2019中考数学分类汇编汇总知识点37解直角三角形及其应用(第二期)解析版

1、3A.3sina米B.3cosa米C.D.一、选择题1.（ 20 佃广西北部湾，11, 3 分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图，已知她的目高 AB 为 1.5米，她先站在 A 处看路灯顶端 0 的仰角为 35再往前走 3 米站在 C 处，看路灯顶端 0 的仰角为 65则路灯顶点 0 到底面的距离约为（已知sin35 0.6DOS35Q.8tan35 Q.7sin65 0.4cos65 0,9tan65 2.1A.3.2 米 B.3.9 米 C.4.7 米 D.5.4 米貫严Mil題圍【答案】C.【思路分析】 本题考查解直角三角形过点 O 作 OE 丄 AC 于点 F，延长 BD

2、 交 OE 于点 F，设 DF=x,根据锐角三 角函数的定义表示 OF 的长度，然后列出方程求出 x 的值即可求出答案.【解答过程】 解：过点 O 作 OE 丄 AC 于点 F,延长 BD 交 OE 于点 F,设 DF=x,。OF/ tan65 =- ,DF OF=xtan65,/ BF=3+ x,/ tan35=,BF OF=(3+ x)tan35 , 2.1x=0.7(3+x), x=1.5, OF=1.5X2.1=3.15, OE=3.15+1.5=4.65 ,故选 C.【知识点】 解直角三角形及其应用2.（2019 吉林长春，6 , 3 分） 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子

3、 AB 的长是 3 米若梯子与地面的夹角为a则梯子顶端到地面的距离C 为O【答案】A.BCBC【思路分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出sina，进而得AB 3出答案.BCBC【解答过程】 解：由题意可得：sin =，故 BC=3sin (m).AB 3故选：A.【知识点】 解直角三角形的应用二、填空题1. (2019 湖北仙桃，15,3 分)如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60,在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为30,点 C 与点 B 在同一水平线上.已知 CD = 9.6m,则旗杆 AB 的高【答案】14.4【

4、解析】 解：作 DE 丄 AB 于 E,如图所示： 则/ AED = 90,四边形 BCDE 是矩形，BE=CD=9.6m,/CDE= ZDEA=90,/ADC = 90 +30 = 120 ,/ ACB = 60,/ACD = 30,/ CAD = 30=/ ACD , AD = CD = 9.6m,在 Rt ADE 中，/ ADE = 30,二 AE AD = 4.8m,/ AB = AE+BE = 4.8m+9.6m= 14.4m；【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题2. （2019 湖北咸宁，13, 3 分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB （这段河流的两岸

5、平行），他们在点 C 测得/ ACB = 30,点 D 处测得/ ADB = 60, CD = 80m,则河宽 AB 约为m（结果保留整数，1.73）.A tn Ji Tmi卜* S W jli9 1CD B【答案】69【解析】解：在 Rt ABC 中，/ ACB= 30,/ ADB = 60,/ DAC = 30,DA = DC = 80,在 Rt ABD 中，,4069 （米），故答案为 69.【知识点】 解直角三角形的应用3.（2019 湖北孝感，13, 3 分）如图，在 P 处利用测角仪测得某建筑物AB 的顶端 B 点的仰角为 60,点 C 的仰角为 45,点 P 到建筑物的距离为 P

6、D = 20 米，贝 U BC =米.A【答案】（2020）【解析】 解：在 Rt PBD 中，tan/ BPD贝 U BD = PD ?tan / BPD = 20 ,在 Rt PBD 中，/ CPD = 45,CD= PD = 20, BC = BD - CD = 2020,故答案为：（2020）.【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题4.（2019 湖北荆州，14, 3 分）如图，灯塔 A 在测绘船的正北方向，灯塔B 在测绘船的东北方向，测绘船向正东方向航行 20 海里后，恰好在灯塔 B 的正南方向，此时测得灯塔 A 在测绘船北偏西 63.5。的方向上，则灯塔A,B 间的距离为海里（

7、结果保留整数）.（参考数据 sin26.5 0.45, cos26.5 0.90, tan26.5 0.50,【答案】22.4【解析】 解：由题意得， MN = 20,/ ANB= 63.5，/ BMN = 45 ，/ AMN = / BNM = 90 BN = MN = 20,如图，过 A 作 AE 丄 BN 于 E,则四边形 AMNE 是矩形，AE = MN = 20, EN= AM ,/ AM=MN?tan26.5 =20X0.50=10, BE = 20 - 10= 10 ,B2.24)【知识点】 解直角三角形的应用-方向角问题5.（2019 内蒙古赤峰，17, 3 分）如图，一根竖直

8、的木杆在离地面3.1m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成 38角，则木杆折断之前高度约为m.（参考数据：sin38 0.62, cos38 0.79, tan38 0.78）【答案】8.1【解析】 解：如图：AC = 3.1m,/ B= 38 , AB 木杆折断之前高度= AC+AB= 3.1+5 = 8.1 （ m）【知识点】 解直角三角形的应用6. （2019 江苏徐州，16, 3 分）AB1022.4 海里.故答案为：22.4.16.如国*尤人肌于空中 A 处测吗某建加顶部 E 处的仰介为 4 亍，澳得该建麹良殊匚处的驸律 为 17若无人机的飞行高度AD为強IT*则该建筑的扁度执

9、7 为 AHI.鑒苇戳据；sin!7 哙 0.29. col7a= Q,邮，ianl7* =03）【答案】262【解析】 本题解答时要通过作垂线构造矩形和直角三角形解：过 A 作 AE 丄 BC 于 E,则四边形 ADCE 为矩形，在 RtAACD,/AD=62,/ACD =/EAC=17 /AE=CD=AD=-6L =200tan 17 0.31/ AE 丄 BE, / BAE=45 / BE=AE=200, / BC=CE + BE= AD + BE = 62 + 200 = 262 ( m)【知识点】解直角三角形的应用 三、解答题1.（20 佃广东深圳，20, 8 分）如图所示，某施工队

10、要测量隧道长度BC , AD=600 米，AD 丄 BC ,施工队站在点 D 处看向 B,测得仰角 45。，再由 D 走到 E 处测量，DE / AC , DE=500 米，测得仰角为 53,求隧道 BC3, tan535长.(sin53【思路分析】 作 EM 丄 AC 于点 M，构建直角三角形，解直角三角形解决问题.【解题过程】 如图， ABD 是等腰直角三角形， AB=AD=600 .作 EM 丄 AC 于点 M，贝 U AM=DE=500 ,二 BM=100 .在 Rt CEM 中，tan53 =CM，即CM=4,EM 600 3 CM=800 BC=CWBM=800- 100=700

11、（米）,隧道 BC 的长度为 700 米.答：隧道 BC 的长度为 700 米.cB MAL、ED【知识点】解直角三角形2.（20 佃 广西河池，T22, F8 分）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东 60 方向上，向东前进 120m 到达 C 点，测得A在北偏东 30 方向上，求河的宽度（精确到 0.1m）.参考数据：2 1.414 , 3 : 1.732 .A北一 */壬TBcCD 的长，结合 BC =BD -CD =120，即可求出AD的长.【解题过程】 解：过点A作AD_直线 BC，垂足为点D，如图所示.在 Rt ABD 中，tan. BAD =BDAD .BD =A

12、DUtan60 二 3AD ；CD 在 Rt ACD 中，tan ZCADAD.CD 二 ADLtan30AD .3.BC =BD -CDAD =120 ,3.AD =103.9 .河的宽度为 103.9 米.【思路分析】 过点A作AD_直线 BC ,垂足为点D，在 Rt ABD和 Rt ACD 中，通过解直角三角形可求出BD,【知识点】 解直角三角形的应用 一方向角问题3.（2019 贵州遵义，19, 10 分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造，如图是风景秀美的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道， 为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建电动扶梯，经测量，山高 AC=

13、154米，步行道 BD=168 米，/ DBC=30，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45求电动扶梯 DA 的长（结果保留根号）【思路分析】如图，过点 D 作 DM 丄 AC 于 M , DN 丄 BC 于 N，则 Rt BDN 中 BD=168，/ DBC=30，可求 DN 的长，由于 DN=CM，所以 AM 可求，Rt ADM 中，/ADM=45 ，进而可求出 AD 的长【解题过程】解：如图，过点 D 作 DM 丄 AC 于 M , DN 丄 BC 于 N ,贝 U RtBDN 中 BD=168,ZDBC=30, DN=84 ,/ DN=CM , CM=84/ AC=154 , AM=7

14、0 , Rt ADM 中，/ ADM=45 , AD=7012答：求电动扶梯 DA 的长为70J2米.【知识点】解直角三角形4. （2019 海南,20 题,10 分）图 9 是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏西 60方向 上有一小岛 C,小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里.（1）_ 填空：/ BAC=_度，/C=度；（2）求观测站 B 到 AC 的距离 BP（结果保留根号）.【思路分析】任务一:根据平均数的计算方法求值即可；任务二：设出旗杆高度，表示出 CE,DE 的长度，得到方程，即可解得

15、；任务三：根据实际情况分析原因【解题过程】 小岛 C 在码头 A 的北偏西 60方向上，/ BAC = 30 ,在厶 ABC 中，/ABC = 90 +15 = 105，/C=180/BAC-ZABC=45;设 BP= x 海里，则在 Rt BCP 中，CP= BP= x，在 Rt ABP 中，AP = 3BP =3X，TAC = 10， 3x+x = 10，x =5 3 5 答:观测站 B 到 AC 的距离为（53 5）海里.【知识点】三角函数的应用5. （2019 黑龙江绥化，23 题,6 分）按要求解答下列各题:（1）如图，求作一点 P 使点 P 到ZABC 的两边的距离相等，且在 AB

16、C 的边 AC 上.（用直尺和圆规作图，保留作图痕 迹;不写作法和证明）;如图,B,C 表示两个港口，港口 C 在港口 B 的正东方向上，海上有一小岛 A 在港口 B 的北偏东 60的方向上 且在港口 C的北偏西 45方向上测得 AB = 40 海里,求小岛 A 与港口 C 之间的距离（结果可保留根号）第 24 题图【思路分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法进行作图；（2）过点 A 作 AD 丄 BC,利用三角函数，分别在两个三角形中求出相应线段的长度【解题过程】（1）如图，作出ZABC 的平分线，标出点 P；过点 A 作 AD 丄 BC 于点 D,由题意得，ZABD = 30，/ACD =

17、 45，在 Rt ADB 中，：AB = 40,AD = ABsin30=20,在 RtAADC 中,sinZACD =, AC = 20.2（海里），答:小岛 A 与港口 C 之间的距离是 20 2 海里.AC第 24 题答图【知识点】 尺规作图，三角函数的应用6. （2019 湖南张家界，20, 6）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区在一次检修维护中，检修人员从索道A 处开始，沿 A BC 路线对索道进行检修维护如图：已知AB= 500 米，BC=800 米，AB 与水平线 AA1的夹角是 30, BC 与水平线 BB1的夹角是 60.求：本次检修中，检修人员上升的垂

18、直高度 CAi是多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：- 1.732）第 20 题图【思路分析】 过点 B 作 BD 丄 AAi于 D,在 Rt ABD 和在 Rt CBBi中，由正弦函数，分别求出 BD 和 CBi的长, 两者相加，即为 CAi的长.【解题过程】 如答图，过点 B 作 BD 丄 AAi于 D，则 AiBi= BD .BDi在 RtAABD 中，由 si nA =-，得 BD = AB?si nA= 500?s in 30 = 500 X = 250 （米）.AB2CB在 Rt CBBi中，由 sin / CBBi=,CB得 CBi= CB?sin/ CBBi= 800?si

19、n60= 800X = 4003= 692.8 （米）.2 CAi= CBi+ BiAi= 692.8+ 250= 942.8943 （米）.本次检修中，检修人员上升的垂直高度CAi约为 943 米.【知识点】解直角三角形.7.（20i9 湖北十堰，i9, 7 分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD , AD = 3m,坝高 AE= DF = 6m，坡角a=45,3=30，求 BC 的长.【思路分析】 过 A 点作 AE 丄 BC 于点 E,过 D 作 DF 丄 BC 于点 F，得到四边形 AEFD 是矩形，根据矩形的性质 得到 AE=DF = 6, AD = EF = 3,解直角三角形即可得

20、到结论.【解题过程】解： 解：过 A 点作 AE 丄 BC 于点 E,过 D 作 DF 丄 BC 于点 F ,贝 U 四边形 AEFD 是矩形，有 AE = DF = 6, AD = EF = 3,坡角a=45,3=30,BE = AE= 6, CF一 DF = 6_, BC = BE+EF+CF = 6+3+6 9+6_,BC =（ 9+6） m,答：BC 的长（9+6_） m.【知识点】 解直角三角形的应用-坡度坡角问题8.（2019 湖南郴州，21, 8 分）如图所示，巡逻船在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 45方向上，距离 A 处 30km.在 灯塔 C的正南方向 B 处有一渔船发出求

21、救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救已知B 处在 A 处的北偏东60方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到 0.01km.参考数据：1.414,_1.732, 一 2.449）【思路分析】 延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D，则/ CDA = 90，由题意得：AC = 30km,/ CAD = 45,/BAD = 30,由直角三角形的性质得出 AD = CD AC = 15AD_BD , BD5 一，即可得出答案.【解题过程】解： 延长 CB 交过 A 点的正东方向于 D，如图所示：由题意得：AC= 30km,/ CAD = 90- 45= 45,/ BAD = 90- 60=

22、30 ,则/ CDA = 90, AD = CD AC= 15_, AD_BD , BD5 一，BC=CD-BD=15 _ 5 15X1.414-5X2.4498.97(km);答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km.【知识点】 解直角三角形的应用-方向角问题9.（ 2019 年陕西省，20, 7 分）（本题 7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC 为60m,从 C 点测得 A 点的仰角:-为53，从 A 点测得 D 点的俯角为37，求两座建筑物的高度（参考数据:【思路分析】通过作辅助线，构造一个矩形，禾U用锐角三角函数解决问题. 【解题过程】解：过点 D 作DE_AB，垂足为 E,所以AE

23、D DEB =90由已知，可得.B=/BCD =90, EDA = 1 =37,因为.B =BCD二.DEB =90, 所以四边形 BCDE 为矩形，所以ED =BC =60,CD =BE,AB在 Rt ABC 中，因为tanBC4AB=BCtan60tan53 603=80,AE在 Rt ADE 中，因为tan. ADEED3AEDtanAD60 tan37 60V45，所以BE = AB - BE =80-45 =35,所以CD = BE =35,所以两座建筑物的高度分别为80m, 35m .34sin 37,cos37二553tan 37二4sin53=4,5cos53=3,5tan53

24、二单).3第 14 题答图【知识点】矩形的判定定理和性质定理、锐角三角函数、平行线的性质.10.（2019 黑龙江大庆，22 题,6 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东 60方向航行 10km 至 B 港，然后再沿北偏西 30 方向航行 10km 至 C 港.（1）求 A,C 两港之间的距离（结果保留到 0.1km,参考数据：2疋1.414, 3疋1.732）;（2）确定 C 港在 A 港的什么方向第 22 题图【思路分析】（1）由方位角及 AB,BC 的长度，可得 ABC 是等腰直角三角形，进而得到 AC 长度;（2）根据方位角等角 度,得到/ MAC 的度数.【解题过程】（1）因为 B 港

25、在 A 港沿北偏东 60方向，所以/ ABQ = 30 ,因为 C 港在 B 港的北偏西 30 ,所以/CBQ = 60 ,所以/ ABC = 90 ,因为 AB = BC = 10km,所以 ABC 是等腰直角三角形，所以 AC =2 AB = 10 2 14.1km;由（1）可知，/CAB = 45 ,所以/ MAC = 15 ,所以 C 港在 A 港的北偏东 15的方向.【知识点】 方位角，三角函数11.（2019 吉林省，21, 7 分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座 A 与地面的距离 AB 为 170cm，花 洒 AC 的长为 30cm,与墙壁的夹角/ CAD 为 43求花

26、洒顶端 C 到地面的距离 CE （结果精确到 1cm）.（参考数 据：sin43 0.68 ,cos430.73, tan43 0.93）【思路分析】如图，过点 C 作 CM 丄 BD 于点 M,解 Rt ACM，可以求出 AM 的长，从而可以求出 BM 的长, 由于 CE=BM问题可以解决.片A【解题过程】解：如图，过点 C 作 CM 丄 BD 于点 M ,Rt ACM 中 AC=30m, / CAD=43 ,AM _ AMcos/ CAD=AC 30 AM=30cos / CAD=30 0.73=21.9,所以 CE=AM+AB=21.9+170=191 令 192cm答：花洒顶端 C 到

27、地面的距离为 192cm【知识点】解直角三角形12.(20 佃辽宁本溪，22，12 分)小李要外出参加 建国 70 周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图，分别 是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息： 滑杆 DE，箱长 BC，拉杆 AB 的长度都相等，B, F 在 AC 上, C 在 DE 上,支杆 DF=30cm, CE:CD=1:3 , / DCF=45 , / CDF=30，请根据以上信息， 解答下列问题：(1 )求 AC 的长度，(结果保留根号)；(2)求拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离(结果保留根号).【思路分析】 本题主要考查解直角三角形 .(1)

28、过点 F 作 FM 丄 ED，垂足为 M，根据 DF=30cm,/ CDF=30 可得 MF 和 MD 的长，根据/ DCF=45 可得出CM 的长进而求出 DE，根据 DE=BC=AB 即可求出 AC 的长；(2)过点 A 作 AN 丄 ED，垂足为 N,根据 AC=40+40( cm),/ DCF=45 以及 AN=AC sin / DCF 即可求出答案【解题过程】 解：(1)过点 F 作 FM 丄 ED，垂足为 M./ DF=30cm,/ CDF=30 ,/ DCF=45 , CM=MF=15 cm, CD=CM+MD=15+15.3 ( cm) / CE:CD=1:3 , ED=20+

29、20 .3 (cm)/ DE=BC=AB ,(2)过点 A 作 AN 丄 ED，垂足为 N ,AC=40+40 羽(cm), / DCF=45 , AN=AC sin/ DCF=20 逅+20 禹 (cm)【知识点】 解直角三角形及其应用13.( 2019 广西贺州，22，8 分)如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东 60 方向巡 逻，到达 C处时接到命令，立刻在 C 处沿东南方向以 20 海里/小时的速度行驶 3 小时到达港口B求A,B间的距离.C.3 ：、1.73 ,2 : 1.4，结果保留一位小数)【思路分析】 过点 C 作 CD _ AB，垂足为点D，则.ACD

30、=60 , BCD =45，通过解直角三角形可求出BD,AD的长，将其相加即可求出AB的长.【解题过程】解： 解：过点 C 作 CD _AB，垂足为点D，则.ACD =60 , . BCD =45，如图所示.在 Rt BCD 中，sin. BCDcos BCD =CDBCBC.BD =BCbsinBCD =20 3-：42 , CD =BCLDOSBCD =20 3 -: 42 ;2 2AD在 Rt. ACD 中，tan /ACD =-CD.AD 二 CDLtan ACD =42:72.2 . MF=15 cm,MD=153cm.AC=AB+BC=40+40(cm).AB =AD BD =72.242 =114.2 . A,B间的距离约为 114.2