2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高一(下)期中数学试卷

1、第1页（共 14 页）2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题共 60 分）ba1. （5 分）已知ABC 中，则该三角形为（）sin A sin BA .等腰三角形B .等边三角形C.直角三角形2. （5 分） 某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯 底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在、处可依次写上（）（5 分）已知 a =（2,4）.则与 a 垂直的单位向量的坐标是（）B 快、新、乐C.新、乐、快D 乐、快、新D .不能确定3.4.T,T)

2、2、55.5_52晶5)55,“是两个不同平面，下列命题中错误的是A .若 m _ ：- , m“，则/:B .若 m / / n , m _：，贝 V n _C.若 m/:,:门-二 n，贝 V m/nD.若 m二 s , m 二，则5.(5 分)在 ABC 中，b=19 , c=20 ,B =60，那么这样的三角形有（5或(-或（)或（,52一5、卡55(-I55(5 分)已知 m , n第2页（共 14 页）C. 2 个（5 分）如图，正方形 ABCD 中，点E,F分别是 DC , BC 的中点，那么 EF =（6.第3页（共 14 页）3km，那么x的值为（C.3EF与 BC 所成的角

3、为A. -3 11. （5 分）将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（）12. （5 分）在 ABC 中，C =3B，则c的取值范围为（）bDECB .- 1A-1AD2C.-1AB27D2 27. （ 5 分）已知等腰三角形的底边长为6, 腰长为12，则它的外接圆半径为（C.D. 63&（5 分）某人朝正东方向走 xkm 后,向朝南偏西 603km，结果他离出发点恰好2.39. （ 5 分）四面体 ABCD中,AD 二 BC，且 AD _BC ,E、F分别是AB、CD 的中点，则A . 3045C. 60D. 9010. （5 分）已知向量 a，b 满足向

4、=3 , |b|=2、可,且 a _（a b），则 b 在 a 方向上的投影C.2 3A. （丁 ）2 2二、填空题（每小题B . C 2 , 3)C. (1, 3)(1,3)5 分，共 20 分）13. （ 5 分）已知向量a=(2x,7), b=(6,x 4)，当x二_ 时,a / /b .14. （5 分）在 ABC 中，a =5，b =7，c =8，则 ABC 的面积为15. (5 分)一个底面直径22第4页（共 14 页）水面上升了9cm .则这个球的表面积是2cm .16. (5 分)如图，正方形 ABCD 的边长为 1,延长BA至E，使AE =1，连接 EC、ED，第5页（共 1

5、4 页）三、解答题（每大题有 6 小题，共 70 分）17（10分）如图所示，在 ABC 中，CDA 着冷记，乩b求证：忒 3（b吕-18.（ 12 分）如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD _CD , AD =10 ,AB =14, BDA = 60 ,.BCD =135，求 BC 的长.19. （12 分）.ABC 的角A,B ,C 的对边分别为 a , b ,c,已知 asin A bsin B csinC = asinB.（1）求角 C ；3_（2）若 a b =5，三角形的面积S.ABC3，求c的值.20.（12 分）如图，已知四棱锥的底面是边长为 4cm 的正方形，E为 BC

6、的中点，高为 PO , OPE =30，且侧棱长都相等，求该四校锥的侧面积与表面积.ABJT第6页（共 14 页）21. （12 分）在ABC 中，内角A,B, C 对边的边长分别是a, b ,c,已知 c =2 , C 二一.3（I）若 ABC 的面积等于.3，求a,b;（H）若 sinC sin（B-A）=2sin2A,求.ABC 的面积.22 . （ 12 分）如图，在长方体 ABCD -ABGD!中，点E在棱 C。的延长线上，且第7页（共 14 页）求证： D,E / / 平面 ACB,；CG=GE=BCJAB=1 .2求证：平面 DE _平面 DCB,；第8页（共 14 页）2018

7、-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题共 60 分）ba1. （ 5 分）已知.ABC 中，则该三角形为（）sin A sin BA .等腰三角形B .等边三角形C.直角三角形D .不能确定【解答】解：Ta，可得 bsi nB =asi nA ,sin A sin B又由正弦定理 ，可得 b2二 a2,sin A sin B.可得 b 二 a ,三角形为等腰三角形.故选：A.2. （5 分）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯 底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，

8、正好看到“新年快乐”的字样，则在、处可依次写上（）【解答】解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为年, 故选：B.3.（ 5 分）已知 a =（2,4）.则与 a 垂直的单位向量的坐标是（）B 快、新、乐C.新、乐、快D 乐、快、新【解答】 解：a =（2,4），设与 2 垂直的单位向量为Ib =(x, y)；A 乐、新、快故选：D.A，若 ml，, m.l 根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理得到:-ll ；故A正确;对于B，若 m/n , ml，.、，根据线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理得到n：-;故B正确；对于 C，若 m/ / :, n - ” ，则 m

9、/n 异面或者相交；故 C 错误；对于D，若 m I，m -根据面面垂直的判定定理得到: _ -;故D正确；故选：C .5.（5 分）在 ABC 中，b =19 , c=20, B =60，那么这样的三角形有（）A . 0 个B . 1 个C. 2 个D. 3 个【解答】 解：在 ABC 中，b =19 , c=20 , B=60 ,.由余 弦定理 b2=a2c2-2accosB , 得：36 1 4 0 a2- 22 0CQS得 0：2a 20a 39 =0, （*） =202- 4 1 39 = 244 0 ,且两根之和、两根之积都为正数，方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边a满足

10、题中的条件.由此可得满足条件的，ABC 有两个解.故选：C .-16.（ 5 分）如图，正方形 ABCD 中，点E,F分别是 DC , BC 的中点，那么 EF =（）则 X2八12x 4y =0X25x5 解得5或I弱x=-L55弱，2.554.（ 5 分）已知m,n是两条不同的直线,-是两个不同平面，下列命题中错误的是m -，则鳥/:B .若 m / /n , m I，则 n 丨：C .若 mil】,:Q - =n，贝 U ml inD .若 m _ : - , m :，则=L ：【解答】解：对于.所求向量的坐标是或（第 6 页（共 14 页）【解答】解：因为点E是 CD 的中点，所以EC

11、ITB,2点得F是 BC 的中点，所以2 2所以 EF=EC CF 二1AB -1AD,2 2故选：D.【解答】解：设顶角为二，由余弦定理可得 36 =122122_2 12 12 cos ,7ic解得cos6,“，再由正弦定理可得:故选：B.&（5 分）某人朝正东方向走 xkm 后，向朝南偏西 60 的方向走 3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为（）A. 2 3 或 3B. 2.3C. 、3D. 3【解答】解:由题意，设从A地朝正东方向走 xkm 后到达B地，向朝南偏西 60 的方向走 3km ,B . -1A-1AD2 2C.-1AB27D2 2HID2 27.（ 5 分）已知等

12、腰三角形的底边长为6, 腰长为 12，则它的外接圆半径为（7 155B . 8J1C. 43D. 6 36sin V=2RDEC2 2到达 C 地，则由题意，在 ABC 中，AB =xkm , BC =3km , AC =：$3km , . ABC =30 ,由余弦定理得 3=9，x2-6x cos30 ,解得 x =2.3 或.3 .故选：A.9. （ 5 分）四面体 ABCD 中，AD = BC，且 AD _BC ,E、F分别是AB、CD 的中点，贝 U第 7 页（共14 页）2第13页（共 14 页）EF与 BC 所成的角为（）A . 30B . 45C. 60D. 90【解答】解：取

13、AC 的中点，连接EF,则：在四面体 ABCD 中，E、F分别是AB、CD 的中点，所以：EG/BC， FG/AD由于：AD =BC，且 AD _ BC，EG =FGAD =-BC2 2所以： .EFG 是等腰直角三角形.所以：EF与 BC 所成的角为.GEF =45活口,百，且 a _（a b），则 b 在 a 方向上的投影3 亦A. -3B.C. 32【解答】解：；a_（a）,故选：A.11. （ 5 分）将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（）C.为（）-b 在 a 方向上的投影|a|3【解答】 解：将正方体 ABCD ABQQ截去四个角后得到一个四面

14、体BDAC1,第14页（共 14 页）【解答】解：利用正弦定理：C=SinC=Sin3Bb sin B sin B_ sin2BcosB cos2 BsinBsin B=2cos2B 2cos2B -1 ,= 4cos2B1 ,由于：A B V =二，所以：A 47:,故：A -二-4B ,则：0：: B：-4所以4COS2B-1(1,3).设正方体边长为a,则 V_B AC =VA_ABD1 1a ：a3a6.四面体 BDACi的体积:V =V正方体4V32a3-4VB_BA C :3.这个四面体的体积是原正方体体积的C =3B，则C的取值范围为（b(3)2 2B. ( 2 , 3)C. (

15、1,.3)D. (1,3)故选：C .12. （5 分）在ABC 中,【解答】 解：将正方体 ABCD ABQQ截去四个角后得到一个四面体BDAC1,第15页（共 14 页）故选：D.、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.(5 分)已知向量 孑=(2x,7) , b=(6, x4)，当 x =_3或7_时，a/b【解答】解：向量 a =(2x,7) , b =(6,x 4),若 3/b，则 2x(x 4) _7 6 =0 ,化简得 x24x -21 =0 ,解得 x =3 或 x - _7 ;.x 二-7 或 x =4 时，a/b .故答案为：3 或_7 .14.(5 分)在 ABC

16、中，a =5 , b =7 , c =8DABC 的面积为 _ 10.32并222 “2【解答】解：由余弦定理得cosC=a b c 578则三角形的面积 S=】absinC =丄 5 7 =10一 3 .227故答案为：10 3 .15.（5 分）一个底面直径是 32cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没， 水面上升了 9cm 则这个球的表面积是 _ 576 二_ cm2.【解答】 解：在一个直径为 32cm 的圆柱形水桶中将一个球全部放入水里，水面升高9cm .2.球的体积为：16 二 9 =2264 二，设球的半径为 r，则 r3=2264 二，解得r =12,32 2.

17、球的表面积为： 4 二 r =576 二（cm ）.故答案为：576 愿 cm2.16.（5 分） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 1,延长BA至E， 使AE=1， 连接 EC、ED, 贝 U sin . CED=_.一 10 一【解答】 解：AE=1 ,正方形的边长为：1 ; . ED =寸 AE2* AD2= 2 ,EC = (EA AB)2CB2=扁,CD =1 ,第 10 页(共 14 页)2ab则 sinC第17页（共 14 页）2 2 2ED +EC -CD.cos.ZCED 二EDLEC故答案为：.10【解答】证明：AEJABJ(CB-CA) J(b -2),333-+ 2

18、*2 片ADAC b ,33所以DE二AE一AD=ia_ib -b =-(b a333318. (12 分)如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD _CD , AD =10 ,AB =14，也 BDA = 60 , BCD =135，求 BC 的长.【解答】解：在LABD中，设 BD 二 x，则 BA2=BD2AD22BDUAD_COSBDA,即 142=x2102-2j0 x_cos60，整理得：X2-10X-96=0.解之： 为-16 ,疋-七（舍去）.由正弦定理得：BCBDsin CDB sin BCD .BC二6-kin30 =8 2 .时0, sin NCED = Ji _cos2

19、cED =旦10 10三、解答题（每大题有 6 小题，共70 分)CD17.（ 10 分）如图所示，在 ABC 中，DA_ AEEB-，记 BT* 比 “，CA 二 b .求证：DE =l（b _a）.3sin135第18页（共 14 页）19. （12 分）AABC 的角A,B ,C 的对边分别为 a , b ,c,已知 asin A bsin B - csinC = asinB.（1）求角 C ；（2）若 a b =5，三角形的面积S.ABC 4，求 c 的值.原等式可转化为：a2 b2c2= ab，2 2 2a +bc 1 .cosCab 2*.*C 为三角形内角，.ab =6，C1co

20、sC =2.由余弦定理得：C2二 a2b2-2abiosC =（a b）2-3ab =25 -18 =7,解得：c 屯 7.20. （12 分）如图，已知四棱锥的底面是边长为 4cm 的正方形，E为 BC 的中点，高为 PO ,OPE =30，且侧棱长都相等，求该四校锥的侧面积与表面积.AB【解答】解：由题意可知，PB =PC , TE为 BC 的中点，.PE_BC . 又PO 为棱锥的高，.PO ,PE,OE 组成 RLPOE，乙POE =90 , 又.OPE =30 , OE =2cm , PE =OE=4cm.sin30 该四棱锥各侧棱长都相等，且底面为正方形，侧面积 S =1BC PE

21、 4=32(cm2).22.S表 = %S底=32 16 = 48 cm.【解答】解：（1）根据正弦定理a b csin Asin BsinC（2）S ABC4absi nc1ab23;3V，D第 13 页(共 14 页)即该四校锥的侧面积是 32cm2，表面积是 48cm2.AB21. (12 分)在ABC 中，内角A,B, C 对边的边长分别是a, b ,c,已知 c =2 , C 二二.3(I)若 AABC 的面积等于 .3，求a, b ;(H)若 sinC sin(B_A)=2sin2A,求. ABC 的面积.【解答】解：(I) ；c=2,C,c2=a2b2ab cosC32 2.a bab=4 ,又VABC 的面积等于.、3 ,1 _.-absinC = .3 ,2.ab =4f 22联立方程组a b _ab =4，解得 a =2 , b=20b =4(n)：si nC 亠 si n(B - A) =si n(B 亠 A)亠 si n(B - A) =2s in 2A =4s in A cos A,.sin B cos A = 2s in A cos A当 cosA =0 时，A , B ,=，求得此时 S = 2 * 326333当 cos A 尸 0 时，得 sin B = 2sin A，由正弦定理得 b = 2a ,a2b2-a