(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习第四章三角函数第28课函数f(x)文

1、 第 28 课 函数 f（x）二 Asin（ 3 x+ ）的图象 （本课时对应学生用书第 页） 自主学习 回归教材 使+n 1. （必修 4P40 练习 5 改编）函数y= 3 sin 2 3的振幅为 _ ，周期为 _ ，初相 为 _ . 2 n 【答案】3 4n 3 2. _ （必修 4P39 练习 2 改编）函数y=3sin2 x向 _ 平移 _ 个单位长度，可得到函数 n 2x- y=3sin 5的图象. 冗 【答案】右10 3. （必修 4P40 练习 4 改编）要得到函数y=cos（2 x+1）的图象，只需将函数 y=cos 2 x的图象向左平移 个单位长度即可. 【答案】2 j 2

2、x - 4. （必修 4P37 例 1 改编）要得到函数y=2sin 4 的图象，可将函数 y=2sin 丄 的图象 2 【答案】每一点的横坐标变为原来的 2倍（纵坐标不变）3 n 【答案】6, 6 n 【解析】由图象可得T=2X (4-1)=6,则3 =3.由图象知f(x)过点(1 , 2)且A=2,所以 1.函数y=Asin( 3 x+ )的图象 (1)用“五点法”画函数y=Asin( 3 x+ )的图象的步骤：列表；描点；连线 用“变换法”由函数y=sin x的图象得到函数y=Asin( 3 x+ )的图象的规律： 由函数y=sin x的图象向左( 0)或向右( 0)平移| |个单位长度

3、，得到函数 y=sin( x+ ) 的图象；纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到函数y=sin( 3 x+ )的图象；横坐标不变， 纵坐标变为原来的 A咅，得到函数y=Asin( 3 x+ )的图象. 丄 由函数y=sin x的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的 ,得到函数y=sin 3x的图象；向 0)或向右( 0)平移个单位长度，得到函数 y=sin( 3 x+ )的图象；横坐标不变， 纵坐标变为原5.(必修 4P48 练习 13 改编)已知简谐运动f (x) =Asin ( 则该简谐运动的最小正周期和初相 2的部分图象sin -: 3 =1.又 | |0)，且 y=f(x)的图象的一个 对

4、称中心到最近的对称轴的距离为 (1)求3的值; (2)求函数f(x)在区间 3n -2上的最大值和最小值. 此时x的取值集合为 所以 3 sin 13 14 、3 _ 【解答】(1)f(x)= 2 - 3 sin 23 x- sin 3 xcos 3 x 1-cos2，x 1 2 - 2 sin2 3 x .3 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 Tt 又3 0,所以2 =4X 4，因此3 =1. 当 n w x w 2 时， 3 W2x- 3 w 3 , 与f (x)=A6in( 3 x+0 )有关的综合问题 典型示例 x x _x 例 3 已知函数 f (x) =10 3 sin

5、 2 cos 2 +10cos?2 .故f (x)在区间 - ?2 3n 1 上的最大值和最小值分别为 2 , -1. =2 cos2 3 x- 2 sin2 3 x =-sin 2X-n (2)由(1)知f(x)=-sin 2x- 3 所以-2 w sin n 2x- I 3wi. 微课 7 15 (1)求函数f (X)的最小正周期 (2) 将函数f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移 a( a0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为 2. 求函数g(x)的解析式； 求证：存在无穷多个互不相同的正整数 Xo使得g( Xo) 0. x x x 【规范解答】

6、因为f(x)=103sin 2 cos 2 +10cos2 2 、3 =5 sin x+5cos x+5 所以函数f(x)的最小正周期T=2n . n 将f (x)的图象向右平移 6个单位长度后得到y=10sin x+5 的图象; 再向下平移a(a0)个单位长度后得到g(x)=10sin x+5-a的图象. 又因为函数g(x)的最大值为 2,所以 10+5-a=2，解得a=13. 所以 g(x) =10sin x- 8. 要证明存在无穷多个互不相同的正整数 X。，使得g(x)0，就是要证明存在无穷多个互 4 不相同的正整数X0,使得 10sin x-80,即 sin x 5 . =10sin

7、U+5. 【思维导求函数的最小正周期 16 4 X3 n 4 由5 2知，存在 0a 0 5 . 因为y=sin x的周期为 2 n , 4 所以当 x (2 k n +a o, 2k n +n - a o)( k Z)时，均有 sin x 5 . n 因为对任意的整数 k, (2 k n + n - a o) - (2 k n + a o) = n - 2 a o 3 1, 4 所以对任意的正整数 k，都存在正整数Xk (2 k n + a o, 2k n + n - a o)，使得 sin Xk 5 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 xo,使得g(xo)O. 总结归纳 (1) 三角函数的定

8、义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为 f (x) =Asin( 3 x+ $ )的形式后讨论求解的； (2) 若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，则都是相对于 f(x)而言，即f(x)TAf(x) 和f(x)Tf(x)+k；若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量 x而言，即 f (x) T f ( 3 x)和 f (x) T f (x+a)； (3) 本题第问是解三角不等式问题，由函数的周期性，先在一个周期内求解，然后再加 周期，将存在无穷多个互不相同的正整数 X。使得g(xo) 0 转化为解集长度大于 1，是本题的核心. 题组强化 1. (20

9、15 湖南卷)已知3 0,在函数y=2sin 3x与y=2cos 3 x的图象的交点中，距离最短的两 个交点的距离为 23，则3 = _ . n 【答案】2 -,2k1n-V2 【解析】根据三角函数图象与性质可得交点坐标为 4 , 1 12k2 n 5 n l-A/2 4丿 丿，k1, k2 z,距离最短的两个交点一定在同一个周期内，所以 18 1 | 5 n n J （2 l 3）2= / 4 4 +（八 2 -、2 ）2，所以19 I n n - 2. _ 如果函数y=3sin 3 x( w 0)在-3 4上单调递增，那么 3的取值范围是 _ 0,3 【答案】 2 .，冗.，冗 - , 要

10、使得y=3sin X在区间-3 4 n n j 3 _ 2， ，n . n 4 2 又 3 0,所以 00)个单位长度，若所得图象过 点芒 2丿，则$的最小值为 _ . n 【答案】6 【解析】y=sin 2 x的图象向左平移$ ( $ 0)个单位长度后得y=sin(2 x+2 $ )的图象， * n)药 冗 ) 丫3 -冗+ 2半 n 由所得图象过点 6 2 ，得2 =sin 3 ，所以$ =kn或$ =kn + 6，由$ 0，知$ n 的最小值为6. 4 (2014 山东卷)已知向量 a=( m cos 2 x) , b=(sin 2 x, n)，设函数 f(x)=a b,且 y=f (x

11、)的 灼 n，n I n 3 4 2 2 ,由此可得 图象过点 冗-2 fl-u 上是单占 20 (1)求实数m n的值;21 将y=f（x）的图象向左平移$（oo n）个单位长度后得到函数 y=g（x）的图象，若y=g（x）的图 象上各最高点到点（0, 3）的距离的最小值为 1，求y=g（x）的单调增区间. 【解答】（1）由题意知 f（x）=a b=msin 2 x+ncos 2 x. n 令 2k n - n 2 x 2 kn , k Z,得 k n - 2 x kn , k Z, - n I 、-y,kH 故y=g(x)的单调增区间为- 2 , k乙 所以 . n =msi n 6 n

12、n cos, 6 4 n ncos m n 二 2 3, ,3m 5=4,解得 m=、3, n =1. 由(1)知f (x)= 3 sin 2 x+cos 2 x=2sin 2x - 6 由题意知 g(x) =f (x+$ ) =2sin 2x 2 6丿，依题意知到点（0 , 3）的距离为 1 的最高点为（0 , 2). 2 +- 将其代入y=g(x)得 sin 6 =1, 由 0$ n,得 $ = 6 , 所以 g( x) =2sin 2x + - 2 丿=2cos 2 x. 因为y=f （x）的图象过点 22 x 1. （2015 常州期末）函数f （x） =cos 2 【答案】2n si

13、n 、.3cos I 2 2丿的最小正周期为23 x lin -3cos I 1 厂 1 + c sx x- l 【解析】 因为 f(x)=cos 2 . 2 2 = 2 sin x-、3 2 =sin 3 - V 所以f (x)的最小正周期为 2 n . A a 0 , 2. (2015 苏州调查)已知函数y=Asin( w x+Q ). 点的坐标为(2 , s 2 )，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 函数的解析式为 【答案】 n 2 n n x 2十申 w = T = 8 .又 sin 8 =1，所以 n 上 n 丄 -x - 4+o = 2 +2kn (k Z).又因为 | Q

14、 | 2 ,所以 Q = 4，所以 y= 2 sin 8 4 . 丨2乂+ n 丨0书n I 3. (2016 苏州期中)将函数y=sin 6的图象向右平移Q 2个单位长度后，得 到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则Q的值等于 _ . n 【答案】3 2x-2申 +n 【解析】由题意知，平移后的图象的函数解析式为 f(x)=si n 6 ，因为其为偶函 n n n k n n 数，所以 f (0) = 1，所以 2 Q - 6 = 2 +kn，所以 Q = 3 + 2，又 0Q 0) , x R,若函数 f(x)在区间(-w , w ) 上单调递增，且函数f (x)的图象关于直线x

15、=w对称，则w的值为 _ . 【答案】2 【解析】由f (x)在区间(-w , w )内单调递增，且f (x)的图象关于直线x=w对称，可得 2 5. (2015 安徽卷)已知函数 f (x)=(sin x+cos x) +cos 2 x. (1)求函数f (x)的最小正周期； 求函数f(x)在区间-2 上的最大值和最小值. 2 2 【解答】(1)因为 f (x)=sin x+cos x+2sin xcos x+cos 2 x=1+sin 2 x+cos c n 2x+- | 2x=，2 sin 4 +1, 所以函数f(x)的最小正周期为T= 121 =n . n 2x+7 44 n 5 n

16、由正弦函数y=sin x在 -4 4 上的图象知， n n n 当 2x+ 4 = 2，即x= 8时，f (x)取得最大值、-2 +1; n 2 w w ，且 f ( w) =sin 、 由(1)知，f(x) =、2 sin 2x - 4 +1, 2 w COS 25 n 5 n n 当 2x+ 4=4 ，即x= 2时，f (x)取得最小值 0. 综上, f (x)在 上的最大值为 2 +1,最小值为 0. 26 若锐角0满足 cos 0 = 3，求f(4 0 )的值. 【思维引导】 T 1 【规范解答】 由题意可得A=2, 2 =2n , T=4n，即 =4 n，所以3 = 2 , . 2

17、分 (1 ) 所以 f (x) =2sin 2 .【融会贯融会贯通能力提升 如图，已知函数 f (x)=Asin( 3x+0 ) 2 的图象与y轴的交点为 (1)求f(x)的解析式及X0的值; (0 , 1), n, -2). 抿据函数与F轴交点求初27 f(0) =2sin 0 =1 , | 0 |0 , w 0, 0 $ n )的部分图象如图所 示，则 f 3 = _ cos 2 2 0 =2cos 0 -1=- sin 20 =2sin 0 cos 11分 f (4 0 ) =2sin 3 sin 2 0 +cos 2 0 = 3 X 7 4 6-7 9 29 仏| - I n 4. 已

18、知函数f (x)=sin(2 x+$ ) 2向左平移6个单位长度后为奇函数，则函数 f(x)在 o,n -2上的最小值为 _.30 ，0申 -I 5. (2015 苏锡常镇二模)若函数y=3sin ( 2x+4 )的图象向左平移$ . 2个单位长度 后，所得函数的图象关于原点成中心对称，则 $ = _ . n 0,函数f (x)=sin . 4在2 上单调递减，那么 3的取值范围 是 二、解答题 ,lco 0,- 2，求X的取值范围7 6.已知将函数f(x)=sin n 2 n ，- 在一3 3上的最小值为 8.如图是函数y=sin( 3 x+ $ ) -6 6上的图象，将该图象向右平 移mn

19、0)个单位长度后，所得图象关于直线 x= 4对称，则0- ：- 2 -，在区间 31 (第 9 题) n I x 10. 已知函数 f(x)=sin x+sin 3 . (1) 求f (x)的最小值，并求使f(x)取得最小值时x的集合； (2) 不画图，说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到 11. 已知函数f (x)=Asin( 3 x+0 ) (3 0, 0$ 2 )的部分图象如图所示. (1)求函数f (x)的解析式; 1 L T O 5JT 13 J J A (第 11 题) n x 一 x + 1 12-f 1 12丿 (2)求函数g( x)= f 32

20、三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果 )33 n 12. 若将函数y=2sin(3 x+ $ )的图象向右平移 4个单位长度后得到的图象关于点 则| $ |的最小值为 _ . 13. 设函数f(x)=sin x-cos x,若 Ow x2 017 n,则函数f(x)的各极值之和为 【检测与评估答案】 第 28 课 函数f (x) =Asin( w x+ $ )的图象 4x- -n $ ) =sin(4 x-4 $ ) =sin 4 的图象，所以 $ =16 3- .2 丄 1-cos2x 丄 1 2. n 2 【解析】f (x) =sin 2x+sin xcos x+1 = 2 si

21、n 2 x+ 2 +1= 2 sin 2 x- 2 cos 3 逅 2x- n 3 2n 3 逅 2x+ 2 = 2 sin 4 + 2，所以 T= 2 = n, f (x) min= 2 - 2 . 4.- 2 【解析】 函数f(x) =sin(2 x+$ ) - 2向左平移6个单位长度后得到函数 .|2”才：2x + ； + J fl 6，=si n 八 6丿 -=si n、 3 丿.因为此时函数为奇函数，所以3 对称, n 1.右 16 【解设将函数y=sin 4 x的图象向右平移 $个单位长度，得到函数 y=sin 4( x- 3. 1 【解析】 2_n 4 11 n 7t +P I

22、由题图可知A=2, = 3 12 6 ，所以w =2当x= 6时，sin 3 7t 7t 7t 2x - 7t 又 0$ n，所以 $ = 6，所以 f (x) =2sin 6 ，所以f 3 =2si n 6 =1 34 3+0 =kn (k Z)，所以 0 =- 3 +kn ( k Z).因为 | $ | 2，所以当 k=O 时，0 =- 3，所以 2x - 2：；卜 n y=3sin 4，要所得函数图象关于原点对称，则 n 3 n O0 2 , n 3 + 4 w 2 ,故 1 5 2 w 3 w 4 .f (x) =sin 2x- n l 3 丿.当 Ow xw n 2时, 冗 n 2

23、n n n -3 w2x- 3 w 3，即当 2x- 3=- 3 时，函数 5. 3n 88 【解析】 方法 函数y=3sin 2x - I 4丿的图象向左平移 0个单位长度后得 2 0 + 4 =kn，即 0 = 2 - 8 .又 7. 1 【解(n) 2x- f (x) =sin . 3取得最小值为 35 n 5 n n 2 n 8. 6 【解析】令f(x)=y=sin( w x+Q )，由三角函数图象知， T= 6 +6 = n，所以 =n , n n n 所以w =2.因为函数f(x)过点I 6丿，所以-6 X 2+Q =kn，又OS 2，所以0 = 3，所以 2x n f(x)=si

24、 n 3 ，将该函数图象向右平移 n个单位长度后，所得图象的解析式为 n 2x -2 m I 3 丿，因为函数g(x)的图象关于直线x= 4对称，所以 2X 4 + 3- n n k n n 2m=2 +kn (k Z)，解得m - 2 ( k Z)，又因为m,所以m的最小值为6 . 2n 9. (1)因为最小正周期T= =n，所以w =2. 图象如图所示n 公上+ J1 胄+护1 又因为 f 4 =cos 4 =cos 2 =-sin -.3 n 7t Q = 2，且- 2v$ 2 , n n n 则 2k n - 4 2x- 3 2k n +4 , k Z, n 7 n 所以 2k n +12 2x2k n + 12 , k Z, n 7 n 所以 kn +24 x 所以f(x)的最小值为 -3，此时x的取值集合为. 3 y=sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 3倍，得y= 3 sin x的图象, 然后把 y=-3sin x的图象向左平移 6个单位长度，得f(x) =、-3sin 6的图象. 11 n 5 n . - 11. (1)由图象知 T=2X 12 12 =n，所以 3 =2. 5 n 5 n 当 x= 12 时，3 x+