2018版高中数学苏教版必修二学案：2.1.6点到直线的距离

1、2.1.6 点到直线的距离【学习目标】1了解点到直线距离公式的推导方法2 掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题ET问题导学-知识点一点到直线的距离思考 1 一般地，对于直线 I: Ax + By+ C= 0(A丰0,0)外一点 P(x, y)，点 P 到直线的距离为 d,过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的平行线，交直线 I 于 R 和 S,贝Ud 同线段 PS, PR,RS 间存在什么关系?思考 2 根据思考 1 的思路，点 P 到直线 Ax+ By + C= 0 的距离 d 怎样用 A, B, C 及 x,y表示？思考 3 点到直线的距离公式对于A= 0 或 B=

2、0 时的直线是否仍然适用?梳理(1)定义：点到直线的垂线段的长度(3)公式：d =_知识点二两条平行直线间的距离图示:思考 直线 li： x + y 1 = 0 上有 A(1,0)、B(0,1)、C( 1,2)三点，直线 “：x + y+ 1 = 0 与直线li平行，那么点 A、B、C 到直线 12的距离分别为多少？有什么规律吗？梳理(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长(3)求法：转化为点到直线的距离类型一点到直线的距离例 1(1)求点 P(2, 3)到下列直线的距离41 y= 3X+ 3； 3y= 4; x= 3.求过点 M( 1,2)，且与点 A(2,3), B( 4,5)距离相等的直

3、线 I 的方程反思与感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题1直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式2点 P 在直线 I 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用3直线图示:(4)公式：两条平行直线11: Ax+ By + C1= 0 与 I2： Ax+ By+ C2= 0 之间的距离题型探究方程 Ax+ By+ C= 0，当 A= 0 或 B= 0 时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐1点 P( 1,2)到直线 3x 1= 0 的距离为标轴垂直)，故也可用数形结合求解(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意跟踪训练1(1)若点(4，a)到直线 4x

4、3y = 0 的距离不大于3，则 a 的取值范围是已知直线 I 过点 P(3,4)且与点 A( 2,2) ,B(4, 2)等距离，则直线 I 的方程为 _类型二两平行线间的距离例 2 (1)若两直线 3x+ y 3= 0 和 6x+ my 1 = 0 平行，则它们之间的距离为 _ .已知直线 I 与两直线 11： 2x y+ 3= 0 和 l2： 2x y 1 = 0 的距离相等，则直线 I 的方程为反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线I1： y|b1 b2|、=kx+ b1, I2: y= kx+ b2,且 b1丰b2时，d = :-;当直线 I1: Ax

5、+ By+ C1= 0, I2： Ax +/k2+ 1|C1 C2IBy+ C2= 0,且 G 工 C2时，d =(.但必须注意两直线方程中 x, y 的系数对应相等屮2+ B2跟踪训练 2 (1)求与直线 1: 5x 12y+ 6= 0 平行且到 I 的距离为 2 的直线方程；两平行直线 11, 12分别过 P1(1,0) , P2(0,5)，若 I1与 I2的距离为 5,求两直线方程当堂训练2若点（1,2）到直线 x y+ a= 0 的距离为 乎，则实数 a 的值为_.3已知点 P 为 x 轴上一点，且点 P 到直线 3x 4y+ 6 = 0 的距离为 6,则点 P 的坐标为4到直线 3x

6、 4y+ 1 = 0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程为 _ .5 若点 P 到直线 5x 12y+ 13= 0 和直线 3x 4y + 5= 0 的距离相等，则点 P 的坐标应满足的 方程是_p规律与方法 -11点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰|C1 C2I3已知两平行直线，其距离可利用公式d=j求解，也可在已知直线上取一点，转化帖+ B2为点到直线的距离问题导学知识点一仍然适用，当 A= 0, B丰0 时

7、，直线 I 的方程为 By+ C= 0,当 B = 0, A丰0 时，直线 I 的方程为 Ax+ C = 0, x=A，d= |x0+弓|=八乂；,适合公式.AA|A|梳理mA|知识点二思考 点 A、B、A 到直线-的距离分别为 2、2 ,2 规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.题型探究41例 1y= x + 3 可化为 4x 3y+ 1 = 0，点 P(2, 3)到该直线的距离为|4X2 3 X ( 3 片 1| = 18(42+(-3f5.3y = 4 可化为 3y 4= 0,由点到直线的距离公式得3X34|=13,02+ 32= 3.3x= 3 可化为 x 3

8、 = 0, 由点到直线的距离公式得 邑色1.1(2)解 当过点 M( 1,2)的直线 I 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x= 1,恰好与 A(2,3), B( 4,5)两点的距离相等，故x= 1 满足题意.当过点 M( 1,2)的直线 l 的斜率存在时，设 I 的方程为 y 2 = k(x+ 1),即 kx y+ k+ 2= 0.答案精析思考 1PR PS思考 2dJAx 卄严严A2+B2思考 3由点 A(2,3)与 B(-4,5)到直线 I 的距离相等，得4k 5+ k + 2|1解得 k= 31此时 I 的方程为 y 2= -(x+1),即 x+ 3y 5= 0.综上所述，直线 I

9、的方程为 x= 1 或 x+ 3y 5= 0.131跟踪训练 1(1),勺(2)2x y 2 = 0 或 2x+ 3y 18= 0例 2专(2)2x y+ 1 = 0跟踪训练 2 解(1)设所求直线方程为 5x 12y+ C = 0, 在直线 5x 12y+ 6 = 0 上取一点P00,1，1小12X+C|则点 Po到直线 5x 12y+ C= 0 的距离为 p2=,52+ 122由题意，得 CJ= 2,所以 C = 32 或 C= 20,故所求直线方程为 5x 12y+ 32= 0 或 5x 12y 20 = 0.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设 l1: y= k(x 1)，即 kx y k= 0,I2： y= kx+ 5,即卩 kx y+ 5 = 0.因为 l1与 l2的距离为 5, 所以l1= 5,解得 k= 0 或名.Qk+ 112所以 l1和 l2的方程分别为 y= 0 和 y=