17-18版第48课直线与椭圆的位置关系

1、第48课直线与椭圆的位置关系最新考纲内容要求ABC直线与椭圆的位置关系V抓基础自主学习 I理教材驱幕自萤测评知识梳理V1. 直线与椭圆的位置关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：aX + bx+ c= 0(或 ay 2(3) 直线y= kx(0)与椭圆/+律=i(a>b>0)交于不同的A, B两点，F是椭 + by + c= 0).考虑一元二次方程的判别式 ,有(1) A> 0?直线与椭圆相交;(2) 二0?直线与椭圆相切;AV 0?直线与椭圆相离.2弦长公式设斜率为k的直线I与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(xi, yi), B(x2

2、, y2),则AB =寸(xi X2 + (yi y2 2 = p 1 + k，丄_ x| = p 1 + k，(xi + X2 )24xix2 ；i + k2lyi- y2|.学情自测i.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x” )(i)直线I与椭圆C相切的充要条件是直线I与椭圆C只有一个公共点.(ii2 2(2)过字+詁=i(a>b>0)焦点的直线b2x= c交曲线于A,B两点，则AB；.(a圆的右焦点，贝U压ABF的最大值为bC.()2 2直线y= k(x1)+ 1与椭圆X + y4 = 1的位置关系随k的变化而变化.()答案“ (2)XV X2X 2

3、2. (教材改编)若斜率为1的直线I与椭圆4 + y = 1相交于A, B两点，则AB的最大值为.生510 设直线I的方程为y= x +1，代入 乡+ y2= 1得4x2 + 2tx+ t2 1 = 0,亠222厂 V5 t240由题意得 = (2t) 5(t 1)>0,即 t<5.°.AB= 4.2X 5.2 23已知F1, F2是椭圆16+卷=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A, B两点，在 AF1B中，若有两边之和是10,则第三边的长度为.AF1 + AF2 = 8,6 由椭圆定义知，两式相加得 AB + AF1 + BF1= 16,BF1+ BF2 = 8,即A

4、F1B周长为16,又因为在厶AF1B中，有两边之和是10,所以第三边长度为 16 10= 6.4.已知F1( 1,0), F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线 交C于A, B两点，且AB= 3,则C的方程为.2 2 2 2x yx y4 + 3 = 1 依题意，设椭圆C：孑+詁=1(a>b>0).过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长AB = 3,.点a 1,2必在椭圆上，1 9亏+话=1.又由c= 1,得1 + b2 = a2由联立，得b = 3, a = 4.2 2故所求椭圆c的方程为x4+卷=1.2 25若椭圆x+2二i中过点p(i,i)的

5、弦恰好被p平分，则此弦所在直线的方x+ 2y 3 = 0 设弦的两个端点分别为(xi, yi), (x2, y2)则x2 yi4 + 2 = 1,2 2X2 y2&+ 2 = 1,-得1(xi + x2)(xi x2)+ (yi + y2)(yi y2)= 0.又 xi + X2 = 2, yi + y2 = 2.yi y2iXi X22i即所求直线的方程为y1 = (x i)，即x+ 2y 3= 0.明考向题型突破| 析典例探求规律方法|I*HI| 定点冋题2 2 1例 椭圆C:拿+古=1(a>b>0)的离心率为2,其左焦点到点P(2,1)的距离为10.(1) 求椭圆C的

6、标准方程.(2) 若直线I: y= kx+ m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标.解(1)因为左焦点(c,0)到点P(2,1)的距离为10,所以2+ c2+ 1 =10,解得 c= 1.又 e= a = 2,解得 a= 2,所以 b2 = a2 C2 = 3.2 2所以所求椭圆C的方程为号+卷=1.(2)设 A(xi, yi), B(x2, y2),y= kx+ m,由弓+红1,2 2 2消去 y 得(3 + 4k )x + 8mkx+ 4(m - 3) = 0,o oo oo o= 64m k -

7、16(3+ 4k )(m - 3)>0，化为 3+ 4k >m .2十 ”8mk4(m 3)所以 X1 + X2 =, X1X2 =.3+ 4k3 + 4k2 2y1y = (kx1 + m)(kx2 + m) = k X1X + mk(x1 + x) + m2 23m 4k.3 + 4k 2且满足3+ 4k m >0.因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点 D(2,0), kAD kBD = 1,所以y1y2X1 2 x 21,23所以 y1y2 + X1X2 2(x1 + X2)+ 4= 0,2 2 2所以3 m 4k综上可知，直线I过定点2, 0 . m 当m= 2k时，I:

8、 y= k(x 2),直线过定点(2,0)与已知矛盾; 当m=学时，I: y = kx7，直线过定点2, 0 . 16mk2 +2 +2 + 4 = 0.3+ 4k3 + 4k3+ 4k化为 7m2 + 16mk+ 4k2 = 0,2k解得 m1= 2k, m2= .规律方法定点问题的求解策略(1) 假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而 该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组， 以这个方程组的解为坐 标的点即所求定点；(2) 从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.变式训练1已知椭圆C: a 2 2 2 2 2 2消去 y 得(3 + 4k )x +

9、8kmx+ 4m 12= 0，M= 64km 4(3 + 4k )(4m 12 ) =0，即卩 m2 = 3+4k2.54km4k设 p(xp，yp)，则 xp=2=， + 4km+器=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A,且 AF = 1.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若动直线I: y= kx+ m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x= 4交 于点Q，问：是否存在一个定点 M(t,0)，使得MP MQ = 0若存在，求出点 M的 坐标；若不存在，说明理由【导学号：62172265】图 48-1解(1)由c= 1，a c= 1，得a= 2，bh. 3，故椭圆C

10、的标准方程为+y= kx+ m，由3x2+ 4y2=铉,4k3 前 J 4k 3)yp=kxo+ + m=m，即P -m，m.->(4k3 ->->->M(t,O),Q(4,4k+ m),：MP =不-1,m ,MQ = (4 t,4k+m),：MPMQ需t j(41)+ 学 &k+ m) = t2 4t+ 3 +1) = 0 恒成立，t 1二 0,故2即t= 1.t2 4t+ 3 = 0,存在点M(1,0)符合题意.”上 性_|定值冋题卜例e=22, 一条准2 2X y(2017南京模拟)已知椭圆孑+希=1(a>b>0)的离心率线方程为x= 2.过

11、椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于 另一点P, P关于x轴的对称点为Q.(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线AP, AQ与x轴交点的横坐标分别为 m, n,求证：mn为常数,并求出此常数.【导学号：62172266】小c 迈 a2解(1)因为a=$, 7 = 2,所以 a= 2, c= 1,所以 b= a2 c2= 1.x22故椭圆的方程为2+y2= 1.(2)法一:设P点坐标为(x , y1)，则Q点坐标为(x , y1).因为kAP =X1 0令y= 0,解得m=X1y1 1y1 1因为kAQ =X1 0y1 + 1X1y1 + 1，所以直线AQ的方程为y= X厂x+

12、1.y1 1 y1 1y1 1帚，所以直线ap的方程为y=1.令y= 0,解得n=-yi+ 1一 X1X1所以mn=x=2X12.yi 1yi+ 11 yi2 2X2X12又因为(X1, y1)在椭圆+ y= 1上，所以2 +1, 即卩12X1所以 2 = 2,即mn= 2.1 yi2X112所以mn为常数，且常数为2.法二：设直线AP的斜率为k(kM0),则AP的方程为y= kx+ 1,令y= 0, 得m=y= kx+ 1,联立方程组x22G+ y =1,o o消去 y,得(1+ 2k )x + 4kX= 0,解得 xa = 0,4kXP =1+ 2k2'21 2k2所以 yp= k

13、xxp+ 1=21 + 2k2f2、4k1 2k2则Q点的坐标为一2, 2j 1+ 2k21+ 2k2 y21 2k2 2 1 1+ 2k211所以kAQ =4k= 2k，故直线AQ的方程为y= 农+ 1. 21 + 2k2令 y= 0,得 n= 2k,所以 mn= k ；x ( 2k) = 2.所以mn为常数，常数为2.规律方法圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1) 求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2) 求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3) 求某线段长度为定值利用长度

14、公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2 2变式训练2 (2017扬州期中)如图48-3，已知椭圆C: /+器1(a>b>0)，1离心率为2过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且AD丄AB.若椭圆C的右准线方程为：x= 4,求椭圆C的方程;k1(2)设直线BD, AB的斜率分别为k1，k2,求订的值.解(1) ce=訂2a=4c12,a = 2,解得lc= 1.2 2b2 = 3,二椭圆方程为 x4 + y = 1.(2)法一：设 A(xi,yi), D(x2, y2)，贝U B( xi， yi).A, D在椭圆上,2 2

15、+ 务 1,2 2a2 + 箸 1.1 1 孑(xi + X2)(xi X2) + y(yi + y2)(yi y2) = 0.1 1晋+ b2kAD kBD= 0,：e2cib求实数m的取值范围； 求厶AOB面积的最大值(O为坐标原点).1解(1)由题意知m o ,可设直线AB的方程为y二一mx + b.由 332 _a_2,，a _4,.水_ 4kAD.31ki4kAD 3AD 丄 kAD,：k；=X= 4.法二:设 A(xo, yo), D(xi, yi),贝UB( xo, yo).则kAD22yi yo yi + yo yi yokBD =2 =xi xo xi + xo xi xo2

16、xi一 2b2 1 72 b2 1 a -2 2 xi xo!b2=j,下同法akAD最值(范围)问题|ll I2卜例已知椭圆号+y2=2X 2.-退+ b2-1=0.m2+ y = X 、 i|1消去y,得运+y=-mx+bix1 t+1 2因为直线y= mx+ b与椭圆2 + y2 = 1有两个不同的交点,24所以= 2b + 2 +肓02(2mbm的距离为d=2. t + 1设AOB的面积为S(t),所以 S(t)=AB db将线段AB 中点M齐，斗代入直线方程y= mx+舟解得m=知-zb£2 + 2 證， + 2b=-歸由得 m< 或 m3当且仅当t2= 1即m=&#

17、177;一 2时，等号成立故 AOB面积的最大值为 土.故m的取值范围是；一,-普6 JU £?,+ X 令t=m e -扌，0 u 0,中，则 AB= t2 +1-2+2+3且O到直线AB规律方法解决圆锥曲线中的取值范围问题的 5种常用解法利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个 参数之间的等量关系.(3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域, 从

18、而确定参数的取值范围.2 2变式训练3(2017常州模拟)已知圆x2+ y2= 1过椭圆予+ b2= 1(a>b>0)的2 2与椭圆学+ £两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线I: y= kx+ m与圆x2 + y2= 1相切,一 231相交于A，B两点.记 AOA OB，且3<冶4.(1) 求椭圆的方程；(2) 求k的取值范围；(3) 求厶OAB的面积S的取值范围.解(1)由题意知2c= 2,所以c= 1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b= 1，故a = 2，x22所以所求椭圆方程为2 + y2二1.(2)因为直线I: y= kx+ m与圆x2 + y2=

19、 1相切,所以原点O到直线I的距离为号一尸1，12+ k2即 m2= k2 + 1.y= kx+ m, 由1+卜1得(1 + 2k2)x2 + 4kmx+ 2m2 2= 0.设 A(xi, yi), B(X2, y2),24km2m 2则 X1 + X2=2, X1X2=21 + 2k1 + 2k2> >22 k + 1=OA OB = X1X2 + y1y2= (1 + k )X1X2 + km(X1 + X2)+ m =2,1 + 2k231由 3=圧 4，得 2 k2w 1,即k的取值范围是-1,-¥ ”厝,2 2 2(3) AB =(X1 X2)+ (y1 y2)

20、2 2=(1+ k )(X1 + X2) 4X1X2=2=2 2k2 + 12,由2< k2< 1,得于三AB< 3.设OAB的AB边上的高为d,贝U d= 1,则S= 2ABd= !AB,所以；4w S< 3.即SAB的面积S的取值范围是 f, 3 .思想与方法1. 有关弦的三个问题涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及 垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问 题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2. 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； 求直线或圆锥曲线中

21、几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些 问题.(2)两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及 意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种 明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本 不等式法、配方法及导数法求解.易错与防范1. 求范围问题要注意变量自身的范围.2中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 40或说明中点在 曲线内部.3. 解决定值、定点问题，不要忘记特值法.课时分层训练(四十八)A组基础达标(建议用时：30分钟)2 21. 如图48-5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆a求椭圆的方程；

22、若直线I: y= kx+ m(kM0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A),线段BC被y轴平分，且AB丄AC，求直线I的方程.【导学号：62172267】x2 y2c V3解(1)由条件知椭圆孑+詁=1(a>b>0)的离心率为e=，+淳=1(a>b>0)过点13A(2,1)，离心率为-y.所以 b2= a2 c2=£a2.2 2又点A(2,1)在椭圆a2+眷=1(a>b>0)上,4 1所以孑+ b2二1,f 2a = 8,解得2b2= 2.k2 2 所以，所求椭圆的方程为X + 2二1.将y= kx+ m(kM 0)代入椭圆方程，得 x + 4(kx

23、+ m)2 8= 0,2 2 2整理得(1 + 4k )x + 8mkx+ 4m 8 = 0.由线段BC被y轴平分，得xb + xc= 8mk2= 0,1 + 4k因为kM 0,所以m= 0.因为当m= 0时，B, C关于原点对称，设 B(x, kx), C( x, kx),2 8由方程，得x =,1+ 4k2又因为AB丄AC, A(2,1),22 28(1 + k )所以 AB AC= (x 2)( x 2) + (kx 1)( kx 1) = 5 (1 + k )x = 5 21 + 4k=0, 所以k= ±2.1 1 1 由于k= 2时，直线y=?x过点A(2,1)，故k= &

24、#169;不符合题设.1所以，此时直线I的方程为y= x.2. 已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,F2的距离之和为4,离心率为弓3.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若直线 尸kx+ 1与曲线C交于A, B两点，求 OAB面积的取值范围.2 2解(1)设椭圆的标准方程为拿+命=1(a>b>0),2由条件可得a= 2, c= 3, b= 1,故椭圆C的方程y4 + x2= 1.(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2),由x2+为=y= kx+ 1,1,得(k2 + 4)x2 + 2kx- 3 = 0,故 x1 + x2=-2kk2 + 4X1Q=

25、 32k2 + 4设OAB的面积为S,由X1X2=3乔<0,知 S= 2(|X1|+ |x2|)= 2|x1 X2|2令 k + 3 = t,知 t>3,k2+ 3 k2 + 42'=1対 + X2 2 4X1x2 =.S= 2t+ t + 2,1对函数 y=t+ (t>3), 知 y'=1-*=字>。,1y= t+ -在 t 3,+x)上单调递增,丄110 门 13*产亍gr-三136,t + - + 2B组能力提升(建议用时：15分钟)2 21. (2017苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:|2+2= 1(a>b>0)

26、过点P 1, 2，离心率为2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线I与椭圆C交于A, B两点. 若直线I过椭圆C的右焦点，记 ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t, 求t的最大值； 若直线I的斜率为¥，试探究OA2+ OB2是否为定值？若是定值，则求出 此定值；若不是定值，请说明理由【导学号：62172268】19 a b2 122解(1)孑 + 话=1，a = 2,得 a = 4，b = 3.2 2所以椭圆C:+卷=1.(2)设直线I的方程为x= my+ 1,直线I与椭圆C的交点为A(x1，y”，B(x2,y2),x= my+ 1,由 x2 y2化简得(3m2 + 4)y2 +

27、6my 9 = 0,易知 40,4+二=1，所以 y1 + y2= 6mc 23m + 4y1y2= 93m2 + 4,33y12y2 2所以 kAP kBP=X1 1 X2 13 339y12 y22 1 y1y2y1+申 + 2= 2 -my1 my2 my1y2丄 3m 4,所以 t= kAB kAP kBP= 1 3=m 4m=1 + 3 2+_9 m+ 8 十 64,89所以当m= §时，t有最大值64.设直线I的方程为y=¥x+ n,直线I与椭圆C的交点为A(xi, yi), B(x2,y2),yj n,x2 y24 +3 二1,得 3x2 + 2 3nx+ 2n2 6= 0,i8= (2 3n)2 4X 3(2 n2 6)>0,即.6< n< .6.xi + x2 =2 '3n3 ,X1X2 =22n2 6OA2 + OB2 = xi + yi + x2 + y2= (xi + x2)+ (y2 + y2)2 2=xi + x2 +密X2+ ngx2 + x2) + V3n(xi + x2)+ 2n=4(xi + x2)2 |xix2 + . 3n(xi + X2