导数与函数的单调性练习题

1、导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数«)=竺匚在区间(-2, +8)上为增函数，那么实数a的取值范围为()x + 21 r, 1 1<a<v-1 或 a>>>-2222答案：c 解析：«)”+二在(2+8)递增，,1.2a<0,即A x + 222 .己知函数/(x)=K + 2x+Hnx,若函数/(x)在。1)上单调，则实数。的取值范围是()A. a>0 B. a<4 C.或。4-4 D. 。>0 或4答案：C解析：/(x) = 2x+2+* /(x)在(0,1)上单调，./(x)20或八x)W0在。1)上恒 A成立

2、，即2x24-2x+a>0或2x2+2x+q0在。1)上恒成立，所以建一(2犬+ 2%)或a< (2x2 +2x)在(0,1)上恒成立.记 g(x) = (2x2 + 2x),0<x<l可知一4<g(x)<0, /. a>0 或 a<4,故 选C.93 .函数/W=x+7的单调区间为.9 x2 9 答案：(一3,0), (0,3) 解析：f(x) = l 一 乒=一1，令f(x)<0,解得一3cx<0 或 0<x<3,故单调减区间为(一 3,0)和(0,3).4函数丁 =/一炉的单调增区间为 单调减区间为2?.?答案：(0

3、, 一) ：(°°,。),(7，+°°)解析：, = -3.1+ 2x = 0,x = 0,或(=5.确定下列函数的单调区间:(1)%/-9必+24、(2)y=3x-x3(1)解：/=(x3-9x2+24x)/=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4)令 3(x-2)(x-4)>0,解得 x>4 或 x<2./.y=x39x2+24x 的单调增区间是(4, +8)和(一8, 2)令 3(x-2乂x4)<0,解得 2VxV4.，%39X+24x的单调减区间是(2, 4)(2)解：/=(3x-x3)#=3 -3= - 3(x2-1

4、)= - 3(x+l)(x-1)令一3(x+l乂x-l)>0,解得一lVx<L，片3x-x3的单调增区间是(一1, 1).令-3(x+D(x-l)V0,解得 x>l 或 xV-L，片3*/的单调减区间是(一8, - 1)和(1, +8)6 .函数y=ln一*一2)的单调递减区间为.答案( - 8, -1)解析函数，=姑(公-X-2)的定义域为(2, +8)U( 8, -1),令/(x)=x2x2, f(x)=2x-l<0,得x<p函数y=ln(x2x-2)的单调减区间为(一g, -1)7 .已知y=$ + bx2 + (b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范

5、围为.答案bv 1 或b>2解析若 y'=x2+2bx+b + 220 恒成立，则 A=4b2-4(b+2)W0,/. -l<b<2,由题意 bV l 或 b>2.8 .已知 x£R,求证：exx+l.证明:设f (x)二e”一x1,则(x) =e*1.I二当 x=0 时，f (X)=0,/ (x) =0.当 x>0 时，f (X)>0,?./ (x)在(0,+8)上是增函数.：.f (x) >/ (0) =0.当 x<0 时，f (X)<OJ (x)在(一8,0)上是减函数，A/ (x) >/ (0) =0.9 .

6、已知函数片x+L,试讨论出此函数的单调区间.X甑，/ I 4 1 -2 /T (1 + 1)(无一1) (x + l)(x-l)解：y =(x+ ) =1 - 1 x 2=-=； 令；>0. 解得 xX尸厂厂>1或xV-L,片X+L的单调增区间;是(一8, 1)和(1, +8).令Z + DC1 D <0,解得X厂-l<x<0 或 0VxeL ，y=x+L 的单调减区间是(一 1, 0)和(0, 1)X10 .己知函数/(X)=第'+CX + 4的图象过点P (0, 2),且在点M (1, / ( 1) 处的切线方程为6x-y + 7 = 0.( I)求函

7、数y=f(x)的解析式；(H)求函数y=f(x)的单调区 间.解：(I )由f(x)的图象经过P (0, 2),知d=2,所以 f (x) = a5 +bx2 + ex+ 2,/'(") = 3x2 + 2bx + c.由在M(-l,f(l)处的切线方程是6人=y + 7 = 0,知一6-/(- 1) + 7 = 0,即- 1) = 1,r(一1) = 6.(3-2Z? + c = 6,.qj (2/?-c = -3,+ %-c + 2 = L -c = 0, 解得 b = c = -3.故所求的解析式是f(x) = x5-3x2-3x +2.(II ) f r(A"

8、;) = 3.V* - 6a' - 3.令3厂-6.t-3 = 0,即x2-2xT = 0,解得内=1 +、5当；v < 1 -如> 1 +6时，/(外> 0;当 1 -< x < 1 + &时/ < 0.故/(幻在(HCJ&)内是增函数，在(1-也,1 +四)内是减函数，在(1 + &伸)内是增函数. 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.11 .已知函数f(X)=x3-gx2+bx+C.若f(X)在(-8, +8)上是增函数，求b的取值范围；解(1) r(x)=3x2-x

9、+b,因 f(x)在(-,+8)上是增函数,则 r(x)20.即 3x'x+b也二 b?x-3x、在(-8, +8)恒成立,设 g(x)=x-3x2.当 x=!时,g(x)max=7,. b2M6121212 .已知函数f(x)=x(x-l)(x-a)在(2, +a上是增函数，试确定实数a的取值范围.解 f(x)=x(x-l)(x-a)=x3-(a+l)x2+ax f(x) =3x2-2(a+l)x+a 要使函数 f(x)=x(x-l"x-a)在(2,+)上是增函数,只需 r(x)=3x22(a+l)x+a 在(2,+8)上满足“# 20 即可./(.r) =3x2-2(a+

10、l)x+a的对称轴是x=三,.a的取值应满足：丁2或3解得水)；a的取值范围是处土广加八彳)2033213 .已知函数/(X)=4x + 4%2yx3(xtR)在区间_,上是增函数，求实数”的取值 范围.解：f (x) = 4+ 2a.x-2x2,因为/(x)在区间上是增函数，所以/ (x)N0对 工句一1,1恒成立，即小一这一2Ko对工式一1,1恒成立，解之得： 所以实数的取值范围为一1,1.点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调 性关系：即“若函数单调递增，则/'(x)N0；若函数单调递减，则/'(x)K0”来求解，注 意此时公式中的等

11、号不能省略，否则漏解.14 .已知函数f(x) = x3 + bx2 + ax + d的图象过点P (0, 2),且在点M ( -1, /(-I)处 的切线方程6x y + 7=0, (1)求函数)，= /(x)的解析式；(2)求函数y = /(x)的单调 区间。解：(1)由/'(X)的图象经过P (0, 2),知1 = 2，所以/*) = /+cx + 2 , fr(x) = 3x2 +2bx + c 由在点 M (-1,/(-1)处的切线方程为6x y + 7 = 03 2Z? + c = 6 /(-1) = 1,/"(-1) = 6 即 J解得。=，= 3-l + Z?

12、-c + 2 = l故所求的解析式是/(X)= / 一 3/ - 3x + 2(2) f'M = 3x2 -6x-3 令 3/-6工一3 = 0,解得$ 一 1 一% = 1 +当 xvl uQ 或 x>l +直时，fx) > 0当 1一血 vxvl +尤时，fx)<0故/(x) = / _3/ + 2在(8,1 &)内是增函数，在(1 亚,1 + J5)内是减函数在(1 +J2,+s)内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题 的能力.2x b15 .已知函数/(x)=7F，求导函数r(M，并确定/(x)的单调

13、区间.2(x-l)2-(2x-b)-2(x-l)解析：/ W=6T=-2x+2b-22.一9_1)(x-1)3=(x-1)3令广(*) = 0,得乂=6 1且/1.当b - lVl,即bV2时，/(x)的变化情况如下表：X( - 8, fo 1)b 1di)(1, +8)f'M0+当6 即b>2时，/(x)的变化情况如下表:X（一 8，1）（1，I）b 1（b1, +°O）f'M+0所以，当bV2时，函数/(x)在(一8, b-l)上单调递减，在(b1)上单调递增，在(1, + )上单调递减.当b>2时，函数/(X)在(-8, 1)上单调递减，在(1, 6

14、 1)上单调递增，在(61, +-) 上单调递减.2当b1 = 1,即b=2时，/(x)=,所以函数Ax)在(-8, 1)上单调递减，在(1, +-) 人 JL上单调递减.强化提高题：16 .设/(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x), 1(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f(x)g(x) +/(x)g'(x)<0,则当 a<x<b 时，有( )A. f(x)g(b)>f(b)g(x)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)J c f(x)g(x)>f(b)g(b)D. f(x)g(x)>f(b)g(a)答案：C 解析:令 y=

15、/W,g(x),则Mg(x)+/(MMx),由于八x)g(x)+/(x)g，(x)<o,所 以y在R上单调递减，又x<b,故/(x)g(x)>/(b)g(b).17 .若函数y=x3 - ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是.答案3, +«= 乂解析/ = 3x答案：>0,且23砒 解析：f (x) = 3ax2 + 2bx + c>0恒成立，则a>0-,A = 4-12acv0 421.若函数尸一 ±x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是.-2ax,由题意知3x2 - 2ax<0在区间(0,2)内恒成立，3即

16、a>/x在区间。2)上恒成立，a>3.18 .已知函数f(x) = ax-nx,若/(x)>l在区间(1,+8)内恒成立，实数°的取值范围为答案应1解析由己知在区间(1, +8)内恒成立.设gw)？"，,则gz(x)=曾<0 (x>l)» /. g(x)=1在区间(1，+8)内单调递减, AAA1 + lnx/I.,.g（x）Vg，/ g=1， /. <1在区间（1，+8）内恒成立， /. a>l.19.函数y=x2e *的单调递增区间是.答案：(0,2)解析：/=(2x-x2)e x>0<0<x<

17、2,故选填(0,2).20 若/(x) = ax答案：b>0 解析：yl = -4x2+bt若/值有正、有负，则b>0.22.定义在R上的奇函数f(x)在同-b 3b>0)上是减函数且f(-b)X),判断F (x) = f(x) 2在 b,a上的单调性并证明你的结论. + bx2 +cx + d(a > 0)在R增函数，则a,b,c的关系式为是解析：设bWxiwWa,则-b，-xi>X22-a.1 f(x)在-a,-b上是减函数,，0<可上)/(%)<耳*2)&(-瑞门但是奇函数,，0<仅)<仅)， 则 f(X2)<f(Xi)

18、<0, f(xi)j 2< f(X2) 2,即 F(X1)<F(X2).，F(x)在b,a上为增函数.23 .设函数/(x)=x3 - 3ax2 + 3bx的图象与直线12x+y -1 = 0相切于点(1, 11).(1)求a、b的值；(2)讨论函数#x)的单调性.解析求导得f(x) = 3K - 6ax+3b.由于/(X)的图象与直线12x+y 1=0相切于点(1, -11),所以/(1) = - 11,八1)= 一 12,1-3。+3b= - 11即1.3 - 6。+3b = - 12解得 q=1, b= 3.由 a=l, b=-3 得/(x) = 3x2-6ax+3b=

19、3(*-2x-3) = 3(x+l)(x-3).令f(x)>0,解得 *<一或 x>3：又令f(x)<0,解得一l<x<3.所以当 xS( 8, 一i)时，/(x) 是增函数：当x£(3, +-)时，/(x)也是增函数：当x£(-l,3)时，/(x)是减函数.24 .若函数/(x) = +3+3-1)工+ 1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+oo) 上为增函数，试求实数。的取值范围.解：f'W = x2-ax + a- =(x-l)x-(«-l),令广")= 0得x=l 或x = a-l,，当 xw (

20、1,4)时，f(x) < 0,当 xe(6,+8)时,f(x) > 0,/. 4<«-1 <6 ,5<a <7 .25 .设函数f(x):x+j(a>0),求函数在(0, +8)上的单调区间，并证明之；(2)若函数f(x) x在a-2,+8上递增，求a的取值范围.解析：(1) f(x)在0+8)上的增区间为，7,+8，减区间为(0, ya ).证明：(x)=l-二，当 x£ &,+8时，厂J (x)>0,当 x£ (0,右)时，f(x)<0.即f(x)在乂7+8上单调递增，在(0, & )上单调

21、递减.(或者用定义证)(2)a-2,+8为面，+8的子区间，所以 a-22& =>a-&-2,0=>(+1)( &-2) 20=>&-2>0=>a24.26.已知函数y=ox与卜=一；在(0, +-)上都是减函数，试确定函数"=以3+分2+5的单 A调区间.解析：可先由函数y=ax与v=-：的单调性确定。、b的取值范围，再根据。、b的 取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.解函数y=ax与在(0, +)上都是减函数，b<0. A由 y=ax3+bx2 + S 得 y,=3axz+2bx.2b 令y'

22、>0，得3次 + 2队>0,一五<x<0.当代(一5 0)时，函数为增函数.令 /<0> 即 BaW + ZbxVO,2bx< ,或 x>0.,.在(一8，一第，(0，+8)上时，函数为减函数.27设”>0,/(x) =仁+=是R上的偶函数，(1)求。的值；(2)证明/(外在(0, +8)一.*上是增函数。aex解：(1)依题意，对一切X£R，有/(一幻=/(幻，即 J + a e即(a 一 1)(/一二)=0 ,所以对一切 x £ R, & -1)(" 一二)=0 恒成立 a ea e由于L不恒为o,

23、所以。一_1 = 0,即/=1,又因为。>0,所以。=1 exa(2)证明：由/(x) = F+e,得/(幻=/一6-'=6-'(/"-1)当 xe(0,+s)时，有 67(/'-1)>0,此时/'(x)>0 ,所以/(x)在(0, +8)内是增函数28.求证：方程¥品似=0只有一个根x=0.证明设/(x)=x$inx, xe(-8,+8),1则/(x) = l-5cosx>0./(X)在(- 8, +=)上是单调递增函数.而当 x=0 时，f(x)=O,1方程x-sinx=0有唯一的根x=0.29 已知"(

24、乂)=犬+6且/ /(x) JZ+l)(l)iS g(x)=f,兼 g(x)的解析式:(2)设力(x)=g(x) 试问：是否存在实数L使。(x)在(-8,一 1)内为减函数，且在 (一 1，0)内是增函数.解：(1)由题意得/(X) =/+0=俨+。2+。加2+1)=丫+1)2+/了 0) =/俨+1)/. (x2+c)2+c=(x2+l)2+c/. X2+C=X2+1/.C=1/(x)=x2+l,g(x)=f /(x) MW+1)=(K+1)2+1(2) 0(x)=g(x)一4/(、)=八(2- *+(2一4)若满足条件的人存在，则(x)=4x3+2(2- A)x;函数0(x)在(一8, 1

25、)上是减函数，当 x<-l 时，(x)<0l 4x3+2(2)x<0 对于 x£( 8,一1)恒成立/.2(2- 4)>-4x2,Vx<-lz/.-4x2<-4/«2(2 4)24,解得又函数0(x)在(一1,0)上是增函数，当一IVxVO 时，力'(x)>0RP 4x2+2(2- 2)x>0 对于( 1,0)恒成立,2(2 /l)<4X2,V-l<x<0/. -4<4<0/.2(2 X)W4,解得久 24故当4二4时，力(x)在(一8,- 1)上是减函数，在(一 1,0)上是增函数，即满

26、足条件的久存在.课外延伸题：30 .方程必一3x+c=0在0, 1上至多有 个实数根答案：1 解析.设/(X)=4 3x+c,则尸(x) =3x23=3(/一 1).当x£ (0, 1)时，/(x) <0恒成立.：.f (x)在(0, 1)上单调递减././(X)的图象与X轴最多有一个交点.因此方程X3 3x+c=0在0, 1)上至多有一实根.31 .若函数/(x)=x3-3x+q有三个不同的零点，则实数。的取值范围是答案：-2<0<2 解析：f(x) = 3x2 3 = 3(x+ l)(x1).令f(x)=O,得 x= 1 或 x=L/(x)在(一8, 1)和(1

27、, +8)上递增，在(一1,1)上递减，J/(-D>o V(D<032 .(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为0, 1的函数f(x)同时满足：对于任意的 x 0, 1,总有耳x)20;f=1;若 xGOpqNOm+XzWL则有 f(Xi+X2)2f(xJ+f(X2).求 f(0) 的值：(2)求f(x)的最大值.解析：对于条件，令x】=X2=0得f(O)WO,又由条件知f(0)20,故f(0)=0.(2)设 OWxkxzWI,则 x2-xiG(0z1),/.f(x2)-f(x1)=f (Xz-xJ+Xi -f(x1)=f(x2-x1)+f(xj-f(xj=f(X2-X1)

28、20.即f(X2)>f(xJ故f(x)在0, 1上是单调递增,从而f(x)的最大值是f=1.YH33 .已知函数f(x)=(-1-(-1)2的定义域为m,n)且lWm<nW2,讨论函数f(x)的单调性: mx(2)证明:对任意XT、X26不等式|f(xi)-f(x2)|l恒成立.2x 2n +2, m x2x 2n22 22nr yfinn ).X- m x1 nrx2- (x4-m2n2-mx3+m2nx)= -(x2-mx+mn)(x+ yfrnn )(x-m2x5x11 广 11x nr(1)解析：解法一：«)=(- -1)2+ (1)2= + _2lWmWx<

29、;nW2,；一r >0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0/x+V/wT >0. m x令 f' (x)=0,得 x= y/mn ,当 x£ m, J?时，ff (x)<0;i当 x£ ymn , n时，f , (x)>0.，f(x)在m,而7 内为减函数，在而示，n)为内增函数.解法二：由题设可得如(土 + %)2伫4 m X ma a n令t= 十 .m xVlm<n2,K xG m,n z+>2.in x V m令 t' =-1=0,得*=）.in 厂当x£ m,J嬴<0;当x£

30、（、厢7,n）时，t' >0.，?）十己在m, J嬴内是减 m x函数，在疝7 , n内是增函数.:函数y=（t-l）2-"+1在1, +8上是增函数，工函数 mf（x）在m, ymn 内是减函数，在而, n内是增函数.-IE最大值为（2）证明：由（1）可知，f（x）在m,n上的最小值为H 屈）=2（-1,令对任意 Xi> x2e m,n ,|f(xi)-f(x2)| <( - -l)2-2( - -1)2=( )2-4 +4jh(u)=u4-4i|2+4u-L1< 2,即 l<u W 41 . V hm(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u-Ml、,后+1）（u+)>0,小何）在（1八行）上是增函数.，h（u）Wh（72 ）=4-8+4V12-1=4V'2-5<1.，不等式|f（x>f（X2）|vl恒成立.高考链接题：34.(2009广东文，8)函数f(x) = (x-3)即的单调递增区间是()