(B)P3, P4(C)P2, P3(D)Pl, P4【答案】D9 9 . （20132013 年高考江西卷（理）等比数列x,3x+3,6x+6,. 的第四项等于A.-24B.0C.12D.24【答案】A二、填空题10.10.

5、（20132013 年高考四川卷（理）在等差数列an中，82-引=8,且a4为a2和a3的等比中项 求数列an的首项、公差及前n项和.【答案】解：设该数列公差为d,前n项和为sn.由已知，可得A.数列bn为等差数列，公差为qmB.2C.数列Cn为等比数列，公比为qmD.【答案】C6 6. （ 20132013 年普通高等学校招生统一测试新课标数列bn为等比数列，公比为q2mmm数列cn为等比数列，公比为qn卷数学（理）（纯WORD版含答案）等比数22a 2d =8, a 3d i=禺d q 8d.所以a d =4,d d -3ai=0,解得a =4,d =0,或a1,d =3,即数列:an?的

6、首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3.2所以数列的前n项和片=4n或s3n n21111 . （20132013 年普通高等学校招生统一测试新课标H卷数学（理）（纯 WORDWORD 版含答案）等差数列n的前n项和为Sn,已知00 =0弋5=25,则nSn的最小值为 _.【答案】-4912.12.（ 2012013 3年高考湖北卷（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10, 第n个三角形数为n n I二1n2n.记第n个k边形数为22 2N n,k k _3,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：121三角形数N n,3 = n2- -

7、n22正方形数N n,4二n2321五边形数N n,5二一n - n2 2六边形数N n,6 =2n2-n可以推测N （n,k）的表达式，由此计算N （10,24）=_ .选考题【答案】100013.13.（ 20132013 年普通高等学校招生全国统一招生测试江苏卷（数学）（已校对纯 WORDWORD 版含附加1 题）在正项等比数列an中，氏=2,a6a=3,则满足a1a an a2an的最大正整数n的值为_ .【答案】121Ia3 =_；（2）SlS100 =_ .214.14. （20132013 年高考湖南卷（理）设Sn为数列：an*的前 n 项和，Sn= （1）nan-班，n，N ,

8、则1 1 1|答案】帀亍少一1）1515.（ 20132013 年普通高等学校招生统一测试福建数学（理）试题（纯 WORDWORD 版）当X乏只,忖成11时,有如下表达式：1+x+X2+xn+=-1 -X两边同时积分得：21dx 2xdxJ0”013丄【答案】（）-11616. （ 20132013 年普通高等学校招生统一测试重庆数学（理）试题（含答案）列，印=1,公差d式0,Sn为其前n项和，若印总厶成等比数列，则S8=_【答案】64则数列的前n项和Sn=_.57【答案】5n彳丄n66a18.18. （ 20132013 年普通高等学校招生统一测试广东省数学（理）卷（纯 WORDWORD 版

9、）在等差数列n n P P中，已知a3+比=10,则3a5 *7 =_【答案】2019.19. （20132013 年高考陕西卷（理）观察下列等式,2221-23622221 -2 3 -4 =10至x2dx .从而得到如下等式：1 x1十丄1）222 2请根据以下材料所蕴含的数学思想方法01 11121213C汇一+ Q ；（ ）+一 qX（ ） +1 131 1n1；()3 ( )n 1.rln2.32n 12,计算：1n1n 1而Cn）已知是等差数17.17.（ 20132013 年上海市春季高考数学试卷（含答案）若等差数列的前6 项和为 23,前 9 项和为 57,2-2二-3照此规律

10、,第n个等式可为代-1)52=乎皿 1)122【答案】12- 2232(-1)n-1n2=4 n(n 1)212020.（ 20132013 年高考新课标 1 1 （理）若数列an的前 n 项和为 s=an-，则数列an的通33项公式是an=_ .【答案】an=（-2）2.2121 . （ 20132013 年普通高等学校招生统一测试安徽数学 （理） 试题 （纯 WORDWORD 版） ）如图,互不-相同 的点A1,A2|l （,Xn,|l（和B1,B2l（,Bn,川分别在角 O 的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有 梯形AnBnBn 1代1的面积均相等设0代二若3 1,3 2,则数列沛的

11、通项公式是【答案】an=3n-2,n N *22.22.（20132013 年高考北京卷（理）若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_;前 n 项和 S=_ .【答案】2,2n 1- 223.23.（ 20132013 年普通高等学校招生统一测试辽宁数学（理）试题（WORDWORD 版）已知等比数列: :a an n/ /是递增数列，Sn是aj的前n项和，若q, a3是方程x2-5x 4= 0的两个根，则SJ=_.【答案】63三、解答题24.24.（ 20132013 年普通高等学校招生统一测试安徽数学（理）试题（纯WORDWORD 版）设函数22nxxxfn（x）

12、- -1 x二22（x R, n Nn）,证明：23n22（I）对每个nNn,存在唯一的x,1,满足fn（Xn）=O;3(I)X2(n)对任意p三Nn,由(I)中Xn构成的数列:焉？满足0：人-Xn.pn二笃是单调递增的.fn(X)=-X，n2X22+十+4单调递增函数，也是 n 的单调递增函数.且 fn(0)=存在唯一 Xn (0,1,满足 fn(Xn)=0,且 V- x1X2X3Xn0当 X (0,1).时，fn(x) _ -1 X3X+2224X+ 一 +2n2X,X2= -1 X224n 11 - X_1 X1 - x4X22xn= 0 二 fn(Xn)乞 -1 Xn 41=(Xn-2

13、)(3xn1 - Xn2)乞 0= Xn综上,对每个n Nn,存在唯一的Xn彳,满足fn(Xn)3=0;(证毕)(n)由题知1-XnXn亠p0,fn(Xn )=-1 Xn3Xn4XnnXnn p(Xn：；p)=-1 Xn .p223Xn p324Xnpn卅Xn亠p(n 1)n+p=0(n p)2相Xn2Xn23Xn24XnnXn2n2Xn亠p+Xn pXn- Xn:：p(2Xn2224Xn卩nXn+p+- + -2nn41Xn p一(n 1)n+pXn+p(n P)233-XnXn .p-Xn3nXn2nn-Xnn +Xnp-2)(n 1)n非2丿(n p)1 1n n p法二：11Xn-Xn

14、 -p. nn(I)X2:M解析：证明：对每竹i NS让0时几=1 + -+-+- Ot tt/n(x)在他+oo)内TJH由于川1) = Or2时.人=-J2 22卩1匸k/n(5)= -1+3 +E-|r 故&+1 (Jri) f“(工卜)fn+11工“+1 )=TJ十I)由扎+(工)在(OHg内畝谓递增知.巧十Xrt.故%为单调递械址列一从rfi(j工扌*| 恵JP IM Jii+p吒歹叭对任帥NS由于J*工訂fn(H)=】十盍冲+召? +寺一=山J_ + i-rt+PHr _丄 H+P 亠訂rn- (n + l)2(n 4- p)2式减去式井林顶利用【X =十1*得1n+pa葺

15、*ti+p卄 山吐 +JJ卞+ L X k=2k=n+lk=Al2525 . ( 20132013 年高考上海卷(理)(3 分+6 分+9 分)给定常数C 0,定义函数f (x) =2 | x c 4| - |x - c|,数列ai,a2,a3ll 满足anf (an), nN.若a厂-c -2,求a2及a3;(2)求证：对任意 n N耳1-a*- c,；(3)是否存在ai,使得ai,a2I (务，川成等差数列？若存在，求出所有这样的 印,若不存在，说明理由【答案】：(1)因为c 0,a -(c 2),故a2= f (a1 2| a1c 4 |a1c 2,a3= f (aj = 2 | a2c

16、 4 I -| a2c F c 10(2)要证明原命题,只需证明f(x) _x c对任意x R都成立,E晋十ri(2)巧工钟时，/N+t(j) - A(f (x)亠x c：= 2 | x c 4 | - | x - cx c即只需证明2 x c 4 _ x c +x c若x c乞0,显然有2 x c 4 x c +x - c=0成立；若xc 0,则2xc亠4_ x亠c+xc= xc亠4 .xc显然成立综上，f (x) _ x c恒成立,即对任意的n N*,an.1 - an_ c由 知，若an为等差数列，则公差d _c 0,故 n 无限增大时，总有an- 0此时，an1 = f (an) =2

17、(anc 4) -(ancanc 8即d = c 8故a f (a12 a1c 4 a1c a1c 8,即2 a1c 4 a1c a1c 8,当印，c_0 时，等式成立，且n_2时，a*0,此时a.为等差数列，满足题意；若a1c 0,则 a1c 4 = 4 =冃=c一8,此时,a2= 0忌 二c 8,| 1(, an二(n -2)(c - 8)也满足题意;综上，满足题意的a1的取值范围是-c, ：)一 -c - 8.2626. ( 20132013 年普通高等学校招生全国统一招生测试江苏卷(数学) 题)本小题满分10 分.k个设数列务：,- 2 - 2 , 3, 3, , 4 , -4 ,4(

18、- 14-k,( )k1k-1,即当(k -1) kk(k 1)n 2 2于I乏N+,定义集合R = nS*是 an的整数倍，N ：且 1 兰 n(1)求集合R1中元素的个数；(2)求集合R2000中元素的个数【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识，考察探究能力及运用(已校对纯 WORDWORD 版含附加kN时，an(-1)kk,记Sn二a1飞2川，务N，,对数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力810 = -4,811= 5S10= -10,S11= -5二S1= 1 * 81,S4= 0 * 84,S5= 1二集合P11中元素的个数为 5(2)证明：用数学归纳法先

19、证Si(2i彳)=-i(2i 1)事实上， 当i =1时，Sj(2i=S3- -1 * (2 T) -3故原式成立 假设当i二m时，等式成立，即Sm(2md-m2m 1)故原式成立则：i二m 1,时，S(m 1)2(m 1)1=S(m gm 3= Sm(2m 1)(2m 1)2-(2m2)2- -m(2m 1)(2m 1)2- (2m 2)2二(2m25m 3) = (m 1)(2m 3)综合得：Si(2i 1-i(2i - 1)于是S(i 1)2i 1 = Si(2i 1(2i 1)2二i(2i 1) (2i 1)2二(2i 1)(i 1)由上可知:Si(2i 1是(2i1)的倍数而8(i1

20、)(2i 1 j=2i 1( j二2,，2i1),所以Si1) j二Si(2i 1) j(2i 1)是8(i 1)(2i 1j(j - 1,2 ,2i1)的倍数又S(i12i 1= (i 1)(2i1)不是2i2的倍数,而8(i1)(2i 1 .j=-(2i2)(j =1,2/ ,2i 2)S(i 1)(2i 1) -j二S(i 1)(2i 1)- j(2i 2) = (2i1)(i1) - j (2i2)不 是得：81 =1,a?- -2,83- -2,84= 3,a5a6-一4,a8-一4,89 = -4S1 =1,S2 = -1,S3= -3,S4 -0,S5S685,S6 = 2 *8

21、6,S112828.（ 20132013 年高考湖北卷（理）已知等比数列an满足：a2a3=10,a1a2a125.a(i 1)(2i 1 j( j-1,2,，2i2)的倍数故当I =i(2i1)时,集合R中元素的个数为1(2i -1) i2于是当I i(2i 1) j j _ 2i 1)时，集合p中元素的个数为i2j又2000 =31(2 31 1)47故集合P2000中元素的个数为31247 =10082727. （20132013 年普通高等学校招生统一测试浙江数学（理）试题（纯WORDWORD 版）在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a22,5a3成等比数列.(1)求

22、d, an;(2) 若d：0,求| & | | a?|& |亠亠| an|.【答案】解：(i)由已知得到：(2a22)5a1a 4(a1d 1)50(a12d)-(11 d)2二25(5 d)=121+22d +d2=125+ 25d= d2- 3d -4 = 0= “或、an= 4n + 6ian=11 - n（n）由知，当d 0时，an=11一n,当1乞n 11时,an n-0|和|a2 2| CI LU |an n F F印a2 2a3 3n (10 + 11 n)+ an =-n(21 - n)2当12乞n时,an辽0|印丨&丨心3丨Man IS +a2 a?卫

23、州-佝2殆_a.)= 2(6a2a3ID a“)-(引a2a3an)二211(2；11)n(21 n)n2- 21n220所以，综上所述：|印| +1 a21 +1 a31 +LL# I an|=tn(21 - n)2,(1乞n 11)n2- 21n2202,(n-12)(I)求数列CaJ的通项公式11i(II)是否存在正整数m,使得1?若存在，求m的最小值；若不存在，说aia2am明理由【答案】解:(1)由已知条件得：a2=5,又a2q-1=10,. q - _1 或 3,所以数列an?的通项或an=5 3心丄+丄+IH+丄=2 1_l P,a2n=2anT.(I)求数列”Gn 的通项公式；

24、(n)设数列前 n 项和为Tn,且Tn( 为常数).令Cn二b2n(N*).求数2列 GI的前 n 项和 Rn.【答案】解:(I)设等差数列 玄的首项为a1,公差为d,由S4=4S2a2n=2an十1得4a16d =8a-i 4da1(2 n-1)=2 2( n-1)d 1解得,a1d= 2因此an=2n-1(nN)Tn(n)由题意知：0一斗所以n-2时，1 i(II)若 q = -1,+ 111+1或 0,不存在这样的正整数5若q =3,29. (20132013年普通高等学校招生统一测试山东数学(理)试题(含答案)设等差数列；、aj的2n-21、n尹十一1)(4)N*)1111 1二0()

25、01()2()23 (-)3rn-1) ( )n444441112131n1n=0(4)1(4)2(才(7(4)2(J31112131nJ1两式相减得H)(4)(4”1)(4)=4”(-11一41 3n +1整理得RnV(4一)3030. ( 20132013 年普通高等学校招生全国统一招生测试江苏卷(数学) 题)本小题满分16 分.设an是首项为a,公差为d的等差数列(d = 0),S.是其前n项和.nS*记bn2，nN,其中c为实数.n c(1)若C=O,且0, b2,b4成等比数列，证明：Snk二nSk(k,nN);若bn是等差数列，证明：C=0.【答案】证明：/an是首项为a,公差为d

26、的等差数列(d =0),Sn是其前n项和Sn=na !d2(1)Tc= 0bn=毎=a -1dn2213 d, b2,b4成等比数列b2=b1b4/.(a d)2二a(a d)11 11 1Cn =b2n故,所以Rn所以数列数列 心的前 n 项和Rn1 3n 1匚(4E(已校对纯 WORDWORD 版含附加 一ad d2=0d(ad) =0 / d=0a dd =2a24222若bn是等差数列，则bn=An Bn型.Sn=naI2ar2a2 左边=Snk二(nk) a二n k a右边=n2Sk二n2k2a左边=右边.原式成立-0是等差数列.设公差d1, bn= b(n带入bn二?Sn得:n +

27、 cb-i(n - 1冋=nSnn2c|3|2G d)n (d - d!- a d)ncd!n = c - bj对2 2n N恒成立1d, d =021 b, d, a + d = 0 2cd,=0c(di-bi) =01由式得：d,d/d = 0d,= 02由式得：c = 0法二：证:若-0,则= a (n - ,)d , &二啲)d 2a,b“鸡2a.2 2当b|, p,b4成等比数列，b；b,b4,rd (3d即：a + 丨=a a +i,得：d2= 2ad,又d式0,故d=2a.I2丿、2丿由此：Sn= n a,Snk (nk) a = n k a,n Sk= n k a.故：

28、Snk二n2Sk(k,n N*).bnnSnn2c2(n _0d +2a22_n2+c2(n “)d 2a(n -0d 2a (n -,)d 2ancc2 2 2_n2+c(n - Dd 2a2(n-0d 2ac2n2+c观察(探)式后一项，分子幕低于分母幕，(n _ 1)d +2ac2(n _1)d 2a(n1)d 2a门故有：-,-=0,即c0,而丰0,n2+c22故c =0.经检验，当c= 0时bn是等差数列.3131 .( 20132013 年普通高等学校招生统一测试大纲版数学(理)WORDWORD 版含答案(已校对)等差数列；Gn ?的前n项和为Sn,已知S3=a22,且Si,S2,

29、S4成等比数列，求aj 的通项式.【答案】Hi设 Z 的公蓬为山 由S1 -o J得3a：= ,故竺戒血=3*由 虑符比SE-SiS.又Si*2商一十2乩故焙血刃“却人齐3存0X屮士 一2屮所议*0#此时S,-01不合若ai-3iW(6-/)I-(3d)C12-rZd).M15 d0 A d=Z.因比加J的 通项公式为a. =3*a,= 2-l+3)已知首项为-的等2比数列an不是递减数列，其前 n 项和为 Sn(nN *),且 S + as, 9 +隹，S + a4成等差数列.(I)求数列an的通项公式；【答案】3232. ( 20132013 年普通高等学校招生统一测试天津数学(理)试题(

30、含答案)(n)设 Tn=Sh1和N N*),求数列Tn的最大项的值与最小项的值2 2 2足：sn-(nn1)sn-(nn )=0(1)求数列an的通项公式 an；n +1*5令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN,都有Tn:(n +2)2a264【答案】(1)解:由S -(n2n -1)Sn-(n2n)=0,得 冶-(n2n) (Sn1) = 0由于an?是正项数列，所以Sn 0, Sn= n2 n.2 2于是a1-S1- 2, n_2时，an=Sn-Sn=n，n-(n-1)(n-1) =2 n.综上,数列a:的通项an =2 n证明：由于an=2 n,bnn 12 2(n 2

31、)an3333 .( 20132013 年高考江西卷(理)正项数列an的前项和an满n 14n2(n 2)2丄1冷丄二丄冷亠-亠H16 IL 3222423252(n -1)2(n1)2n2(n 2)由一，得2Sn2Sn=门41n 1 an n n 12an=2Sn-2Sn42an= nan 1 -n -1 a.- n n 1a a(al 亠n=1数列 是以首项为-1=1,公差为1的等差数列n 1 n. n1an=1 1 n-1二n, an二n n_2nn*当n =1时，上式显然成立. an二n ,n N丄 丄1161尹一（n十1）23434.（ 2012013 3WORDWORD 版）设数列

32、a J的2S12前n项和为Sn.已知a =1,n= an4 - n2- n,n N n 33(I)求a2的值；(n)求数列a的通项公式；1117(川)证明：对一切正整数n,有一 + 一+| +一 .a1a2an4【答案】.(1)解：T2Sn=ann2-n-2,n N.n3312二 当n=1时，2q =2S =a21=a2233又玄1= 1, . a 4解2Sn-an 112一 _nn-2, n N .n33二2Sn=nan卅-1322n(n +1 X n +2 )n _ n -n -n an 1一333当n _2时，2Sn吕=：n -1 an1(n 2)25642 *证明：由知，an二n ,

33、n N171当n =1时，1,.原不等式成立a1411172当n = 2时，1,.原不等式亦成立a1a24 4当n_3时”.原不等式亦成立1117综上，对一切正整数 n ,有 一 11一 ：:一.a1a2an43535. ( 20132013 年高考北京卷(理)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为 A,第 n 项之后各项an 1,an 2,的最小值记为B, dn=Ar B.(I)若an为 2,1,4,3,2,1,4,3,是一个周期为 4 的数列(即对任意nN*,an 4二an),写出d1,cb, d3,d4的值;(II)设d为非负整数，证明：dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2,dn=1 (n=1,2,3,),则an的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.【答案】(I)di=d2=1,d3=d4=3.(II)(充分性)因为订鳥是公差为d的等差数列，且d-O,所以 6