向量代数与空间解析几何知识题详解

1、第六章向量代数与空间解析几何习题 6 31、已知A(1,2,3), B(2, 1,4),求线段 AB的垂直平分面的方程.解：设M (x,y,z)是所求平面上任一点，据题意有|MA| | MB |,1T2222-2-2x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 4 ,化简得所求方程2x 6y 2z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程而不在此 平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程2、 一动点移动时，与 A(4,0,0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程解：设在给定的坐标系下，动点M (x, y, z),所求的轨迹为C ,则 !M(x,y,z) CMA|

2、 |z 亦即 v(x 4)22一-xyz2gx2hy2kzl 0 y2z2z (x 4)2y20从而所求的轨迹方程为(x 4)2 y20.3、求下列各球面的方程：(1)圆心(2, 1,3),半径为R 6;(2)圆心在原点，且经过点 (6, 2,3);(3)一条直径的两端点是(2 3,5)与(4,1, 3); (4)通过原点与(4,0,0), (1,3,0),(Q0, 4)22_ 2 一解：(1 )所求的球面方程为：(x 2) (y 1) (z 3)36(2)由已知，半径R62 ( 2)2 32222_7,所以球面方程为x y z 49(3) 24由已知，球面的球心坐标 a 23,bd 5 31

3、,c T后,所以球面方程为:1222球的半径 R 24(4 2)2(1 3)2(5 3)2_ 222 一(4)设所求的球面方程为:(x 3) (y 1) (z 1)2116 8g因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0), (1,3,0), (0,0, 4),所以10 2g16 8k0r解之得6h 00所求的球面方程为 x2 y2 z2 4x 2y 4z 0.4、将yOz坐标面上的抛物线 y22z绕z旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.22解：x y 2z（旋转抛物面）.22X Z5、将zOx坐标面上的双曲线J £2 1分别绕X轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转 a c曲面的方程.2

4、22“ x x y z解：绕x轴旋转得2 1 a c222绕z轴旋转得x 2yJ 1 .ac面;6、指出下列曲面的名称，并作图:22x z .222(1)一1 ； (2) y 2z ；(3) x z 4921 ； (4) xy2 z2 2x 0 ；22222. 2. 2.x y.(5) y x z ； (6) 4x 4y z 1； (7)z 1;9162 z解:222xyz， 、2221 ； (9) 一工一 1 ; (10) 2x 2y 1 3z .433椭圆柱面；（2）抛物柱面；（3）圆柱面；（4）球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（1

5、0）单叶双曲面7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（Dy x 1; （2） x2 y24 ； （3） x2 y2 1 ；（4） x2 2y .解：（1） y x 1在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；22(2) x y4在平面解析几何中表不圆周，在空间解析几何中表小圆柱面；22(3) xy 1在平面解析几何中表小双曲线，在空间解析几何中表小双曲柱面;2(4) x 2y在平面解析几何中表不抛物线，在空间解析几何中表不抛物柱面8、说明下列旋转曲面是怎样形成的?2222(1) 1;(2)x2 z21 (3)x2 y2 z21；(4)(z a)2 x2y24

6、9942222解：(1)xOy平面上椭圆y 1绕x轴旋转而成；或者xOz平面上椭圆14949绕x轴旋转而成(2) xOy平面上的双曲线x22z2 L 1绕y轴旋转而成4(3) xOy平面上的双曲线x2 y21绕y轴旋转而成；或者yOz平面上的双曲线221绕x轴旋转而成；或者xOz平面上的双曲线x z绕x轴旋转而成(4) yOz平面上的直线z y a绕z轴旋转而成或者 xOz平面上的直线z x a绕z轴旋转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：2(1) 3x 4y 2z 12 0与二个坐标平面所围成；(2) z 4 x ,2x y 4及二坐标平面所围成；22(3) z=0,z=a(a>0

7、),y=x,x+y=1 及 x 0 在第一卦限所围成；(4) z x2 y2,z 8 x2 y2 所围.解：(1)平面3x 4y 2z 12 0与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；2 .(2)抛物枉面z 4 x与平面2x y 4及二坐标平面所围成；22(3)坐标面z = 0、x 0及平面z=a(a>0)、y= x和圆枉面x + y = 1在第一卦限所 围成；(4)开口向上的旋转抛物面 z x2 y2与开口向下的抛物面 z 8 x2 y2所围.作图略.习题 6 41、画出下列曲线在第一卦限内的图形X 1(1)0； (2)y 22X2X2 y2 z2 a2 a解：（1）是平面x1与y

8、2相交所得的一条直线;（2）上半球面zy与平面x y 0的交线为1 一圆弧;42（3）圆枉面xy2 a2与x2 z2 a2的交线.图形略.2、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线222x y22x z2 z2y16 , 、一的柱面方程.o解：消去x坐标得3y2 z216,为母线平行于x轴的柱面;22消去y坐标得：3x 2z 16,为母线平行于 y轴的柱面.（任写出三种不同形式的方程）3、求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程2解：yx2.222.z 1 x y z 1； ；0x 0224、试求平面x 2 0与椭千面16 122 x2y2z4z2 111相交所得椭圆的半轴与顶点解：将椭

9、圆方程222人士二116 12 4化简为:x 2 022L三19 3，可知其为平面x 2上的椭圆,x 2半轴分别为3；3 ,顶点分别为(2,3,0),(2, 3,0),(2,0,。.3).5、将下面曲线的一般方程化为参数方程22(x 1)2y2(z 1) 4z 0解：（1）原曲线方程即:y x222x z99x cost2,化为 y -3cost (0 t 2 )；1 . 2z 3sin tx 1. 3 cos2 2)y V3sin(02 ).z 0x acos6、求螺旋线y asinz b在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程解:zzyasin -xacosb ;b.x0y07、指出下列方程

10、所表示的曲线(1)222x y z 25x 3(2)x2 4y2 9z230z 1(3)22x 4yx 32522_(4) y z 4x 8 0 y 4(5)解：（1）圆；（2）椭圆； （3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线. y z 2x 0_8、求曲线 ,在xOy面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线z 3y2 2x 9解：原曲线即:,，是位于平面z 3上的抛物线，在 xOy面上的投影曲z 3线为y2 2xz 0222/x y z 19、求曲线 1在坐标面上的投影z -2 一223 , 一 一,解：（1）消去变重z后得x y-,在xOy面上的投影为434,它是中心在 一，原点，半径为

11、S的圆周.21 一 ，一 一 ，（2）因为曲线在平面 z 一上，所以在xOz面上的投影为线段21 z -2, y 0|x|三(3)同理在yOz面上的投影也为线段.12, 02210、 求抛物面y zx与平面 x 2y z 0的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解:交线方程为2222y z xx 5y 4xy x 0y,(1)消去2得投影 y yx 2y z 0z 0一.一 x2 5z2(2)消去y得投影y 02xz 4x 0,(3)消去x得投影y2 z2 2yz 0 x 01、写出过点 M 0 1,2,3且以n2,2,1为法向量的平面方程解：平面的点法式方程为2 x 12 y 2z 30.2、

12、求过三点A 1,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,01的平面方程.解：设所求平面方程为 ax by cz d 0 ,将A, B, C的坐标代入方程，可得a b c d ,故所求平面方程为 x y z 1.3、求过点0,0,1且与平面3x 4y 2z 1平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为n 3,4,2,从而其方程为3x04 y 02 z 10 即 3x 4y 2z 2 .4、求通过x轴和点(4 31)的平面的方程解：平面通过x轴 一方面表明它的法线向量垂直于x轴 即A 0另一方面表明它必通过原点即D 0因此可设这平面的方程为By Cz 0又因为这平面通过点(431)所以有3BC

13、0 或C 3B 将其代入所设方程并除以B (B 0)便得所求的平面方程为y 3z 05、求过点(1,1,1),且垂直于平面 x y z 7和3x 2y 12z 5 0的平面方程.解：n1 1, 1,1, n2 3,2, 12取法向量n n1 n2 10,15,5,所求平面方程为 化简得：2x 3y z 6 0.6、设平面过原点及点(1,1,1),且与平面x y z 8垂直，求此平面方程.解：设所求平面为 Ax By Cz D 0,由平面过点(1,1,1)知平A B C D 0,由平面过原点知 D 0, ；n 1, 1,1, A B C 0 A C,B 0,所求平面方程为 x z 0.7、写出下

14、列平面方程：(1) xOy平面；(2)过z轴的平面；(3)平行于zOx的平面；(4)在x, y , z轴上的 截距相等的平面.解：(1) z 0, (2) ax by 0 ( a,b为不等于零的常数)，、(3) y c (c为常数)，(4)x y z a (a 0).习题 6 61、求下列各直线的方程：(1)通过点 A( 3,0,1)和点B(2, 5,1)的直线；(2)过点1,1,1且与直线壬y-平行的直线.234(3)通过点M (1 5,3)且与x,y,z三轴分别成60 ,45 ,120的直线；(4) 一直线过点 A(2, 3,4),且和y轴垂直相交，求其方程.x 1(5)通过点M (1,0

15、, 2)且与两直线 1z 1 十 x y 1 z 1 丁和 垂直的直线;1110(6)通过点 M (2, 3, 5)且与平面6x 3y 5z 20垂直的直线解：(1)所求的直线方程为:x 3 y z1 口 厂 x 3 y z 1-即：-2 350550x 3 y z 1.110(2)依题意，可取L的方向向量为s2,3,4 ,则直线L的方程为y 1 z 13(3)所求直线的方向向量为：cos60 , cos45 ,cos1201 . 22 , 21，、，-,故直线方程为:2(4)因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B(0, 3, 0)，取s BA 2, 0, 4,所求直线方程x 2 y 3 z 4

16、.204(5)所求直线的方向向量为:1,1, 11, 1,01, 1, 2 ,所以，直线方程为:x 1 y z 2.112(6)所求直线的方向向量为:6, 3, 5 ,所以直线方程为:x y z 1,2、求直线2x y 3z4的点向式方程与参数方程解在直线上任取一点(x0, y0,z°),取 x°1y。 4 2 0 么c c -,解 y0 0,z02.y0 3z0 6 0所求点 的坐标为 (1,0, 2)取直线的方向i j ks 1,1,12, 1,3111 4i j 3k,所以直线的点向式方程为:21 3. t,则所求参数方程 3x 1 4tytz2 3t3、判别下列各对

17、直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面,如果相交时请求出夹角的余弦x 2y 2z 0(1)3x 2y 6 0x 2y z2x z 1411解：(1)；(2)将所给的直线方程化为标准式为：2t7 ?22,3,45(x 7)(2)因为I。115 c ,02 422(y2)3 3 一直线平行.又点(-,-,0)与点2 411 5,-,0平行于2 45,22, 1919(z 0) 0,即1 ，一，八一，一，所以两直线不平行,5直线所决定的平面的法向量为1,2 13x y z 3 07, 2,0)在二直线上,向量直线所确定的平面，该平面的法向量为：5x 22 y又因为4,7, 5co

18、s4、19z0.3,1, 1 ,0 ,所以两直线相交,直线所决定的平面的夹角为1 4 2 7 ( 1) ( 5).4272 ( 5)2 ,'12 22 ( 1)2判别下列直线与平面的相关位置:x 3(1)-z 与 4x 2y 2z 33236 15 .xU2)3y2z 与 3x 2y 7z 8；75x(3)2x3y2z与 4x 3y 7z7 0;x t(4) y 2t 9 与 3x 4y 7z 10 0. z 9t 4解(1)( 2) 4 (7) ( 2) 3 ( 2) 0,而4 3 2 ( 4) 2 0 3 17 0,所以，直线与平面平行.一、32 7-(2)3 3 2 ( 2) 1

19、7 7 0,所以，直线与平面相交，且因为 -, 直32 7线与平面垂直.(3)直线的方向向量为：5, 3,22, 1, 15,9,1 ,4 5 3 9 7 1 0,所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点M ( 2, 5,0),显然点在M ( 2, 5,0)也在平面上(因为 4 ( 2) 3 ( 5) 7 0),所以，直线在平面上.(4)直线的方向向量为1, 2,9 ,3 1 4 ( 2) 7 9 0 直线与平面相交但不垂直.复习题A一、判断正误：1、若 abbc 且 b0,则 ac；()解析 a b b c= b (a c) =0时，不能判定b 0或a c .例如a i , b j

20、, c k,有 ab bc 0,但 a c.2、若 abbc 且 b0,则ac ；()解析 此结论不一定成立.例如 a i , b j , c (i j),则a bi jk ,bc j (ij)k ,a b bc,但 a c.3、若 a c 0,则 a 0或 c 0；解析两个相互垂直的非零向量点积也为零.4、 a b b a.( V)解析 这是叉积运算规律中的反交换律.二、选择题：1、当a与b满足(D )时，有a b a b ；(A) a b ;(B) a b (为常数)；(C) a / b;(D) a b a b .解析只有当a与b方向相同时，才有 a+ b = a + b .(A)中a,

21、b夹角不为0, (B), (C)中a, b方向可以相同，也可以相反.2、下列平面方程中，方程(C )过丫轴；(A) x y z 1 ；(B) x y z 0 ；(C) x z 0 ；(D) x z 1 .解析 平面方程Ax By Cz D 0若过y轴，则B D 0,故选C.2_2 3、在空间直角坐标系中，方程 z 1 x 2y所表木的曲面是(B )；(A)椭球面；(B)椭圆抛物面； (C)椭圆柱面； (D)单叶双曲面.2 2解析 对于曲面z 1 x 2y，垂直于z轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x轴或y轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面.22 z x y

22、4、空间曲线z 52,在xOy面上的投影方程为(C )；(A)x222-72x y 7y 7； (B); (C)z 57；(D)y2 222_一 x y 7,解析 曲线与xOy平面平仃，在xOy面上的投影万程为z 5、x 1 y z 15、直线与平面x y z 1的位置关系是（B ）.211一， 一，一 ，一 ,九 ，一 ,九（A）垂直； （B） 平仃；（C）夹角为;（D） 夹角为 .解析 直线的方向向量s=2 ,1,-1,平面的法向量n=1 , -1 ,1, s n=2-1-1=0所以，s ± n ,直线与平面平行.三、填空题：1、若 a|b<2 ,(a,b)；，则 a b

23、J2 , a b 0；解 a b 目旧 sin(Jb) = V2sin -2= <2 , a ba| b cos(a,b) = V2 cos-2=0 .2、与平面xy 2z 6 0垂直的单位向量为,61,2;解 平面的法向量n=1 , -1 , 2与平面垂直，其单位向量为 n0 = J114 = <6 ,所以，与平面垂直的单位向量为1, 1,2.3、过点（3,1, 2）和（3,0,5）且平行于x轴的平面方程为 7yz 5 0 ;解 已知平面平行于 x轴，则平面方程可设为By Cz D 0 ,将点（-3, 1, -2）和(3 , 0, 5)代入方程,B 2C D 0,5c D 0,D

24、,得D,4、过原点且垂直于平面 2 yz 2 0的直线为x 02z；解 直线与平面垂直，则与平面的法向量n=0 , 2, -1平行，取直线方向向量'在xOy平面上的投影曲线方程为222x y 1, z 0.s= n=0 , 2 , -1,由于直线过原点，所以直线方程为X -yz .z 2x5、曲线z 1解：投影柱面为 2x2222x yz 01, '为空间曲线在xOy平面上的投影曲线方程.四、解答题：(2a b) (a b) ; (c)已知 a 1, 2,1 , b 1,1,2,计算(a) a b; (b)jk2 1 5, 1,3.12(b)2a b 2, 4,2 1,1,2

25、1, 5,0 , a b 1, 2,11,1,22, 1,3,所以(2a b) (a b) 1, 5,0 2, 1,3(c) a b 1, 2,1 1,1,20, 3, 1,所以 a b解：(a) a b= 1 1 (V9-7)2 10.2、已知向量PP2的始点为Pi(2, 2,5),终点为P2(1,4,7),试求：(1)向量P1P2的坐标表布;(2)向量P1P2的模;(3)向量P1P2的方向余弦;(4)与向量P1P2方向一致的单位向量.P1P2 1 2.4(2),7 5 3,6,2(2) P1P2cos.(3)26222RP23,cos(4)(PP2)3、设向量解:故与a、4、在 x, y,

26、z三个坐标轴上的方向余弦分别6,cosPP21,3ib都垂直的单位向量为向量d垂直于向量a求向量d27；6j 2k71,1, 12,3,3.i 7Ik-0,2,2 ,a和b都垂直的单位向量.110, .2, .21和b1, 2,3,且与c 2, 1,1的数量积为6,解：d垂直于a与b ,故d平行于a2,3, 11, 2,3 7,7,7因 dc 6,故 27(1)(7)16,37 d 3,3,3.5、求满足下列条件的平面方程:(1)过三点 R(Q1,2), P2(1,2,1)和 P3(3,0,4) ; (2)过 x 轴且与平面 J5x2y z 0 的夹角x 0 y 1 z 2用二点式所求平面的方

27、程为10 2 1123 0 0 1 4 2x 5y 4z 13 0 .解2: 用点法式.P1P2量为1,1, 1,帆33, 1,2,由题设知，所求平面的法向nP1P2RRj k11 i 5j 4k,12又因为平面过点 R(0,1,2),所以所求平面方程为(x 0)5(y 1) 4(z 2) 0,即x 5y 4z 13 0.解3 :用下面的方法求出所求平面的法向量n A,B,C,再根据点法式公式写出平面方程也可.因为n PP2,n PP3 ,所以&A B 以 0,解得B 5A,C 4A,于是所求3A B 2C 0,平面方程为A(x 0) 5A(y 1) 4A(z 2) 0,即 x 5y

28、4z 13 0 .(2)因所求平面过 x轴，故该平面的法向量 n A, B,C垂直于x轴，n在x轴上的投影A 0,又平面过原点，所以可设它的方程为By Cz 0,由题设可知B 0 (因为B 0时，所求平面方程为 Cz 0又C0,即z 0 .这样它与已知平面 J5x 2y z 0所夹锐角的余弦为0 V50 2 111兀1C, cos cos- 一，所以 B 0),令一 C,则有02 02 12.(，5)222121032By C z 0 ,由题设得0 V5 1 2 C 1cos- t 一,3 0212 C 2 ( 5)22212-_1一 , 八八一八解得C 3或C于是所求平面方程为 y 3z 0

29、或3y z 0.x 5y z 0, 一6、一平面过直线且与平面x 4y 8z 12 0垂直，求该平面万程;x z 4 0x 5y z 0,解法1 : 直线在平面上，令x=0 ,得yx z 4 04）为平面上的点.设所求平面的法向量为 n = A, B,C,相交得到直线的两平面方程的法向量分别为n1=1 ,i j k5,1,出=1 , 0,-1,则直线的方向向量s= n1n2= 1 51 =-5 , 2,-5,由于1 01所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即s n =-5 ,2,-5 ?A, B, C = 5A 2B 5C =0 ,因 为所求平面与平面 x 4y 8z 12 0A, B,C 1, 4, 8 = A 4B 8c =0 ,解方程组所求平面方程为5A 2B 5C 0,A 4B 8C 0,八5八 4 八2C(x 0) -C(y ) C(z252C,IC,4) 0,即 4x 5y 2z解法2: 用平面束（略）7、求既与两平面 1:x 4z 3和2: 2x y5z 1的交线平行，又过点（3,2,5）的直线方程.解法1 : ni 1,0, 4 , 22, 1, 5 , s 5 e 4, 3, 1 ,从而根据点向旬m小 *+工口