双曲抛物面薄壳屋盖的制作造型设计

1、双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计摘要采用钢筋混凝土双曲抛物面（马鞍面）薄壳作为屋盖，具有利于排水、防止渗漏、减 轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点，可以用于厂房、商场、 影剧院等民用建筑<>本文是以一个单块双曲抛物面薄壳屋盖为例子研究马鞍面双曲抛物面薄壳屋盖的 制作、造型设计。针对预应力钢筋、锚固面等问题展开研究,用数学建模方法深入探 究其原理。通过查资料所得到的直母线方程以及题中所给的资料写出直母线投影在xoy平面 上的直线方程,再计算出截距,除以两钢筋的间距得出钢筋根数的表达式；再通过题中 所给条件及查阅所的资料得出锚固面方程,方程联立得出直母线与锚固面

2、交点的表达 式,通过对方程的联立以及化解解答题中所提出的问题。关键词:双曲抛物面细石混凝土薄壳屋盖预应力钢筋1问题的背景在党的领导下，在建字第02部队、铁路局昌平构件厂、首钢建筑公司的帮助下，组成 由工人、干部、技术人员参加的"三结合"试验研究小组，群策群力，把革命干劲和科学 态度结合起来，于1973年年初，在冶金部建筑研究院，建成一项双曲抛物面薄壳屋盖（简称 双曲薄壳）的试验性工程。从1973年以来，在设计的一些建筑屋盖中采用了双曲抛物面（马鞍面）结构。采用钢 筋混凝土双曲抛物面（马鞍面）薄壳作为屋盖，具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节 约材料、受力性能较好、刚度较大、

3、造型优美等优点，可以用于厂房、商场、影剧院等 民用建筑。2问题的重述1. 就单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题,用数学建模的方法解决以下问题：1.1.把预应力钢筋理想化为一维的直线。利用双曲抛物面是直纹面的特点，把预应力钢筋安置在两族直母线处，即在跨中端面处抛物线乙=1O处安放两族直母线钢筋并固定（锚固）在过原点（0,0,0）的O.L2.W直母线与平面y = ±b±£ （f, =0.8 m）相交的点处与该直母线垂直的锚固面上。a. 能安排多少根过点/ 空卄的直母线钢筋。写出这些空间直线的方程，并图示 之。b. 写出锚固面的方程，并写出直母线和锚固面的交点的表示式。

4、c. 求出直母线之间的交点的表示式。d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角，以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢 筋。e. 根据前面的数据以及山 =0.1m,具体计算a - d。f. 编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序（软件）。1.2如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线，请回答Z = fx a. 圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在乙丿临近的哪些点处。写出这些中心轴线的方程，并图示之。b. 写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式。c. 要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交。它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投影 是可以相交的，写出交点的表示式。计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力

5、钢筋之间的距离，要尽可能小(最好为零)。d. 编制一个通用的程序(软件)。2. 双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计请利用几种双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观的屋盖造型。写 出它们的方程，并图示之。如果可能，请说明它们可以用在什么地方。单块双曲抛物面薄壳屋盖的示意图及其数学方程见(附录1L把直径为6 mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线" = “0)的临近处从原点(0Q0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋，然后再浇注混凝土或树脂。示意图见(附录2图一丄相关图组及其描述见(附录2'3基本假设(1) 针对问题1中,假设钢筋可理想化为直线;(2) 假设放置直母线钢筋

6、的间距是相等的，不受外界因素的影响；(3 )假设在计算过程中的误差在误差围；(4) 假设在方程式化简过程中没有出现错误；(5) 假设双曲抛物面薄壳屋盖是个规则的不易受外界影响的；4模型的符号说明§ :屋盖的垂直厚度2:翼缘宽度“：板宽之半b:屋盖长度之半0 :挑檐长度U :族直母线V : U以外的另一族直母线N1 :平面1的方向向量N2 :平面2的方向向量N3 :平面3的方向向量N4 :平面4的方向向量N2 : V族直母线在xoy面上的方向向量 ° :锚固面与U族直母线的夹角5模型分析建立及求解在对于1.1问题，由于把预应力钢筋理想化为一维的直线,又因为双曲抛物面的方程为:

7、2y b丿x<a,y<b、2方丿/ 2MAfx fya< x< a + A,-a - X<x< -c/,|y| < bZi(x,y) = z2(x,y)-S在双曲抛物面薄壳屋盖的制作过程中，预应力钢筋是位于屋盖的中间层z因此,我们选取马鞍面的方程应该是：Z二 a该面上的两族直母线：u族直母线:其中u为参数。与平面2:的交线。该直母线是平面1:平面1的方向向量为nl二(平面2的方向向量为n2=()所以U族直母线的方向向量求出v族直母线：其中v为参数。该直母线是平面3 :与平面4 :的交线。同理可得平面3的方向向量为：n3 =平面4的方向向量为：n4所以V

8、族直母线的方向向量求出两族直母线投影到xoy平面上,U族直母线的方向向量为V族直母线的方向向量为对于U族直母线和V族直母线所在的预应力钢筋数目是相同的。对u族直母线：设直母线在xoy面上得方程为x二ky+m其中m二k Ax在xoy面上的方程为：其中u直母线经过点(a,b),解得所以对于该族直母线而言，总共有即放在u族直母线所在位置的预应力钢筋的根数为，同理可得对应的在v族直母线所在位置的预应力钢筋的根数也为代入以下的方程：得到m二0.505,能安排22根过点z=fAy的直母线钢筋。b. 锚固面在过原点(°，°，°)的直母线与平面y =(f-=0-8 m)相交的点处

9、与3丿直母线垂直 的锚固面上.过原点的直母线方程根据方程x二与y=±b土£到两方程的交点为(=0.8 m)得v(x-f)+?<y-b)=0根据题意得到锚固面的法线向量为直母线的方向向量为,根据方向向量和交点()得到锚固面的方程为(x-) + (y-b)=0U族直母线与锚固面的交点:V族直母线与锚固面的交点:c. U、V族直母线分别投影到xoy平面的方程为它们的交点为匚则直母线之间的交点为：d. U族直母线的方向向量为：V族直母线的方向向量为：锚固面的法向向量为：所以锚固面与U族直母线 的夹角为：1© + k2)Ax 虑他-k2)Ax &珂&厲

10、十嘉尸 一 fyg 一 k2)2)12，2蚯碍锚固面与V族直母线的夹角为： 锚固面的方程为：(x-) + (y-b)=O所以锚固面与U族直母线的交点方程是:与V族直母线的交点方程是:交点坐标为（ba b晋卜縈）译fx = 0.6 m; fy = 0.26 m; a = 1.48 m; b = 8.25 m; 8 = 0.025 m; 2 = 0.11 m.代入以 上的方程可求的我们想要的结果。f.只要求用matlab绘制图和的图像，其中七sysb f -a<x<a2、把钢筋看成是圆柱体，并由1.1问题中，通过计算的到m二0.5.则在xoy平面对于v族直母线;钢筋的中心轴坐标(x z

11、 y )依次为 其中n=l,2,3，11圆柱形预应力钢筋中心轴线应该安置在双曲抛物面"£ (吕 点为:，其中n二1,23Ho且V族直母线在xoy面上的方向向量为再根据点斜式得到中心轴线的方程为：（住严2123，11.b.锚固面的方程:中心轴线的方程:联立中心轴线与锚固面的方程得到交点V族中心轴线在xoy平面上的方程为： u族中心轴线在xoy平面上的方程为：所以它们在xoy平面上的交点可以表示为：6模型评价6.1优点建立的模型在算法总体上较为简单,只利用了几个公式，便于理解,并且易于应用 于现实生活中。计算结果的准确性高,利用数据可以完全求的最后结果。6.2缺点正因为算法较为

12、简单,利用的公式等数据有限，因此所得出的结果并不能作为广泛参考,只能作为研究是粗略参考所用。6.3模型的应用模型可应用于同类型数模计算,以及用于研究参考参考文献:1姜启源等,数学模型，M,:高等教育，2003。2吕林根,解析几何 第四版,高等教育，2005。3中国知网，关于双曲抛物面扁扭壳的应用，附录：附录1 :单块双曲抛物面薄壳屋盖的示意图及其数学方程：Zl(x,y) = z2(x,y)-S其数学表示由上面两个曲面和Z2(x,y)以及平面X = ±a, y = ±b围成的空间 区域构成。附录2 :相关图组及其描述图1马鞍面薄壳配筋示意图a）配筋特征图;b）预应力钢筋投影在x - y平面上的