圆锥曲线轨迹方程经典例题

1、(x 1)2 y2 =1上运动，求AB的中点M的轨迹。一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P124B组2:长为2a的线段的两个端点在 x轴和y轴上移动，求线段 AB的中点M的轨迹方程:1必修2课本P124B组：已知M与两个定点(0,0)，A( 3,0)的距离之比为一，求点M的轨迹方程；(一般地：必修2课2本P144B组2:已知点M( x, y)与两个定点 MM 2的距离之比为一个常数m ；讨论点M( x, y)的轨迹方程(分 m =1，与m = 1进行讨论)2、必修2课本P122例5:线段 AB的端点 B的坐标是(4,3)，端点(2013新课标2卷文20)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆P在x

2、轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段长为 2 3。(1)求圆心的P的轨迹方程;若P点到直线心的距离为-，求圆P的方程。2如图所示，已知 P(4, 0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足/ APB=90°,求 矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt ABP中，AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在 Rt OAR 中,|AR|2=|AO|2 |ORf=36(x2+y2)又|AR|=|PR|= . (x -4)2 y2 所以有(x4)2+y2=36 (x2+y2),即x2+y2 4x 10=0因此点R在一

3、个圆上，而当 R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y) , R(X1,y” ,因为 R 是 PQ 的中点，所以 X1= X 4, y y °,代入方程 x2+y2 4x 10=0,得 2 2(宁)2 (子)2 一410=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程在平面直角坐标系 xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x-4 设圆C的半径为1，圆心在l 上. (1)若圆心C也在直 线y =x -1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA =2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.(2013陕西卷理20)已知动圆过定点 A(4,0)，

4、且在y轴上截得弦 MN的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程；(2) 已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线丨与轨迹C交于不同的两点 P,Q ,若x轴是.PBQ的角平分线，证明 直线l过定点。二、椭圆类型：3、定义法：（选修2-1P50第3题）点M（x,y）与定点F（2, 0）的距离和它到定直线 X=8的距离之比为，求点M2的轨迹方程.（圆锥曲线第二定义）讨论：当这个比例常数不是小于1,而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆2 2 2 2x y 6x 5二0外切，同时与圆 x - y -6x -91二0内切，求

5、 动圆的圆心轨迹方程。295、圆锥曲线第一定义：点M（ xo,yo）圆R（x+1） + y =9上的一个动点，点F?（1,0）为定点。线段MF2的垂直平分线与 MF1相交于点Q（x,y）,求点Q的轨迹方程;（注意点F2 （ 1,0）在圆内）MQF26、其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（ 5,0），直线AM,BM 相交于点M，且他们的斜4率的乘积为，求点M的轨迹方程：（是一个椭圆）94（讨论当他们的斜率的乘积为4时可以得到双曲线）9（2013新课标1卷20）已知圆M : （x 1）2 y1,圆N : （x-1）2 y2 =9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，

6、圆心P的轨迹为曲线C。（ 1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，丨与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求 AB（2013陕西卷文20）已知动点M （x, y）到直线l : x = 4的距离是它到点 N（1,0）的 距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程（2）过点P（0,3）的直线m与轨迹C交于 代B两点，若A是PB的中点，求直线 m的斜率。三、双曲线类型：2 2&圆锥曲线第一定义：点M(Xo,y°)圆Fi (x 1) y=1上的一个动点，点F2(1,0)为定点。线段MF2的垂直平分线与MFi相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点F2 (1

7、,0)在圆外)165定义法：(选修2-1P59例5)点M( x, y)与定点F(5，0)的距离和它到定直线 X的距离之比为，求点M的轨迹方54程(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型：10、定义法：(选修2-1 )点M( X, y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线 x = -2的距离相等，求 点M的轨迹方程。(或：点M( x, y )与定点F(2, 0)的距离比它到定直线 X = -3的距离小1,求点M的轨迹方程。)(2013陕西卷文20)已知动点M(x,y)到直线l :x =4的距离是它到点 N(1,0)的距离的2倍。 (1)求动点M的轨 迹C的方程(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于

8、A,B两点，若A是PB的中点，求直线 m的斜率已知三点0(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x,y)满足|MA MB| = OM (OA OB) 2。(1)求曲线C的方程；)在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2： (x-5) 2 + y2=9夕卜，且对 G上任意一点M , M到直线x= - 2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(I)求曲线C1的方程；(湖北)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线I上，且满足丨DM| =m| DA|( m>0,且m 1)。当点A在圆上运动时，记点 M的轨迹

9、为曲线 G(I )求曲线C的方程，判断曲线 C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；2 2常数)，动圆点，C1与C0相(辽宁)如图，椭圆C0 :牛=1(a b - 0 , a, b为 a bC1: x2 - y2二孑,b : t: a。点A, A分别为C0的左，右顶交于A, B, C, D四点。(i)求直线AA与直线 AB交点M的轨迹方程(四川)如图，动点 M到两定点A(_1,0)、B(2,0)构成：MAB，且.MBA = 2. MAB，设动点M的轨迹为C。(I)求轨迹C的方程；(n)设直线-2x m与y轴交于点P ,与轨迹C相交于点Q、R，且| PQ | ：| PR |,求If巴的取值范围。|PQ|

10、i.()已知椭圆的焦点是Fi、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长的轨迹是()2.( )设交点的轨迹方程为(2,B.椭圆 C.双曲线的一支2 2Ai、A2是椭圆 =i的长轴两个端点，942 2A x y 丿A.i94A.圆Pi、FiP到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点QD.抛物线P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线AiPi与A2P22丿xB.i942 2x yC.i942D.I92xi4C是直线I上的三点，且|AB|=|BC|=6,O O '切直线I于点A,又过B、C作O O '异于I P,求点P的轨迹方程二、填空题aai3.( ) ABC 中，A 为动点，B、C 为

11、定点，B(- ,0),C(,0)，且满足条件 si nC si nB= si nA,则动点 A 的222轨迹方程为.4. ()高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距i0 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(-5, 0)、B(5, 0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 .三、解答题5. ()已知 A、B、的两切线，设这两切线交于点2 x6.()双曲线一2a2与=i的实轴为AiA2,点P是双曲线上的一个动点，引AiQ丄AiP, A2Q丄A2P, AiQ与bA2Q的交点为Q,求Q点的轨迹方程.228.()已知椭圆 % -y2 =i(a>b> 0),点P为其

12、上一点，Fi、F2为椭圆的焦点，/ FiPF2的外角平分线为I, a b点F2关于I的对称点为 Q, F2Q交I于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求 R形成的轨迹方程;设点R形成的曲线为C,直线I : y=k(x+辺a)与曲线C相交于A、B两点，当 AOB的面积取得最大值时，求、1解析： |PFi|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,. |PFi|+|PF2|=|PFi|+|PQ|=2a,即|FiQ|=2a,.动点 Q 到定点 Fi 的距离等于定长2a故动点Q的轨迹是圆2. 解析：设交点 P(x,y) ,Ai (-3,0),A2(3,0), Pi(xo,yo),P2(xo,yo) I,

13、 Ai、Pi、p 共线，0A2、P2、P 共线，x-x0 x 十 32 2 2 2 y y°y解得xo=9,y,代入得勺 如1,即 D 1x沧 x3x x949411、3.解析：由 sinC sinB=_!_sinA,得 c b= a,二应为双曲线一支,22且实轴长为-,故方程为216x216y2"3a2答案：16x216y2 廿a、a23a244.解析：设P(x,y),依题意有5一/5厂y23，化简得P点轨迹方程为4x2+4y2 85x+100=0. (x-5)2 y2答案：4x2+4y2 85x+100=0三、5.解：设过B、C异于I的两切线分别切O O'于D、

14、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE 故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD |+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 >6=|BC|,故由椭圆定义知，点 P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以I所在的直线为2 2x yx轴，以bc的中点为原点，建立坐标系，可求得动点p的轨迹方程为=1(丫工0)81726. 解：设 P(X0,y°) (xm 土 a),Q(x,y). A1( a,0),A2(a,0).yy。由条件丿x +a x0 +ayx a x°

15、ax°得:=x( x(=二 a)y0 =-a2而点 P(x0,y0)在双曲线上， b2x。2 a2y02=a2b2.2 2222 x a 22 2即 b ( x ) a () =a by化简得Q点的轨迹方程为：a2x2 b2y2=a4(xz± a).8.解：(1厂点F2关于l的对称点为Q,连接PQ,/ F2PR=Z QPR, |F2R|=|QR|, |PQ|=|PF2|又因为I为/ F1PF2外角的平分线，故点 FP、Q在同一直线上，设存在R(x°,y0),Q(X1,y”,F1( C,0),F2(C,0).222|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF

16、2|=2a,则(x什c) +y1 =(2a).x0又*y。得 X1=2x° c,y1=2y0. (2x0)2+(2y0)2=(2a)2, x°2+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(yM 0)1 a2如右图， Saob= |OA|2 |OB|2 sinAOB=sinAOB当/ AOB=90。时，Saaob最大值为 丄a22此时弦心距|OC|= I辰k I .+k2在 Rt AOC 中，/ AOC=45专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1如图1, .ABC中，已知B(-2,0) , C(2,0)，点A在x轴上方运动，且tanB - tan C =2，则顶点A

17、 的轨迹方程是_2.如图2,若圆C :则G的轨迹方程是2 2(x 1) y =36上的动点M与点B(1,0)连线BM的垂直平分线交CM于点G ,22y =1上运动， AOP的平分线交AP于Q，则Q的轨迹方3. 如图3,已知点A(3,0)，点P在圆x程是.4. 与双曲线x2 -2y22有共同的渐近线，5. 如图4,垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x-1)分别交于点A、P，点B在y轴上，且点A满足| AB | =2 |OA |，则线段PB的中点Q的轨迹方程是 .且经过点(2, -2)的双曲线方程为几种常见求轨迹方程的方法：1.直接法：由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足

18、的几何条件列出等式，再用 坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法.直接法求轨迹方程的一般步骤： 建系设点列式代换化简检验；【例11 (1 )求和定圆x2 y2 =R2的圆周的距离等于 R的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a,0)作圆O ： x2 y R2 (a R 0)的割线，求割线被圆 O截得弦的中点的轨迹.解: (1)设动点 P(x,y)，则有 |OP | =2R或 |OP | = 0 .即 x2 y4R2 或 x2 y0 .故所求动点P的轨迹方程为x2 y2 =4R2或x2 y2 = 0 .(2)设弦的中点为 M (x,y)，连结 OM，则 OM AM . v kOM kAM

19、 - -1，-= -1，化简得：(X _空)2 y2 = (-)2x x -a22其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)【例21已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C : x2 y2 =1，动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与| MQ |的和.求动点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 解：如图，设 MN切圆C于N，又圆的半径|ON|=1， |OM |2 = | NM |2 |ON |2 = |NM |2 1， |MN | |OM |2 -1，由已知 |MN | =| MQ | 1 .设 M (x,y)， 则 x2 y2 -1 二(X -2)2 y2 1， 2x -3 = .

20、 (x -2)2，即 3x2y28x 5 = 0 (x 一彳).可化为 9(x 4)2 3y2 = 1 (x _).23245故所求的轨迹是以点(，0)为中心，实轴在 x轴上的双曲线的右支，顶点为(，0)，如图.33【例4】已知定圆 A的半径为r，定点B与圆A的圆心A的距离为m (m 2r).又一动圆P过定点B，即为所求轨迹方程它是一条抛物线.4 .待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的 参数，进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求.【例7】若抛物线y2 =4x和以坐标轴为对称轴、实轴在 y轴上的双曲线仅有两个公共点，又

21、直线 y =2x 被双曲线截得的线段长等于 2.5，求此双曲线方程.且与定圆A相切求动圆圆心 P的轨迹方程. 解：以AB所在的直线为x轴， 当动圆P与定圆A外切时， 由双曲线的定义知动圆圆心 支).显然，c = m，又a22 2mr故 b = c a :4以AB的中点为原点建立坐标系，如图.|PA| _|PB| = r ;当动圆P与定圆A外切时，|PB|_|PA| =r .P的轨迹应是以 A、B为两焦点的双曲线(外切时为右支，内切时为左 r2，所以所求的点P轨迹方程是:2x2 2 2r m - rT 42y =1.3 动点转移法:若动点P(x,y)随已知曲线上的点 Q(x0,y0)的变动而变动

22、，且Xq、y0可用x、y表示,则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程.这种方法称为动点转移法(或代换法或相关点法)A(3,1)、B为抛物线y2 =x上任意一点，点 P在线段AB的中点，当B点在抛物 线上变动时，求点解：设点P(x, y)，且设点【例5】已知定点P的轨迹方程.B(Xq, yo)，则有 乂二 Xq1 点P是线段AB的中点由中点坐标公式得:Xq+3x ='yo2+1，y =/ 2Xoyo：23将此式代入-xo，1 中，并整理得：(2y-1)2=2x-2 ,2 2解：设所求双曲线方程为芯-二=1，将y2=4x代入整理得：a2x24b2xa2b2=o .a b抛

23、物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程 a2x24b2x a2b2应有等根= 16b44a3b2 = o , 即卩 a2 = 2b 2务=1 得：(4b2 -a2)x2 -a2b2 =0 . b2由y =2x和笃a由弦长公式得:2 石 a2= 2b_ a .由 2以 2a b 4b5.参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量即 a2b2 =4b22得：a2 =2, b1 双曲线的方程是 -ay22 11 2t,并用t表示动点P的坐标x、y，从而动点轨迹的参数方程的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有:幣)消去参数t

24、，便可得到动点P的 t的范围确定出x、y的范围.【例8】抛物线x2 =4y的焦点为F ,过点(0, -1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程.解：设 R(x, y), AB : y 1 = kx , AB 中点为 M (怡，y0) , A(%, y1),x2 -4kx 4=0 .' =16(k2 -1) 0 , x1 x 4k , x x2 = 4 .2 2y1 y2 2 = k(X1 X2) = 4k , y14k -2 .M(2k,2k2 -1) , F(0,1) , M 为 AB 中点， x = 4k , y = 4k2 -

25、3 .消 k 得：x2 = 4(y 3)( y 1).巩固练习：1.平面上和两相交的定圆(半径不等)同时相外切的动圆圆心的轨为()(A )椭圆的一部分(B)椭圆(C)双曲线的一部分(D)双曲线2已知动点M与定点F(2,0)的距离比动点 M到y轴的距离大2，则动点M的轨迹()(A)抛物线(B)抛物线的一部分(C)抛物线和一射线(D)抛物线和一直线3. 已知定直线l和I外一点A，过A与I相切的圆的圆心轨迹是()(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)直线4. 一动圆与两圆x2 y2 =1和x2 y2 - 8x *12 = 0都外切，则动圆圆心轨迹为()(A )圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛

26、物线5已知椭圆的焦点是 F1、F2、P是椭圆上的一个动点如果延长F1P到Q ,使得| PQ H I PF21，那么动点Q的轨迹是()6.7.(A )圆已知点A(-2,0)、(A )圆2 28.9.(B)椭圆B(3,0)，动点(B)椭圆与圆x - y -4x=0外切，又与(A) y = 8x(C) y =8x(x 0)2过抛物线y =2x的焦点作直线与此抛物线相交于两点2 2(a ) y =2x -1(B) y = -2x 1(C)双曲线的一支(D)抛物线IP(x, y)满足PA，PB = x2，则点P的轨迹是()(C)双曲线(D)抛物线y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是(2(B) y =8x (x

27、 0)和 y = 02(D) y =8x (x 0)和 y =0 ( x ： 0)P、Q ,则线段2PQ中点的轨迹方程为(2(D) y = -2x 2(C) y =2x-2过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A、B两点，点Q与点P关于y轴对称, O为坐标原点，若(A) 3x23y22(C) 3x2 -3y22BP =2PA，且 OQ AB =1，则点=1 (x 0, y 0)=1 (x 0, y 0)10已知两点 M (-2,0)、N(2,0)点P(x, y)的轨迹方程为(a ) y2 =8x2 2(B)(D)P的轨迹方程是(23 23x y23 22x 3y2=1 (