不等式基础水平必备

1、不等式基础必备第7 页不等式基础必备、基本不等式的公式1、均值疋理： Qn亠A*亠Gn亠H n （当且仅当a = a? = . = a“时取等号）例如：街=1，a2=2，求 Qn、An、GnHn，并比较它们的大小1 21.52GnJ2 1.4 ；可见：有 Qn 一 An _Gn 一 Hn2 2Hn 1 1 2 1r 1 2 241.332、指数不等式：ex 一 1 x （当且仅当x = 0时取等号）从大到小的顺序是：平方算术，几何调和注解:由于要求不等式右边1 x 0，故： 记忆方法见函数图.曲线y=ex在x R区间都处在直线的上方，仅在x=0处相切.即：exX X -1y（y = 1 十 x

2、1 + x玉1十X，Ox注解:Qn平方平均值：。屮+宀”2 ；An算术平均值：Aa1a2.an .An 一nGn几何平均值：Gn 二 na1a2.an ；Hn调和平均值：n仃n1111 + 1 + + 1H na1a2ana1a2an其中， a1,a2,.an 0当且仅当x = 0时取等号.例如：X =1时，左边ex 2.718，右边1 X =2故：ex _ 1 x3、对数不等式：Inx冬x-1 （当且仅当x=1时取等号）注解：由于0和负数没有对数，所以：x 0 记忆方法见函数图.曲线y = In x在x 0区间都处在直线y = x 一 1的下方，仅在x=1处相切.即：lnx_x 1，当且仅当

3、x =1时取等号也可以由ex _ 1 x得: ey_ y两边取对数：y-1_lny，即：Inx乞x-1例如：x = e时，左边 In x = Ine = 1，右边 x - 1 二 e -11.7181，故：In x _ x - 14、柯西不等式：(a12 a22. an2)(b12 b22. bn2) 一心估 a2b2. anbn)2(当且仅当旦=乜=.=玉时取等号)b1b>S注解：设向量 (a1,a2,.,an)，向量= (b1,b2,.,bn)，则 Af =a/ +a22 + . +an2，= b/ + 2 + . + g2，A B 二aqbq a2b2 . anbn由向量公式：A

4、BJABcosc A,B>得：A ”两边自乘得：A2|B >(A B)2将上面的结果代入得：(a12 a22 . a*2)®2®2.垢2) 一 心佝 a?® . anbn)2例如：a1，a2 =2，J =3，- =4贝U: a/ =1， a22 =4，(a12 a22) =5 ；b/ =9，b22 = 16，(b12 b22) = 25 ；(a12 a22)(b12 b22)=5 25 =125 ；22aqbi =3 , a2S =8 , (a1b1 a2b2)= 11= 121 .(a12 a22)(b12 b22) = 125121故：(a/ a?

5、2)®2 也2)_ (aqbq a2b2)25、琴生不等式：注解： 设在x a,b区间f(x)为上凸函数，如图即f(x)的二次导数f''(x)空0 ,贝归f(a) f(b) a巴2 2图中，A点为均值的函数值，B点为函数的均值.即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值 设在x a, b区间f (x)为下凸函数，如图即f(x)的二次导数f “(x) 一0 ,贝归 f(a) f(b)_f(a b)2 2图中，A点为均值的函数值，B点为函数的均值.即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值 上面的式，称为琴生不等式.° ab° ab例如：对于函

6、数f(x) =sinx，在0,二区间为上凸函数,因为 f '( x) =cosx， f ''( x) = -sin x 兰 0 (0,兀)jI/故：f(x)=sinx在xE0,jt区间为上凸函数.此时，a =0，b "，则 a +b = 31OB兀2 2f(a) = f(0)=0， f(b) = f)=0，即：他0=0 ；2 2而心）1.故：f（a）f（叽2 2a bfhr)例如：二次函数f（x） = x22x1因为 f'(x) =2x 一2， f ''(x) = 20所以f（x）下凸函数.在 x 0,2区间有：f（0） =1，f(2)

7、 = 1 ,f(1) =0即: a-f()故:f(0)f(2)02f()其实，在R区间，都满足f(a) f(b)a +b推广为一般形式对于（a,b）的上凸函数，即：f“（x）0，有:X1，X2,，Xn (a,b)Xi，X2,，(a,b)f(X1)f(X2). f(Xn)r(X1X2. Xn)nn对于（a,b）的下凸函数，即：f“（x）_ 0，有:f(X1) f(X2)f(Xn)f(X1 X2 . Xn)nn这就是琴生不等式.注意不等号的方向与二次导数的方向一致6、伯努利不等式：（1 x） 1 nx （ x -1）注解：由二项式定理得:(1 +x)n =cf0 + Wx +c(x2 +.+cnx

8、n = 1 + nx + g(x)在x -1时，g（x） 一 0，即：（x）n_nx （仅当n = 1时取等号）例如：当 x=1， n=2 时，左边（1 x）n = （1 1）2 = 4，右边 1，nx=1，2 1=3故：（1 x）n -1 nx7、向量不等式：III向量三角形：豪+b勻柑b和网嗣申_片向量点乘：a b乞a b注解：由a，|b，a+b构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得.由罔，b，ab构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得；'I'由向量积的公式得：a b = a bcos. a,b < aib，即:a a b ； 若 a 二忌舄)，b =(b|,

9、b2,d)，贝 U： S 4=站乂 azd asd上面这几种基本不等式的简单记忆方法：均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣；柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述不等式的解法统称“公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用 的尽量使用.不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用 上述不等式.二、求不等式的基本方法1作差法：将比较的两对象相减后，其差与 0比较大小的方法.注解：最常用的是构建函数法.例如，证明f(x)_g(x)，则构建h(x) = f (x) - g(x)2、 作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与 1比较大小的方法.注解：例如，f(x)_0， g

10、(x)_0，证明f(x)_ g(x).将其变形为 丄凶 与1比大小.g(x)3、公式法：用前面不等式的公式得到结果的方法.注解：即均值定理、柯西不等式等.4、单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法.注解：例如，函数f(x)在区间a,b单调递增，则有：f(x) f(a)，f(x)乞f(b).5、放缩法：由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小 者变得更小；从而使问题得到解决的方法.注解：例如，n 0，原本n2二n2，将右边减小变为n2n(n-1)式就是放缩法的结果6、判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：判别式 _

11、0 .这里就自然出现了不等式注解：本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式 7、 换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化. 注解：特别是三角换元法因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式此法要求常用的三角恒等式必须熟悉注解：例如，在放缩法中的式，进一步得:11 112n n(n - 1) n -1 n8裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法n 1这样'如果是求和，则可得结果:nZk =11k2-1J k，2k z2 kn1亠二(k =21k 一1111-)=1 (1 - )= 2 - knn1 1

12、1其中的丄是裂项.n(n1) n1n在求和过程中，好多项相互抵消n' (k -21k 一11 11 11 1丄)=1 一丄nn9、倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法 注解：例如，求S 1 2 3 . n .其倒序后为：Sn = n (n - 1) 2 T .这两个式子按序相加后得:2Sn =(1 n) (2 n -1) . (n 1)其中，每个圆括号内的值都是(n 1)，共有n项.故结果是:2Sn 二 n(n 1)，即:Snn(n 1)210、极值法(最值法)：求出函数f(x)在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法不

13、等式基础必备注解：函数f(x)在X. R区间的最大值是8,则有f(x)乞811、积分法：积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法 .如果函数是单调的，函 数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.注解：积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量 上面这几种求不等式的基本方法简单记忆：作差与0比大小，作商与1比高下；套用公式得结果，单调放缩有小大；二次函数过零点，判别式与换元法；倒序相加来求和，裂项相消去简化；极值最值亦可得，单调积分号方法an+bn a + b例题已知：a,b 0，n N*，n 一2，求证：-一_ (- b)n2 2证明：用均值定理：An -Gnn nn nn na b a ba b(丁)(F)-n _1n n即: an (n-1)(Ly-)- nan (n-1n=na(b)=2222第9 页同理：nnnn n _1bn (n-1)(a )_nb(a ) n2 2(an bn) (n -1)(annbn) _n(a b)(即