直线和圆锥曲线题型归纳

1、直线和圆锥曲线题型归纳直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情 况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行 于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所 组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：(1)直线的斜率不存在，直线的斜率存在，(2)联立直线和曲线的方程组；(3)讨论类一元二次方程(4) 一元二次方程

2、的判别式(5)韦达定理，同类坐标变换(6)同点纵横坐标变换(7) x,y，k(斜率)的取值范围(8)目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围运用的知识：1、 中点坐标公式：$,y二上y2，其中x, y是点A(xn yj，B(X22)的中点坐标2 22、 弦长公式：若点 A%,%)，B(x2,y2)在直线 y 二 kx b(k = O) 上, 则y-!二kx, b, y2 =kx? b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB =(为X2)2 +(力y2)2 =/为X2)2 +(心kx2)2 = J(1 + k2)(X!X2)2f ：(1 k2)(x, X2)2 -4住或者 |A

3、B = J(x, X2)2 +(y, y2)2 =(*为y2)2 = J(1 +右)( y2)2 (1 ：2)(% *2)2-4%丫2。3、两条直线 h : y = k,x b,l2 ： y 二 k2x p 垂直：则 k,k2 - -1两条直线垂直，则直线所在的向量 ：甘2=04、韦达定理：若一元二次方程ax2 bx 0( 0)有两个不同的根X4,x2，则beX1 X2,XjX2 ：aa常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型

4、八：角度问题问题九：四点共线问题冋题十：范围冋题（本质是函数冋题）冋题十一、存在性冋题：（存在点，存在直线 y=kx+m，存在实数，存在图形：二角形（等比、等腰、 直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系2 2例题1已知直线l : kx 1与椭圆C ：- y =1始终有交点，求 m的取值范围4 m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0, 1），椭圆的特点是过定点（ -2 , 0）和（2 , 0）,和动点（0, 一 . m）,且m = 4。2 2解：根据直线l : kx 1的方程可知，直线恒过定点（0 , 1）,椭圆C ： =1过动点4 m2 2（0,

5、且m式4如果直线l：y=kx+1和椭圆C: +=1始终有交点，贝U 7m >1,且m式4 ,4 m即 1 _ m 且 m = 4。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：l:y=kx，1= 过定点（01）I : y 二 k(x 1)=过定点(-1, 0)I : y-2 二 k(x 1)二过定点(-1, 2)证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习：1、过点P（3,2）和抛物线y=x2 -3x-2只有一个公共点的直线有（）条。判断点P（3,2）相对抛物线的位置。解：抛物线y =X2 -3x -2如图，点P （3, 2）在抛物线的内部，根据过抛物

6、线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点2 _ _P（3,2）和抛物线y=x -3x-2只有一个公共点的直线有一条。故选择 D规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在抛物线外，则过点 P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；12条：一条切线，一条和对称1条：和抛物线的对称轴平行2条：和双曲线的渐近线平行3条：一条切线，2条和渐近线(2) 若定点P在抛物线上，则过点 P和抛物线只有一个公共点的直线有 轴平行或重合的直线；(3) 若定

7、点P在抛物线内，则过点 P和抛物线只有一个公共点的直线有 或重合的直线和抛物线只有一个交点。、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况:(1) 若定点P在双曲线内，则过点 P和双曲线只有一个公共点的直线有的直线和双曲线只有一个公共点；(2) 若定点P在双曲线上，则过点 P和双曲线只有一个公共点的直线有平行的直线；(3) 若定点P在双曲线外且不在渐近线上， 则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线;(4) 若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公 共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；(5)

8、 若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知 识是：垂直(两直线的斜率之积为-1 )和平分(中点坐标公式)。例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N : y2 =x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点 E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0 ;若不存在，请说明理由。分析：过点T(-1,0)的直线和曲线 N : y2二x相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0,可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别

9、式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再 由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的上32倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知，直线的斜率存在,且不等于0。设直线 l:y = k(x+1)，kH0，A(x1,y1)，B(X2,y2)。y;k(x 1)消y整理，得y 二Xk2x2(2k2 -1)x k2 =0直线和抛物线于两点，得厶=(2k2 -1)2 -4k-4k2 10 即0 k2 -4由韦达定理，得：x12 22k2 12k2 1 12, X1X2 =1。则线段AB的中点为(2，)k22k2 2k线段的垂直平分线方程为:21 /1 2k、入/口1(x

10、 厂)，令 y=0,得 X。：k2k22k2-，则 E(12k2-i，0):ABE为正三角形，.-,0)到直线AB的距离d为' 32k 22|ab。:AB|.；（X1 X2）2（力y2）2J -4k2k2U.1 - k23,1 4k21k2dJ思维规律：直线过定点设直线的斜率 k,利用韦达定理法，将弦的中点用 k表示出来，再利用垂直关系2k2L.'1 - k22k解得k 39满足式此时xo = 5。133将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的3倍，将2k确定，进而求出Xo的坐标。2例题3、已知椭圆 y2 =1的左焦点为F, O为坐标原点

11、。(I)求过点 O F,并且与X - -2相切2A、B两点，线段 AB的垂直平分线与 x的圆的方程；(n)设过点 F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于分析：第一问求圆的方程，运用几何法:圆心在弦的垂直平分线上，圆心到轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。25切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦 AB的斜率，得到线段 AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。2 2解：（I） / a =2, b=1,. c=1 ,F（-1 , 0）

12、,l:x=-2.1圆过点 O F, 圆心 M在直线x=-上2设M(- jt )，则圆半径：r=|(-1 ）-（-2）|=13厂由|OM|=r,得；(一丿72工，解得t= -2,所求圆的方程为(x+)2+(y ± 2)2=9.2 4(II)由题意可知，直线 AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k丰0),2 代入 x +y2=1，整理得(1+2k2)x 2+4k2x+2k2-2=0设 A(xi，yi)，B(X2, y»，AB 中点 N(xo,yo)，贝卩 xi+xi=- 4k2k2 +1Xo9(x1 x2) 一2k22k2 1yo =k(x°

13、;1)k2k2 171 AB垂直平分线NG的方程为y _y0 = 一一(x_x0)k令 y=0，得 xC = x0 ky0 口2k2 k2k2112+ 2= _ 2= + 22k 1 2k 1 2k 12 4k 21 1k = 0,Xc : 0. 点G横坐标的取值范围为(-一,0 )o2 2技巧提示：直线过定点设直线的斜率k,利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来, 围问题，就是函数的值域问题。2x2a练习1：已知椭圆C :2b2就求出了横截距的坐标(关于k的函

14、数)。直线和圆锥曲线中参数的范3T0)过点(1,2)，且离心率e(I)求椭圆方程；(n)若直线丨：y = kx m(k =0)与椭圆交于不同的两点 M、N1 点G(,0)，求k的取值范围。8且线段MN的垂直平分线过定分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到3a, b的关系式，再根据“过点(1,-) ”得到a,b的第22k,m的不等式，再根据韦个关系式，解方程组，就可以解出a,b的值，确定椭圆方程。第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出 达定理，得出弦 MN的中点的横坐标，禾U用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点1G(,0)，得垂直平分线的斜率，有垂直

15、平分线的斜率和弦的斜率之积为-1,可得k,m的等式，用k表8示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。1b21222解：(I) 丁 离心率 e ,2 =1 -=，即 4b =2a (1 )；2 a 44319又椭圆过点(1,一)，则二 2 =1 , (1)式代入上式,2 a 4b解得a2 = 4 ,b2 = 3，椭圆方程为2 2x y1。43(n)设 M (%,yj. Ng, y2)，弦 MN的中点 A(Xo,y°), y 二 kx m +222由 fex2.4y2.12得：(3+4k)X 飞氏十伽 3， 直线丨：y = kx m(k =0)与椭圆交于不同的两点,.'： =6

16、4m2k2 -4(3 4k2)(4m212) 0，即 m2 ： 4k2 3 (1)4mk23 4k,y0= kx04mk2m _ _3+4k3m23 4k直线AG的斜率为:Kag3m3 4k24mk 13 4k2824m-32mk-3-4k2由直线 AG和直线 MN垂直可得:2话Lk7即m譽，代入(1)式，可得由韦达疋理得：28mk4m -12x1 x22 , x1 x22 ，1 23 4k23 4k2分析：由F2C =F2D得，点C、D关于过F2(3 也)2 <4k2 3，即 k2 ，则 k 丄5或k5。8k201010老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的

17、斜率，就直接设直线的方程为：y =kx m，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习2、设F!、F2分别是椭圆 1 1的左右焦点是否存在过点 A(5,0)的直线|与椭圆交于不同54的两点C、D，使得F2C =F2D ?若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.线对称，由直线 l过的定点 A(5,0)不在 y1的内部，可以设直线l的方程为：54y二k(x-5)，联立方程组，得一元二次方据判别式，

18、得出斜率 k的取值范围，由韦达得弦CD的中点M的坐标，由点 M和点F11标，得斜率为，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。k解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线 I的方程为:y = k( x 5),(k 0) ， C (x<i, yj、D (x?, y2)， CD 的中点 M (x°, y0)。由 y；k(x；5) 得：(4 5k2)x2-50k2x 125k2-20=0, 4x2 5y-20又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则：=(50k2)2-4(4 5k2)(125k2-20) 02即 0 :： k由韦达定理得:50k224 5k

19、125k2 -2024 5k25k224 5ky° 二 k(x° _5)=k(25k224 5k-5)-20k24 5kM(25k224 5k20k24 5k又点F(1,0)，则直线MF2的斜率为kMF20k4 5k25k25k 彳 1-5k22 -14 5k根据CD _ MF2得:kMFzLkr-1，即5k21 -5k2=_1，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件#的直线。老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题， 即对称问题分两步: 第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程(或类一元二次方程)，通过判别式得不等式，由韦

20、达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定 要满足判别式。题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些 性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以 前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循 的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考 题领略一下其风米。

21、例题4、已知椭圆C22xy22 =1(a b 0)的离心率为ab，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A 2(2,0)。(I)求椭圆的方程；(II)若直线I : X =t(t 2)与x轴交于点T,点P为直线I上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线 PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是 A1(-2,0)和M,通过韦达定理，可以求出点 M的坐标，同理可以求出点 N的坐标。动点P在直线l : x =t(t 2)上，相当于知道了点 P

22、的横坐标了，由直线 PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线 MN的方程,将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。解：(I)由已知椭圆C的离心率e=c 3 , a = 2,则得c=.J3,b=：1。从而椭圆的方程为 y2a 24(II )设 皿(为，)，N(X2,y2)，直线A1M的斜率为ki,则直线 AM的方程为y=K(x+2)，yk1(x 2)消 y 整x2 4y2 =4(1 4k；)x2 16k2x 16k2 4=0:-2和咅是方程的两个根,-2片M的坐标为4K ),2 -8好X1 :1 4k； y1

23、 =1 4k：，即点(2-8«21 4k2 i 4 k；118k2 2-4k同理，设直线 A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(一2夕， 务) '1 + 4k； 1+4k；:yp *(t 2), yp *(t -2)2k, k2 t '丁直线MN的方程为：y 一 y1 = y2 一 y1X - x1 x2 -x1二，将点 m、N的坐标代入，化简后得：xt椭圆的焦点为(.3,0)故当t时，mn过椭圆的焦点。3方法总结：本题由点A(-2,0)的横坐标2是方程(V 4k')x2 16k2x 16k" - 0的一个根，结合韦2达定理运用同类坐标变换，得到点M

24、的横坐标：x = 8k2 ,4佥 ；2 ；1 4k11+4匕再利用直线AM的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：y11y=k2(x-2)2 2216kf4其实由 第22 消y整理得(1 4k；)x2-16k2x 16k；-4 = 0，得到2x22厂，即x 4y 41 4k28k2 -24k21 4k；很快。不过如果看到：将-2"1中的k1用k2换下来，X1前的系数2 用- 2换下来，就得点坐标（一2 2,务），如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少'l+4k； 1+4k|计算量。在N的坐标代入，化简X2%X =y1_x,y2，将点 Mx 二4

25、，由- t t二入解出3，到此不要忘了考察33是否满足t 2。3另外：也可以直接设 P（t， 通过韦达定理求出yo），通过Ai, a；的坐标写出直线PAi, 的坐标，再写出直线 MN的方程。再过点PA；的直线方程，再分别和椭圆联立, F，求出t值。例题5、 最大值为3;（07山东理） 最小值为1 ；已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在（I）求椭圆C的标准方程；x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的（H）若直线丨：y =kx m与椭圆C相交于A , B两点（A, B不是左右顶点），且以AB为直径的圆 过椭圆C的右顶点。求证：直线 丨过定点，并求出该定点的坐标。分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程

26、；第二问，直线l: y二kx m与椭圆C相交于A ,B两点，并且椭圆的右顶点和 A、B的连线互相垂直，证明直线 丨过定点，就是通过垂直建立 k、m的一 次函数关系。2 2解（I）由题意设椭圆的标准方程为务每=1（a b 0）a b2 2a c=3,ac=1, a=2,c=1,b2=3- y 143J-y 二 kxm222（H）设 AS）®"），由 3x2 4y22得（3 4k）x 8mkx 4（m 一3"0，=64m2k2 16（3 4k2）（m2 一3） 0, 3 4k2-m2 .0x-ix2 二8mk3 4k2,Xi4（m2 一3）3 4k2(注意:这一 &#

27、39;步是 同类坐标变换)3（m2 4k2）3 4k2(注意：这一步叫同点纵、2 2y y2 二（k m） （kx2 m）二 kmk（x-i x2） m横坐标间的变换)/以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),且kAD *bd二-1，二 =一1， %丫2+X/2-2(咅+x2)+4 = 0，为一2 x2 -22 2 23(m -4k2)4(m2 -3) 16mk224=0，3 4k 3 4k 3 4kk7m 16mk 4k = 0，解得 m- - -2k, m2 二 了，且满足 3 4k - m 0当m=-2k时，l:y=k(x-2 )，直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k222当m时，

28、l : y二k(x )，直线过定点(亍,0)，综上可知，直线l过定点，定点坐标为(刁，0).名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为-1，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出I: y =kx - m，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。练习：直线I: y =kx m和抛物线y2 =2px相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明: 直线丨：y =kx - m过定点，并求定点的坐标。分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点 O,则OAOB，若设A(x1,y1),B(x2, y2

29、)，则xx2 yy2 =0, 再 通 过 y2 二(kxi m) (kx2 m)二 k2%x2 mk(x1 x2) m2 ， 将条件 转化为2 2(k 1)x1x2 mk(x1 x2) m =0，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到x1x2，x x2，解出k、m的等式，就可以了。丨y kx十pm解：设 A(X1,yJ,B(X2, y2)，由 2得，ky2 -2py 2mp = 0，(这里消 x 得到的)ly =2px则 =4p2-8mkp0 (1)由韦达定理，得：力丫2二2,y2二如,kkk2则 xx 力 -m2 -m y2 -m(% ") +m2 k=1#/以AB为直径的

30、圆过抛物线的顶点O,则 0A _ 0B,即卩 x1x2%y2 = 0,可得_m( "2 y2) % y2 = 0，贝U (1 k2)2mp - 2pm m2k = 0 ,k22即 k 2mp m k = 0，又 mk = 0，则 m = -2kp，且使(1)成立，此时 I: y = kx m = kx _2kp = k(x -2 p)，直线恒过点(2 p,0)。名师指点：本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换 韦达定理，同点纵、横坐标变换 直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？题型四：过已知

31、曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二 次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面 我们就通过例题领略一下思维过程。2 2 _例题6、已知点A、B、C是椭圆E：冷爲 h （a b 0）上的三点，其中点 A （2、3,0）是椭圆的右 a b顶点，直线BC过椭圆的中心O,且BC如图。（I）求点C的坐标及椭圆方程；（II）若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜»兀=0ACO2，又；A (2.3,0)点C的坐标为C 3八3）。A（2、3

32、,0）是椭圆的右顶点,-a =23，则椭圆方程为:2 2x y12 I12 b21卜AC解：（I） : BC=2lAC，且BC过椭圆的中心 O . OC124将点CC，3,、3）代入方程，得b2 =4，椭圆E的方程为(II) t直线PC与直线QC关于直线Xh.$3对称，.设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,从而直线PC的方程为:y= k(x -寸3)，即 y = kx-k),由ykxa-k)消y，整理得：x 3y -12=0(1 3k2)x2 6.3k(k)x 9k2 -18k -3 = 0；x 二 3是方程的一个根，-XpL. 3 二9k2 -18k -321 3k2即xp9k2

33、-18k -3、3(1 3k2)同理可得:xq9k2 18k -3,3(1 3k2):yp - yQ = kxp、. 3(1 - k) kx(Q - 3(1 k) = k(Xp Xq ) -2 . 3k =-12k_.3(1 3k2)9k2 18k 3Xp _xq ：2.3(1 3k2)9k2_18k 二 3.3(1 3k2)-36 k.3(1 3k2)PQyp讥Xp Xq则直线PQ的斜率为定值1。313方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC关于直线x二,3对称”得两直线的斜率互为相反数,设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。利用 3是方程(1 3k2)x2 63k(1-k)

34、x 9k2 -18k3=0 的根，易得点 P 的横坐标:Xp9k2 -18k -33(1 3k2)再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标:2= 9k_18k二 3.3(1 3k2)，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。接下来，如果分别利用直线 PC QC的方程通过坐标变换法将点 P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加 许多。直接计算yP -yQ、xp -冷，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用 直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。3练习2

35、、： ( 2009辽宁卷文、理)已知，椭圆 C以过点A ( 1,1),两个焦点为(一1, 0) (1 , 0 )。2(1) 求椭圆C的方程；(2) E, F是椭圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率 为定值，并求出这个定值。2 2分析：第一问中，知道焦点，则a = b 1，再根据过点A，通过解方程组，就可以求2 2出 a ,b，求出方程。第二问中，设出直线 AE的斜率k,写出直线的方程，联 立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和 点A的坐标，可以求出点E的坐标，将点E中的k,用-k换下来，就可以得到点F的坐标，通过计算yE-yF，XE-XF，就可以

36、求出直线 EF的斜率了解：(I)由题意，c=1,可设椭圆方程为2 X r + a2y-=1-1，将点A的坐标代入方程:丄9所以椭圆方程炉_1)=12 X 一 +，解得a2=4a22143J ：仁c2(舍去)42X +4Xf324( -k)2 -1223 4k2ykXE|-k又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以一K代K，可得Xf4(3 k)2 -1223 4k2yE二 _kxE 3 k2所以直线EF的斜率KEF = * 一xf沁-k(xF xE) 2k 1 xf - xe23(n)设直线 AE方程为：y = k(x -1) ，代入22232(3 4k )x 4k(3-2k)x 4(

37、 k) -12 =023设E(XE,yE), F(Xf ,yF),因为点A(1,-)在椭圆上，所以1即直线EF的斜率为定值，其值为 一。12分2老师总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数， 就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理-同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M :于P、Q两点，且DPU = l DQ1,求实数|的取值范围。分析：由DP = lDQ可

38、以得到1 = l X2初=3 + I (y2 - 3)，将P(X1,y1),Q(X2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用l表示出来。解：设 P(X1,y”,Q(X2,y2),uuu uuu 由 DP = l DQ得(x1,y1-3)= l (x2,y2-3)暫=l X2即 £ = 3+ l (y2 - 3)万法一：万程组消元法2 2又P、Q是椭圆-+=1上的点9422X2讨2+ 94=1(I y2 + 3 -43 )2消去X2,1212 2 2即 y2=6I可得(| y2 + 3- 31 ) - 1 y2 = 1|21解之得：55413I5又 Q在椭圆上，一2< y2<

39、; 2, 2<- 5 < 26I则实数I的取值范围是 1 5 。如方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法y = kx +3设直线PQ的方程为：y二kx3,k=0，由y 22 消y整理后，得4x +9y =36(4 9k2)x2 54kx 45 =0tP、Q是曲线 M 上的两点.：-(54k)2 -4 45(4 9k2) = 144k2-80 _0即 9k2 -5由韦达定理得:x1x2 =54k24 9 k2,x1x2 -4524 9k21 ,(X1 X2)2 = >CL x2XX2X22 X154V(V 24 5(4 k9 )365(i)29k29k2J 29k25(i)251

40、解之得551 1由得02，代入，整理得9k 5_ 1总之实数I的取值范围是当直线PQ的斜率不存在，即 x = 0时，易知，=5或=5方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大,计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较 强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。1 2例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx2的焦点，离心率为. (1)求

41、椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线I交椭圆C于A、B两点,5交y轴于M点，若MA = AF , MB =，2BF，求、匕的值.分析:(07福建理科)如图，已知点 F (1 , 0),直线I: x =- 1, P为平面上的动点，过 P作直线I的垂线，垂足为点Q，且QP qF = FP(I)求动点P的轨迹C的方程;(n)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线I于点M，已知MA二、AF,AF二 2BF，求 n的值。小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法, 考查运算能力和综合解题能力 满分14分.解法Mi(I)设点 P(x, y)，则

42、 Q(-1, y)，由 QPGF 二 FPfQ 得:(x 1,0)血，- y)=(x-1, y)4-2, y)，化简得 C:y2=4x.(n)设直线 AB的方程为：x二my，1(m=0).设 A(%, yj , B(X2, y2)，又 M联立方程组y2 =4x,x 二 my 1,消去x得:y求双曲线C的方程；(II)过点P(0,4)的直线I，交双曲线T C的顶点不重合)。当PQ二QA二2QB，且 * 2二_4my-4=0 , ； =(-4m)2 12 0，故 " y2=4m'“"2 = -4 -MB = 2BF 得:2yi = - iyi,my2- = - -2y2

43、，整理得:mmyi2my211+<yiy2 丿2 丄m y2所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹 C的方程为:(n)由已知 MA =、AF , MB 二 2BF ，得i L 2 ：- 0.TAF人2BF过点A，B分别作准线丨的垂线，垂足分别为 A，B，则有:'MB 'BR BF由得:，即 1 * '2 =0.练习：设椭圆C*已卄0)的左、右焦点分别为F)、F2， A是椭圆 C上的一点，且一2一2竺"m -4解法二：门)由QpQF扁灵得：FQl(PQ Pf0,I 4 -2 T2.(PQ-PF)L(PQ PF)=0,. PQ -PF -0,AF2 FF2

44、=0，坐标原点O到直线AFi的距离为|OFi | .(i)求椭圆C的方程;3(2)设Q是椭圆C上的一点，过 Q的直线I交x轴于点P(-i , 0)，较y轴于点M，若MQ =2QP，求直线I的方程.2 2山东2006理 双曲线C与椭圆 i有相同的焦点，直线 护、3x为C的一条渐近线。(I)C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与8 一 时，求Q点的坐标。384解：(n)解法一：由题意知直线 丨的斜率k存在且不等于零。4设丨的方程：y=kx 4, A(Xi,yJ， B(X2,y2)则 Q(,0)k:PQQA.44(-匚，4) = 1 (xi 二，yi)kk44I=1, (x +)k z k = $4

45、=打 *44=kk4y1 =A(xi,yi)在双曲线C上，2 2 2 2-k =0. (16 -k 八 3216-16k 2=0.3同理有：2 2 16 2(16 -k2)；32 2 16k2 =0.3.16 3216 ¥ k2若16 -k2 =0,则直线丨过顶点，不合题意.16-k2是二次方程2 2(16 -k )x 32x 1616 k2 =0.的两根.332k2 -16此时厶0,. k = 2.所求Q的坐标为(-2,0).解法二：由题意知直线丨的斜率k存在且不等于零4,PQ 二 QA，. Q 分 PA 的比为'1.设丨的方程,y = kx 4, A(X1, yj, B(

46、x2,y2)，则 Q( ,0).k4 1x1X1 =由定比分点坐标公式得解法三：由题意知直线丨的斜率k存在且不等于零4设丨的方程：y =kx 4, A(xp yj, B(x2,y2)，则 Q( ,0). k PQ 1QA 二 2QB，44, y2).k4,4,(,-4)='：；1(X1, yj ='：；2(X2kk1Y1Y2又'2112十=Y1Y232即3(y1疝切"将厂kX 4代入X2亡可得(3-k2)y2 -24y，48-3k2 =0：3-k2 =0，否则丨与渐近线平行。2448-3k2448-3k2,.32 = 22 k3k3k二 2. Q（_2 , 0

47、）解法四：由题意知直线 I得斜率k存在且不等于零，设 丨的方程：y =kx 4，A（m, yJ,B（X2,y2）小 4 则 Q（-一 ,0） k4k4 + k害,%）。k-i 二Xi同理kx24kx14kx2432即 2k nx2 5«为 x2） 8 = 0（*）22x2y2消去 y 得（3-k ）x -8kx-19 = 0.3 _当3-k2 =0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意,由韦达定理有:x-ix28k3-k219代入（*）式得k2= 4,k 二 2-所求Q点的坐标为（士2,0）。练习：已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2x =4y的焦

48、点，离心率2扁等于一三。（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P为椭圆上一点，弦 PA、PB分别过焦点F2，（ PA、5T - T T - TPB都不与x轴垂直，其点P的纵坐标不为0），若PF1 =対RA,PF2 =九2 F2 B，求人+ '-2的值。解：（1 ）设椭圆x2y2b241C 的方程为： = 1（a b 0），贝U b=1，由一2 = 1e2 =1，得 a2 = 5，aba55则椭圆的方程为:2x 2彳y 152（2 ）由y25=1 得:匸（-2,0）, F2（2,0），设 P（Xo，y°）, A（N，yi）,B（X2，y2），TT HH有 PFi二1FAPF2二 2

49、 F?B得：（-2 - 心- y°）='心2, yj,（2 - x°,-y°）= ' 2（X2- 2, y?）2yoyoyi根据pa、pb都不与x轴垂直，且y0 = 0，设直线pa的方程为：y = yo (x 2)，代人 y 1, Xo + 25整理后，得：(Xo2 2 2 21 2) ' 5 yo Jy -'4y0(x0 ' 2) y -'yo0根据韦达定理，得：2yo%22，贝V y122，(x 2)2 5yo(x - 2)2 5y：从而，二-如=(x0 2)2 5y2 同理可求，2 二-处=(x0-2)2 5y

50、2 yiy22 2 2 2 2 2则 1 ，2 =(xo 2) 5yo (xo -2)5yo 二 2(x) 5y° ) 42丄x 2由P(xo, yo)为椭圆y =1上一点得:52 2xo - 5yo =5，则i '2 =18，故'2的值为18.题型六：面积问题2 2例题8、(07陕西理)已知椭圆 C:笃爲=1 (a> b> 0)的离心率为a b'6 ,短轴一个端点到右焦3点的距离为 3。(I)求椭圆C的方程;(H)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为空,灯AOB面积的最大值。2解：(I)设椭圆的半焦距为c 、6c,依题意* a 一 3 '二b = 1，二所求椭圆方程为a = >/3,x2()设 A(X1, yj , B(X2,y2)。(1)当 AB 丄 x 轴时，AB=-、3。(2 )当