2019高考数学考点突破——立体几何初步：直线、平面平行的判定及其性质学案

1、直线、平面平行的判定及其性质【考点梳理】1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形匕u/ /IIzEO条件aA a =?a?a ,b?a ,a/ba/ a4 fa/ a ,a?B , a A B=bc 结论a/ ab/ aaA a =?7、p rXa/b2 面面平行的判定与性质判定性质 定义定理图形z/_ k/W /IzC71 /A /*/7条件a A B =?、a? B ,b? B ,1- - -aAb=P,a/ a ,b/ aa / B , a AY=a,B AY=ba / B ,a?B ,结论么z/匕a / Ba / Ba/ba/ a3.与垂直相关的平行的判定(1)a丄a,b丄a

2、?a/b.(2)a丄a ,a丄B?a /B.【考点突破】考点一、与线、面平行相关命题真假的判断【例 1】已知m n是两条不同的直线，a,B,丫是三个不同的平面，则下列命题中正 确的是( )A.ma,门/久贝m nB.m/n,ma，贝Un/aC.mX a , mX B ,V a / BD.a丄Y , B丄Y，V a/ B2答案C解析A 中，m与n平行、相交或异面， A 不正确；B 中，n/a或n?a, B 不正确; 根据线面垂直的性质， C 正确；D 中，a/3或a与B相交于一条直线，D 错误【类题通法】1 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是

3、含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或 排除，再逐步判断其余选项.2. (1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备， 图形是否有特殊情形， 通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【对点训练】n表示不同的直线，a,3表示不同的平面，则下列结论中正确的是答案D考点二、直线与平面平行的判定与性质【例 2】如图，四棱锥P ABCD中,PA!底面ABCD AD/ BC, AB= AD= AC=3,PA= BC=4,M为线段AD上一点，AM=2MD N为PC的中点证明：MN/平面PAB(2)求四面体N- BCM勺体积.A.ma,

4、m/n,贝Un/aB.m?a,n?3,m/ 3,n/a,贝UC.3,贝U rr/ nD.m n?3,贝U,m/n,贝Un/a或n?n?3, m/3,n/a,贝U a与3相交或平行，故 B 错误.在 C 中，若 /3,贝UmWn相交、平行或异面，故C 错误.在 D 中，若a/3, m/则由线面平行的判定定理得n/3,故 D 正确.解析在 A 中，若m/ aa，故 A 错误.在 B 中，若a丄3 ,ma ,na ,n/m n?3 ,3解析由已知得AM=2AD=2.3如图，取BP的中点T,连接AT, TN1 由N为PC中点知TN/ BC TN=qBO2.又AD/ BC故TN綉AM所以四边形AMN为平

5、行四边形，于是MIN/ AT因为AT?平面PAB MN平面PAB所以M/平面PAB因为PAL平面ABCD N为PC的中点，1所以N到平面ABC啲距离为 qPA如图，取BC的中点E,连接AE由AB= AC=3 得AELBC AE= . ABBE=5.1由AM/ BC得M到BC的距离为，5,故 &BCZ寸4X5= 2 5.所以四面体N- BCM勺体积VNBC=【类题通法】1 判断或证明线面平行的常用方法有：(1) 利用反证法(线面平行的定义)；(2) 利用线面平行的判定定理(a?a,b?a,a/b?a/a)；(3) 利用面面平行的性质定理(a/B,a?a?a/3);利用面面平行的性质(a/3,a?

6、3,a/a?a/3) 2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角 形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【对点训练】如图，四棱锥F-ABC中，底面ABC助矩形，PAL平面ABCD E为PD的中点.(1) 证明：PB/平面AEC(2) 设AP=1,AD= ,3，三棱锥RABD勺体积V=，求A到平面PBC的距离.4解析设BD与AC的交点为0,连接E05因为四边形ABC国矩形, 所以0为BD的中点， 又E为PD的中点，解析/G H分别是AiBi,AC的中点, 6是厶ABC的中位线，GIH/ BCi.又BC/BCGIH/ BCB, C, H, G四点共

7、面.所以EO/ PB因为E0?平面AEC PB?平面AEC所以PB/平面AEC又V=#可得AB=|.作AHL PB交PB于点H由题设知BC丄平面PAB所以BCLAH故AHL平面PBC在 RtPAB中，由勾股定理可得PB= J3,所以AHh PA-AB_2PB13所以A到平面PBC勺距离为 111.考点三、平面与平面平行的判定与性质【例 3】如图所示，在三棱柱ABGABC中，E,F,G H分别是AB ACABi,AC的中点，求证:(1)B, C, H, G四点共面；平面EFA/平面BCHG由V=1PA- AB- AD=/lL16在厶ABC中,E, F分别为AB, AC的中点， EF/ BC/ E

8、F?平面BCHG BC?平面BCHGEF/平面BCHG AG綊EB四边形AiEBG是平行四边形，贝UAE/ GB/ AE?平面BCHG G平面BCHGAE/平面BCHG/ A EQEF=E,平面EFA/平面BCHG【变式 1】在本例条件下，若点D为BC的中点，求证：HD/平面ABBA解析如图所示，连接HD AB,/ D为BC的中点，H为AC的中点，HD/ AB又HD?平面ABBAAB?平面ABBAHD/平面ABBA【变式 2】在本例中，若将条件“E, F,G H分别是AB AC AB,A C的中点”D分别为BC,BC的中点”，求证：平面AiBD/平面ACD.解析如图所示,连接AC交AC于点M四

9、边形AACC是平行四边形，M是AiC的中点，连接MD/ D为BC的中点，AB/ DMTAB?平面AiBD,DM平面ABD,DM/ 平面ABD,又由三棱柱的性质知，D C綉BD,四边形BDCD为平行四边形，变为“D,7 DG/ BD.又DC?平面ABD,BD?平面ABD,DG/平面ABD,又DGQDM= D, DG, DIM平面AGD,因此平面ABD/平面AGD.【变式 3】在本例中，若将条件“E, F,G H分别是AB AG A1B1,AG的中点”变为“点ADAD D分别是AG AQ上的点,且平面BGD/平面ABD”，试求D的值.解析连接AB交AB于0,连接0D由平面BGD/平面ABD，且平面

10、A1BGQ平面BGD BG,平面ABGQ平面ABD=DiO,(1)面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行的性质定理的作用:(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、 线面、面面平行的相互转化是解决与平行 有关的问题的指导思想解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.AiDAi0所以BG/DO,则DGA1D DG又由题设北=AD0B=1.DG加AD A -AC=1即D(=1.【类题通法】1判定面面平行的主要方法:DiAnCi8性质定理f判定定理判定定理线尹行曬 E 线面平行盂青警平行判定定理9【对点训练】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F,G H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论 解析(1)点F，G H的位置如图所示平面BEG