线性代数期末考试试题A及解答

1、线性代数期末考试试题A及解答学年 第2学期线性代数A试题阅卷教师:考试时间：考试班级学号姓名成绩一 2' 17填空1. 五阶行列式D aij展开式中有一项为 玄仆氐玄厶厶玄彳他彳，此项前面应带的符号3 -42为。三阶行列式d35 710第二二行元素的代数余子式之和-6 422.向量组 1= 122 1，22101 , 32 k 42，当 k时线性相关，此时r 123，其中一个极大无关组为。3. 若(1 2 3),(3 5 2)，则 A T , ( T )1° 4. A是m n矩阵，B是n s矩阵，若AB 0,则r(A)。5. 四阶矩阵A的行列式A 2,则丄A , A* A 1

2、 , A的|A| 列向量组线性关。0 0 1991 2 31 01006.0 1 04 56 1 10。1 0 07 890 017 .A是54矩阵,B是45矩阵，贝U AB。又若AB 0,则r(A) r(B)8.三阶矩阵A的行列式A 2,矩阵I A不可逆，A i 2山i 0),则A的三个 特征值为。实对称矩阵B与A相似，则|2B 1 l| ，二次型f(X1,X2X) XtBX的规范形为6' 8' 8'计算题1求行列式值（其中 x a,y a）2、三阶矩阵A10-1-1 11 -10 -1，矩阵X满足A*X 4A1 X，化简此矩阵方程并求矩3、设四阶矩阵a 112111

3、21，问a取何值时矩阵A的秩r（A） 4，并在r（A） 3时求出齐次线性方程组 AX0的一个基础解系。1 1-313三（12'）设线性方程组 21-54x2k ，当k为何值时，方程组有解,4 3-116X310X4并在方程组有解时写出方程组的通解。2 11四（8'）设矩阵Ak 2k ，且A能与对角形矩阵相似，求参数k的值。1 10五（14'）二次型仁捲必兀）2x22X1X32x2X3（1）写出二次型的矩阵A。线性代数A 参考答案及评分标准一、填空1、负；46。2、4； 21与2。35 23、6104 ; A。4、n 。915 6AA87895、1J1;无6、5456。8

4、221237、0；4。&2, 1,12 2 2；2; X1X2X3。二、计算x a aXX aa x y a-（3 分）=1、DX a a aaX（5 分）=(xy3a22ay)(x a2、解:原式两边左乘A得 A|X AX 4I211AAI021 -（4 分），（/100004X448-（8 分）8416X a(a x) a(a x)a(a x)a x a x a xx ax ax ay ay ax a)2 -（6分），所以X4(A|Al)T -(2 分)0 01AI)11 12 (7 分)2 143、解：由 r（A）（1 分）a14,可得112 1 1 a 112 a 2 21 0

5、 11（1 分）11-11a 1时，r（A） 3,A0-21-100100000得到齐次线性方程组的基础解系（1 -1 02）T1131311313A 2154k0112243116100000k 4=（a - 2） （a -1） （2 分）,所以 a 2或a 1（3 分）（2 分）12x33x41此时方程组的一般解为：X2X32x4得2个特解0X30X4023导出组的一个基础解系，111? 220（10 分）01故k 4时，r（A） r（A%，方程组有解 （4分）匕！ k2 2 （ K , k2为任意常数）（ 12分）0通解为X四、I -A-2 k 11-2-1-1k21） （ 2） 0，得

6、到A的特征值11,（4 分）111 时，（I A）0 ，所以 k 1时，r（I A） 1，0从而A属于特征值1有两个线性无关的特征向量, 因此A有三个线性无关的特征向量。所以k 1时，A能够与对角形矩阵相似。（8 分）0五、解：1、A 11（2 分）2、据题意A的特征值为1,（4 分）21时，得标准正交向量,q2（8 分）2时,1得 q3 1（10 分）令正交矩阵T q1 q2 q3，则 T 1AT TtAT1，上述正交矩阵T所2得正交变换X TY即为所求（12分）（14 分）3、此二次型矩阵特征值有负值，故二次型不正定1、证明：Q(A 3I)(A 21) A2 5A 6131 (3 分)11(A 3I ) (A 2I ) I，故(A 3I)可逆，且(A 3I) 1 (A 21)- (5 分)332、证明：因为A为正交矩阵且|A 0 ,|A 1 (1分)A l| A AAt |a I At |I A ( 1)5|A I|A l| (4分)A I 0,故 r(A I) 5 (5 分)（2） 用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换X TY以及二 次型的标准形。（3）此二次型