等差数列的前n项和(一)

1、2.2等差数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等差数列前 n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体会数形 结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思3熟练掌握等差数列的五个量ai, d, n, an, Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.=知识梳理自主学习知识点一数列前n项和的概念把 ai +a2+ + an 叫数列an的前 n 项和，记做 Sn. ai + a2+ a3 + an-1 = S二i(n> 2).思考 由Sn与Sn-1的表达式可以得出Sn-Sn 1n>2an =.S1 n= 1知识点二等差数列前n项和公式、推导和认识, _ _ ,一

2、,一, n a+ an1 .公式：若an是等差数列，则 Sn可以用首项a1和末项an表本为Sn=-2一.2 .若首项为a1,公差为d,1则&可以表本为 Sn= na1 +2n(n 1)d.3 .推导：(方法：倒序相加法)过程：Sn= a1 + a2+ an,Sn= an+ an-1 + + a1,a + an= a2+an-1 =二 an+a1, 2Sn= n(a1+ an),.c n a+ an Sn =2.4 .从函数角度认识等差数列的前n项和公式(1)公式的变形 n n1 d d 9 d Sn=na1+2=2“ + (a12)n.(2)从函数角度认识公式当dw0时，Sn是项数n的

3、二次函数，且不含常数项；当d=0时，Sn=na1，不是项数n的二次函数.(3)结论及其应用已知数列an的前n项和Sn = An2+Bn+C,若C=0,则数列an为等差数列；若CW0,则数列an不是等差数列.思考 等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6, ai = 4,则公差d等于()1A . 2B. 23C. 1D. 3答案 A解析 Ss= ai + a2+ a3= 3a2= 6,a2 = 2,又 ai = 4,d= 一 2.知识点三等差数列前n项和的性质1,若数列an是公差为d的等差数列，则数列Sn也是等差数列，且公差为：.2 .若Sm, S2m, S3m分别为an的前 m项，前2m项，前

4、3m项的和，则 Sm, S2m-Sm, S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.3 .设两个等差数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,则詈=!2n二. bn I 2n 14 .若等差数列的项数为2n,则S2n= n(an + an+1),S禺 an+1S偶一 $奇=门,=.S奇an5 .若等差数列的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)an+1,S nS偶一S奇一一an+1, . .S奇 n+ 1思考 等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是.答案 210解析 设an的前3m项和是S,Sm, S2m-Sm, S3mS2m 分别为 30,70, S- 10

5、0.由性质知30,70, S100成等差数列.-2X 70=30+(S-100),.S= 210.题型探究重点隽破题型一与等差数列Sn有关的基本量的计算例1在等差数列an中.ai = ，, an= Sn=5,求 n 和 d.62(2)ai = 4, S8= 172,求 a8和 d.5 3 n ai + an (6- 2)解 (1)由题意得，Sn=2=2 = 5,解得 n=15.又 a15 =(15 1)d = - d = u626. . n = 15, d=-6.8 a1 + a88 4 + a8(2)由已知得 S8=2-=-2=172,解得a8=39,又,: a8=4+(8 1)d=39,

6、，d=5.-a8=39, d=5.反思与感悟a1, d, n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1, d, n, an, Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.跟踪训练1在等差数列an中；(1)已知 a6=10, S5=5,求 a8和 So;(2)已知 a3+a15=40,求 S17.-5X4. _Ss= 5a 1 + d d= 5,解(1)2解得 a1=- 5, d = 3.a6 = a1 + 5d = 10,.a8=a6+ 2d= 10+2X 3=16,C “10X9,“，一 L C C C

7、L810= 10a+ 2 d=10X (5)+ 5X 9X 3=85.17X a1 + a1717X a3+a1517x40(2)817=2=2=2=340.题型二等差数列前n项和性质的应用例2 (1)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2=3, a6=11,则87等于()A. 13 B. 35 C. 49 D. 63(2)等差数列an与bn的前n项和分别是Sn和Tn,已知Sn=n7，则髀A. 7 B.3 C.10 D.21 3134(3)已知数列an的通项公式为 an=2n+1(n N*),其前n项和为Sn,则数列Sn的前10项的和为答案(1)C (2)D (3)75解析a5(2)十a1

8、+ a92S9 7X9 21b1 + b9 T9 9+ 34-2-7,、 7,、 7_S7= 2(ai+ a7) =2但2 + a6) = 2(3 + 11)= 49.n 3+ 2n+ 1(3) Sn=2= n(n + 2).S"= n+2,数列Sn是以首项为3,公差为1的等差数列,Sn ， 一 一10X 9 . _，、的刖 10 项和为 10X3+ 2X 1 = 75.反思与感悟等差数列前n项和运算的几种思维方法n a+ an(1)整体思路：利用公式 Sn=2，设法求出整体 a1+an,再代入求解.(2)待定系数法：利用 Sn是关于n的二次函数，设 3=An2+Bn(Aw0),列出

9、方程组求出 A,Sn SnB即可，或利用是关于n的一次函数，设 =an+b(aw0)进行计算.(3)利用Sn,跟踪训练2S2n S, S3nS2n成等差数列进行求解.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()45 C. 36 D.27答案 B解析 由an是等差数列，得S3, S6-S3, S9S6 为等差数列，即2(S6-S3)= S3+(S9-S5),得到 S9-S6=2S6-3S3 = 45,即 a7+a8+a9=45.(2)已知两个等差数列an与bn的前n(n>1)项和分别是 &和Tn,且Sn ： Tn=(2n+1) ： (3n-,、

10、a9 入2),求广的值./b9ai + ai7,-X 17解方法a9 2a9 ai+a"2S17b9 2b9 bi+bi7 bi + bi7T17x i722XI7+I 35 5=-=二3XI72 49 7方法二.数列an, bn均为等差数列，.Sn= Ain2+Bin, Tn=A2n2+B2n.Sn 2n + i又干=,1n 3n-2，令 Sn=tn(2n+ i),Tn = tn(3n-2), tw 0,且 tC R. an = Sn Sn i= tn(2n + i)-t(n- i)(2n 2+ i)= tn(2n + i)-t(n- i)(2n i)= t(4n-i)(n>

11、2), bn=Tn Tn i= tn(3n-2)-t(n- i)(3n 5)= t(6n-5)(n>2).an t 4n一 i 4n 一 i :.bn t 6n 5 6n5a9_4X9i 35 56X9 5 =49 = 7.题型三等差数列前n项和公式在实际中的应用例3在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有 9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？解(1)设从第1圈到第

12、9圈石板数所成数列为an,由题意可知an是等差数列，其中 ai = 9, d=9, n= 9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板a9=ai + (9 1加=9+(91)*9=81(块).(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈一共有石板9919x8S9= 9a 1 + 2d= 9X9 + 2-x 9= 405(块).答 第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板.反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.跟踪训练3植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自

13、树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为 米.答案 2 000解析 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程都组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为9X810X9S= 9X20 + -2-X 20+ 10X 20+2 X 20=2 000 米.自夸自纠-当堂检测1.在等差数列an中，S10= 120,那么a1+a10的值是（）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48答案 B10 ai + aio解析Sio=2= 5(ai + aio

14、) = 120, ai + aio = 24.2.已知数列an中，a3+a2+2a3a8=9,且 an<0,则 Sio等于()A. iB. iiC. - I3D. I5答案 D解析易知(a3+ a8)2= 9., an<0,a3+ a8= 3.I0 ai + aio I0 a3+ a8 Sio =2=2= i5.3.等差数列an的前四项之和为I24,后四项之和为I56,各项和为2io,则此数列的项数为()A. 5 B. 6 C. 7 D. 8答案 B解析由题意知 ai + a2+a3 + a4 = i24,an+ an1 + an2+ an3 = I56,-4(ai + an) = 28o,ai + an= 7o.n ai + an n又$= -2=2X7o = 2io, ."=6.4.已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若ai+a2=3, S5=io,则a9的值是答案 2。解析 设等差数列an公差为d,由题意可得：ai+ ( ai+d) 2=- 3,_ 4a 5X4解得/ c5ai+ 2 d= io，d = 3,则 a9=ai + 8d=-4+8X3= 2o.答案 30 603解析:2100= 203,101X100S= 203 X 101 + 2X 2= 30 603.课堂小结11 .求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些