江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

1、江苏省南通市2019 届高三年级第一次模拟考试数学(满分160 分，考试时间120 分钟 )参考公式：柱体的体积公式：V 柱体 Sh，其中S 为柱体的底面积，h 为高 .14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共计 70 分 .1.已知集合A 1 ， 3 ， B 0， 1，则集合A B2i2.已知复数z 1 i 3i(i 为虚数单位)，则复数z的模为3.某中学组织学生参加社会实践活动，高二则平均每人参加活动的次数为次数2345人数2015105(1) 班 50 名学生参加活动的次数统计如下：4.如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为5.有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个

2、，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为6.已知正四棱柱的底面边长是3cm，侧面的对角线长是3 5cm，则这个正3 cm7.若实数x， y满足 x y2 x3，则x y的最小值为8.在平面直角坐标系2xOy 中，已知抛物线y2 2px(p0)的准线为l，直线 l 与双曲线x4 y2 1 的两条渐近线分别交于A，B 两点，AB 6，则p 的值为9.在平面直角坐标系xOy 中， 已知直线y3x t 与曲线yasinxbcosx(a，b，tR)相切于点(0，1)，则 (a b)t 的值为10.已知数列an 是等比数列，有下列四个命题：数列 | an|是等比数列；数列anan 1是等比数列；数列1an

3、是等比数列；数列 lgan2是等比数列.其中正确的命题有个.11.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x2)f(x).当0x1时，f(x)x3ax1，则实数a的7 值为.12 .在平面四边形ABCD 中，AB1 ， DA DB，ABAC3，AC AD 2，则|AC2AD|的最小值为.13 .在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆C：(x4)2y24.若存在过点P(m，0)的直线l，直线 l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是.14 .已知函数f(x)(2xa)(|xa|x2a|)(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为21 ，线段A

4、F 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知 ABF 的外接圆的圆心在直线yx 上，求椭圆的离心率e 的值 .18 .(本小题满分16 分 )如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD， AB， AD 的长分别为2 3m 和 4m，上部是圆心为O 的劣弧 CD，COD 23 .(1) 求图 1 中拱门最高点到地面的距离；(2) 现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、3、图4 所示.设 BC 与地面水平线l 所成的角为. 记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用 的函数表示h，并求出h 的最大值.a19 .(本小题满分16 分 )

5、已知函数f(x) lnx(a R).x(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设函数f(x)的导函数为f (x)，若函数f(x)有两个不相同的零点x1， x2.求实数a 的取值范围；证明：x1f(x1) x2f(x2)2lna 2.20.(本小题满分16分 )已知等差数列an满足a4 4，前8 项和S8 36.(1) 求数列 an的通项公式；(2) 若数列 bn满足n(bka2n 1 2k) 2an 3(2n 1)(n N*).k 1证明：bn为等比数列；求集合( m， p) |am 3ap， m， p N* .bmbp2019 届高三年级第一次模拟考试数学附加题（ 本部分满分40 分，考试

6、时间30 分钟 ）21 .【选做题】本题包括A、 B、 C 三小题 ， 请选定其中两小题， 并作答.若多做， 则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分 ）abM，Ncd1011 ，且 021(MN ) 104，求矩阵02M选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分 ）x t，在平面直角坐标系xOy中， 曲线 C 的参数方程是2 （t为参数 ）.以原点 O 为极点，x轴正半轴y t为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin 4 2.求：（1） 直线l 的直角坐标方程；（2） 直线l 被曲线C 截得的线段长.C.

7、选修 4-5：不等式选讲（本小题满分10 分 ）a， b， c 满足a2 b2 c2 1 ，求证：a2 1 b2 11c21 9/4 .【必做题】第22 题、第 23 题 ， 每小题 10 分 ， 共计 20 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .(本小题满分10 分 )“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121， 3553 等 .显然2 位“回文数”共 9个： 11， 22， 33，99.现从 9 个不同的2 位“回文数”中任取 1 个乘以4，其结果记为X；从 9 个不同的2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为Y.(1) 求 X 为“回文数”的

8、概率；(2) 设随机变量 表示X， Y 两数中“回文数”的个数，求 的概率分布和数学期望E().23.(本小题满分10 分 )设集合 B 是集合 An 1 ， 2，3，3n2，3n1， 3n，nN*的子集.记集合B 中所有元素的和为S(规定：集合B 为空集时，S0).若 S为 3的整数倍，则称B 为An的“和谐子集”.求：(1) 集合A1 的“和谐子集”的个数；(2) 集合An 的“和谐子集”的个数.江苏省南通市2019 届高三年级第一次模拟考试参考答案一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分1 已知集合A 1 ， 3 ， B 0 ， 1 ，则集合A B = 【答案】0 ，

9、1 32 已知复数z = 2i 3i （ i 为虚数单位），则复数z 的模为.1i【 答案 】53 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班 50 名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数20151054 题）则平均每人参加活动的次数为.【 答案 】 34 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为【答案】75 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为36 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm，则这个正四棱柱的体积为 cm3【答案】547 若实数x， y满足x y 2x+ 3，则 x y的最小值为【答案

10、】68 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2 2px（ p 0） 的准线为l，直线 l 与双曲线xy2 14的两条渐近线分别交于A， B 两点， AB 6 ，则 p 的值为【答案】2 69 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y 3x t与曲线y asin x bcosx a， b t R 相切于点0， 1 ，则 a b t 的值为【答案】410 已知数列an 是等比数列，有下列四个命题：数列anan 1 是等比数列；数列 lg an2 是等比数列数列an 是等比数列；数列1 是等比数列；an其中正确的命题有 个【答案】3311 已知函数f (x) 是定义在R 上的奇函数，且f(x 2)

11、f (x) 当 0 x 1 时， f (x) x ax 1 ，则实数 a 的值为【答案】212 在平面四边形ABCD 中， AB 1 ， DA DB ， AB AC 3， AC AD 2， 则 AC 2AD 的最小值为 【答案】2 5222213 在平面直角坐标系xOy 中，圆 O ： x2 y2 1 ，圆 C ： x 4 y2 4 若存在过点P m， 0 的直线 l ， l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是【答案】4， 4314 已知函数f(x) 2x a |x a| | x 2a | (a 0) 若 f(1) f(2)f(3) f (672) 0，则满足f (x) 2019 的

12、 x的值为【答案】337二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分15 (本小题满分14 分)如图，在四棱锥P ABCD 中，M， N 分别为棱PA， PD的中点 已知侧面PAD底面ABCD， 底面 ABCD 是矩形，DA=DP求证： （ 1 ） MN 平面PBC；（ 2） MD 平面PAB（ 1 ）在四棱锥P ABCD 中， M， N 分别为棱 PA， PD 的中点，所以 MN AD 2 分又底面 ABCD 是矩形，所以BC AD所以MN BC 4 分又 BC 平面 PBC ， MN 平面 PBC ，所以 MN 平面PBC 6 分（ 2）因为底面ABCD 是矩形，所以 AB AD 又侧面 P

13、AD 底面 ABCD，侧面 PAD底面ABCD =AD， AB 底面 ABCD，所以AB 侧面PAD 8 分又 MD 侧面PAD，所以AB MD 10分因为 DA=DP，又 M 为 AP 的中点，从而MD PA 12 分又 PA ， AB 在平面 PAB 内， PA AB A，所以MD平面 PAB14分16 （本小题满分14 分）在 ABC 中，a， b， c分别为角A， B， C 所对边的长，acosB2bcosA， cosA 3 3（ 1）求角B 的值；2）若a 6 ，求 ABC 的面积（ 1 ）在 ABC 中，因为cosA 3 ， 0 A ，3所以 sin A 1 cos2 A6 2 分

14、313 acosB 2bcosA，sinA sin Bsin AcosB 2sin BcosA所以 cos B sin B 若 cosB=0 ，则 sin B=0 ，与sin2 B cos2 B 1 矛盾，故cos B 0tanB csoinsBB1又因为 0 B ，所以 B 44分7分2)因为a 6 ， sin A 6 ，1）及正弦定理sinA sin B6 b，623图3图4图118 题）9分12分所以 ABC 的面积为S 1 absinC21263223663214分所以 b322又 sinC sin A B sin A Bsin Acos B cos Asin B62322363232

15、17 （本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系22xOy中，椭圆x2 y2 =1 （ab0）的左焦点为F ，右顶点为A，ab上顶点为B 1 ）已知椭圆的离心率为1 ，线段 AF 中点的横坐标为22 ，求椭圆的标准方程；2）已知ABF 外接圆的圆心在直线y= x上，求椭圆的离心率e的值（ 1）因为椭圆22 xy22 ab1=1 (a b0)的离心率为2所以 c 1 ，则 a = 2c a2AF 中点的横坐标为2210所以 a c = 2 22所以 c = 2 ，则a2 = 8 ， b2 = a2 c2 = 6 22所以椭圆的标准方程为x y =14分862）因为A（a， 0）， F（ c，

16、0） ，所以线段AF 的中垂线方程为：x= a c 2又因为ABF 外接圆的圆心C 在直线 y= x上，ac ac所以 C（ ，） 6 分22因为 A（a， 0）， B（0， b），所以线段AB 的中垂线方程为：y b = a （x a） 2b 2由 C 在线段 AB 的中垂线上，得a c b = a （a c a） ，22b22整理得，b（a c） b2 ac ，10 分 即 （b c）（a b） 0a b 0 ，所以 b c 12 分所以椭圆的离心率e c c 2 14 分a b2 c2218 （本小题满分16 分）如图 1 ，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ， AB ， AD

17、 的长分别为2 3 m 和4 m ，上部是圆心为O 的劣弧 CD ， COD =31） 求图 1 中拱门最高点到地面的距离；2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，记拱门上的点到地面如图2、图3、图4 所示设BC 与地面水平线l 所成的角为h ，试用的函数表示h ，并求出h 的最大值D（ 1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB ， CD 于点O1， O2 ，交劣弧CD 于点 P ， O1P 的长即为拱门最高点到地面的距离在 Rt O2OC 中，O2OC， CO23，3所以 OO2 1 ，圆的半径R OC 2所以O1P=R OO1 R O1O2 OO

18、2 5答：拱门最高点到地面的距离为5 m 4 分2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 P 当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离1 )知，在Rt OO1B 中， OBOO12 O1B2 2 3 B 为坐标原点，直线 l 为 x 轴， 建立如图所示的坐标系2.1）当点 P在劣弧 CD 上时， 62OBx ， OB 2 3，6得 O (2 3cos( ) ， 2 3sin( ) ，则 h 2 2 3sin( )8分所以当 即

19、时，623h 取得最大值2 2 3 10 分( 2.2)当点 P在线段 AD 上时，06设 CBD = ，在Rt BCD 中，DBBC2 CD2 2 7，2 32142 7sin， cos277277由 DBx ，得 D(2 7 cos()， 2 7 sin( )所以 h 2 7 sin() 4sin 2 3cos 14 分又当 0 时， h 4cos 2 3sin 4cos 2 3sin 3 0 666所以 h 4sin 2 3cos 在 0，上递增6所以当时， h 取得最大值5 6因为 2 2 3 5，所以 h 的最大值为2 2 34sin 2 3 cos ， 0 ，答： h6 ；艺术拱门

20、在放倒的过程中，拱门上的点到地2 2 3 sin() ，662面距离的最大值为(2 2 3) m16 分19 (本小题满分16 分)已知函数f ( x) a ln x a R x( 1 )讨论 f ( x) 的单调性；( 2)设f(x) 的导函数为f (x)，若 f (x) 有两个不相同的零点x1 ， x2 求实数a 的取值范围； 证明： x1 f (x1 ) x2 f (x2 ) 2ln a 2【解】( 1 ) f (x) 的定义域为0， + ，且 f (x) x 2 a x( 1. 1) a 0时， f (x) 0成立，所以f(x) 在 0， + 为增函数；2 分( 1. 2) a 0 时

21、，( i)当x a 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 a， + 上为增函数；( ii)当 0 x a 时， f (x) 0，所以 f (x)在 0， a 上为减函数4 分( 2)由(1 )知，当a 0时，f (x)至多一个零点，不合题意；当 a 0时， f (x) 的最小值为f(a) ，依题意知f (a)= 1 ln a 0 ，解得 0 a 1 6 分e一方面，由于1 a ， f 1 a 0， f(x)在 a， 为增函数，且函数f (x)的图象在 a， 1 上不间断所以 f ( x) 在 a ， 上有唯一的一个零点另一方面，因为 0 a 1 ，所以 0 a2 a 1 eef (a2

22、 ) 1 ln a21 2ln a ，令 g a 1 2ln a ，aaa当 0 a 1 时， g a122 2a2 10，eaa a所以 f (a2 ) g a 1 2ln a g 1 e 2 0ae又 f (a) 0 ， f(x) 在 0， a 为减函数，且函数f (x) 的图象在a2 ， a 上不间断所以 f ( x) 在 0 ， a 有唯一的一个零点综上，实数a的取值范围是0， 1 10 分 设 p x1 fx1x2f x21 a1 a =2a+ ax1 x2x1 x2ln x1a 0 ，1x1又则 p 2 ln x1 x2 12 分ln x2 a0，x2x1x2 a2不妨设x1x2

23、，由知0x1a x2 要证x1x2a2，即证x12 ax22x1， ax20， a ，f (x) 在 0 ， a 上为减函数，所以只要证fax22f x1 又 f x1 = f x2 =0 ，即证 f2ax2f x2 14分2设函数 F x f a f x x a 2ln x 2ln a x a xax2所以 F xxax2a0 ，所以 F x 在a， + 为增函数.所以 F x2 F a 0，所以 f ax2 fx2成立从而x1x2a2成立 .所以 p 2 ln x1x22ln a 2，即x1 f x1x2 f x22ln a 2 成立 . 16 分20 （本小题满分16 分）已知等差数列a

24、n 满足a44，前8 项和S8 36（ 1 ）求数列an 的通项公式；n（ 2）若数列bn 满足bka2n 1 2k 2an 3（2n 1）， n N k1 证明：bn 为等比数列； 求集合 （m， p） am =p， m， p N* bmbp（ 1）设等差数列an 的公差为d因为等差数列an 满足a4 4，前 8项和S8 36，a1所以8a13d 4，827d 36ad1 11，29 3分所以数列an 的通项公式为an n 2）设数列bn 前n项的和为Bn n1)及bka2n 1 2k 2an 3(21)， n N 得，k1n1bka2n 1 2k 2n ，k1n13 2n 1 1bka2n

25、 1 2k 2 n 1 n2 ，k1- 得32n13 2n 1 1b1a2n1b2a2n3+bn1a3bna12nb1a2n 3 b2a2n 5+bn 1a1 2n 2b1(a2n 3 2) b2 (a2n 5 2)+bn 1(a1 2) bna1 2nb1a2n 3 b2a2n 5+bn 1a1 2n 22 b1 b2+bn 1bn 2 2 Bn bnbn 2 所以 3 2n 1 2Bn bn 2 n 2， n N ，又 3 21 1 b1a1 2 ，所以b1 1 ，满足上式所以2Bnbn 23 2n 1n N 6 分当n 2 时，2Bn1 bn 12 3 2n 2由 -得，bn bn1 3

26、 2n 2 8分bn 2n 1bn 1 2n 21 n 1 b1 20 0，所以bn 2n1， bn 1 2，bn所以数列bn 是首项为1 ，公比为2 的等比数列10 分由ambm3a pbpm2m 123pp1，即2p m 3p m记 cnan ，由得， bnannbn2n 1所以 cn 1 n 1 1，所以cn cn 1 (当且仅当n 1 时等号成立)cn 2nam3a p由 b = b ，得cm 3cp cp ，bmbp12分所以 m p 设 t p m m， p， t N* ，由 2p m 3p ，得 m 3t m2t 3当t1 时，m3 ，不合题意；当t2 时，m6 ，此时 p 8

27、符合题意；当t3 时，m9 ，不合题意；5当t4 时，m12 1 ，不合题意13下面证明当t 4， t N 时， m 3t 1 2t 3不妨设 f x 2x 3x 3 x 4 ，f x 2xln2 3 0，所以 f x 在 4， + ） 上单调增函数，所以 f （x） f （4） 1 0，所以当 t 4， t N 时， m t3t 1 ，不合题意 2t 3综上，所求集合（m， p） am = ap ， m， p N* = 6， 8 16 分bmbp21 【选做题】本题包括A、 B、 C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡 相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、

28、证明过程或演算步骤A 选修4- 2：矩阵与变换 （本小题满分10 分）ab10110已知矩阵M =， N =1 ，且 MN 4 ，求矩阵Mcd020211040【解】由题意，MN 4 ，则 MN 14分02021N=0MB 选修4- 4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分）x t，在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程是x t2 （ t为参数） 以原点O 为极点，ytx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin（ 4 ）2求： （ 1）直线 l 的直角坐标方程；（ 2）直线l 被曲线 C 截得的线段长【解】（ 1 ）直线 l 的极坐标方程可化为（sin cos cos

29、 sin ）2，即 sin cos 244又 x cos ， y sin ，所以直线l 的直角坐标方程为x y 2 04 分2）曲线C: x t2， （ t为参数）的普通方程为x2 yytx2y，xy20x2x 2 0 ，所以直线l 与曲线 C 的交点 A 1 ， 1 ， B 2 ， 4 8 分所以直线l被曲线 C 截得的线段长为AB= 1 2 2 + 1 4 2=3 2 10分C 选修4- 5：不等式选讲 （本小题满分10 分）已知实数a，b，c满足a2b2c2 1，求证：212121 9a2 1 b2 1 c2 14【证明】由柯西不等式，得a2 1b2 111+2+2b2 1 c2 1a

30、2 11+ b2 11 + c2 119 ，5 分a2 1b2 1c2 1所以21 + 21 + 21 2 29 29910 分a 1b 1c 1 a b c 313422、 23 题，每小题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分10 分 ）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22， 121， 3553 等显然2 位“回文数”共 9 个：11， 22，33，99现从9个不同 2位“回文数”中任取 1 个乘以4，其结果记为X；从9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为Y（ 1 ）求 X 为“回

31、文数”的概率；（ 2）设随机变量表示X， Y两数中“回文数”的个数，求 的概率分布和数学期望E（ ）解 】 （ 1）记“ X 是回文数 ”为事件A9 个不同 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为：44， 88， 132， 176， 220， 264， 308，352， 396其中“回文数”有： 44， 88所以，事件A的概率 P（A） 2 3 分92）根据条件知，随机变量的所有可能取值为0， 1 ， 21)得 P(A) 2 5 分9设“ Y 是回文数 ”为事件B，则事件A， B 相互独立根据已知条件得，P B = 2025 C99P =0 =P A P B 1 29 1 958281 ；9981P=1 =P A P BPA P B 1 29 59291 958413；P=2 =P A P B2959 18018分所以，随机变量的