信号与系统知识要点

1、信号与系统知识要点信号与系统知识要点第一章信号与系统J3)i5的性质:/(/)犯)=/(0)犯)匸 /(/)5(M*(0)5(/f ) = 5-(Ko)5(G)詁罚)附-/。)咯郭-仝)同a单他中激偶信号6t) =dt单位(t) = U(t)=1八00,r 0sgn(z) = u(t)-u(-t) = 2w(/)-l一1vO单位斜坡信号门函数处）0j0厂=U（T）dT= U（t）sgn(/)= Oj =gr(f) =0 r-0tt = k7r伙=1,2,”)时，Sa(t) = 0limr-xfEf aOSa(i)di= J第二章连续时间信号与系统的时域分析1 1、基本信号的时域描述(1(1 )

2、普通信号普通信号可以用一个复指数信号统一概括，即f(t)二Kest，一二t：式中j，K一般为实数，也可以为复数。根据二与的不同情况，f(t)可表示下列几种常见的普通信号。 当s = 0时(即=0,=0时)当s=实数时(即a学0,灼=0时)f (t) = Kest= *当s=虚数时(即a =0,式0时)当s=复数时(即a式0,式0时)f二K(直流信号)f(t)=心珥实指数信号)f (t)二K cos t j sint(正弦信号与余弦信号)f (t)二Ke (cos，t sin，t)(振幅变化的正、余弦信号)(2 2 )奇异信号常见的连续时间奇异信号有单位冲激偶 (t)、单位冲 激信号 (t八单位

3、阶跃信号u(t)和斜坡信号r(t)。任意的连续信号f(t)可用冲激信号(t)，冲激信号(t)是信号进行时域分析的本证信号。冲激信号的定义:A(t) = 0,t工0“ A6(t)T叱,t式0J：A(t)dt =A式中A为实数。若A冲激信号-(t)称为单位冲激信号(t)冲激信号的主要性质:筛选特性f(t)、(t) = f(O)、(t)f(t)、.(t t) =f (to)、.(t -to)to为实常数2取样特性f(t)、(t)dt二f(O) f(t)、(t-to)dt二f(to)J3展缩特性6(at+b)二+的+)，a，b为实常数a a4冲激信号、阶跃信号、斜坡信号和冲激偶信号之间关系d。-dd、

4、(t)、(t)、(t)u(t) u(t) r(t)dtdtdttt、( )d二u(t)u( )d二r(t)t.二C)d-(t)冲激偶信号的定义：r -j dT(t),to,t =o冲激偶信号的主要特性：1筛选特性f(t) (t -to) =f (to)(t -to) - f (to) (t -to)2取样特性to为实常数:f(t)(t-to)dt = -f (t。),to为实常数展缩特性伽存(t,a,b为实常数煮弋j(t)2 2、 连续时间信号的时域分析信号的基本运算：加、乘、微分、积分、翻转、平移、展缩、分解。3 3、 卷积积分(1)定义fl(t) f2(t)= Jl( )f2(t -)d(

5、2)性质交换律 钮户f2(t) =f2(t)f1(t)分配率fi(t) f2(t)f3(t)二fi(t) f2(t)fi(t) fa(t)结合律fl(tP，f2(t)*f3(t) =f1(t)叫f2(t)*f3(t)卷积的微积分性质f (t) gZ(t) = f“ g(t)f(t)* g(t)= f (t)* g(n)(t)f3)(t) g(t) = f(t) g5(t)奇异信号的卷积性质f(t)(t)二f(t) (t -to)是to秒的延时器f(t)、(t to) =f(t to)-(t)是微分器、(t) f(t) = f (t)u(t)是积分器u(t) f(t) = U f( )d，f7(

6、t)(3(3)常用信号的卷积表fl(t)f2(t)fl(tf2(t) = f flf2(t f(t)(t)f(t)u(t)u(t)tu(t)e%(t)u(t)丄(占-1)u(t) ae%(t)e%(t)te%(t)tmu(t)tnu(t)m!n!m由也-:_:_tu(t) (m + n +1)!4 4、连续时间系统分析系统的时域分析就是在时间域内分析输入与输出的时间特性，也可以认为，在输入激励信号已确定的情况下，主要分析输出响 应的时间特性。时域分析有经典法和卷积积分法。第三章 连续时间信号与系统的频域分析1 1、周期信号的傅里叶级数对于满足狄里赫利条件的周期为T的信号f(t)，可以展 开成三

7、角形式和指数形式的傅里叶级数。记，称之为基频。(1 1)三角形式的傅里叶级数COf(t)二a。 、ancos(n，0t) bnsin(n -0t)n4(2 2)指数形式的傅里叶级数f(t)八Fnejn0t式中F” =：f(t)en0tdt2 2、傅里叶变换(1 1)傅里叶变换的定义式F(j )f(t)e_ldtf(t) - F(j -)ejd F2r:F(j)-F(j)的模，表示信号f(t)中各频率分量的相对大小，称之为信号的幅频特性；()-F(j )的相角，表示信号f(t)中各频率分量的相对位置关系，称之为信号的相频特性；(2 2 )傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质性质名称线性af(t)+b

8、f2(t)H aFi(j()付号函数sgn(t)2j怕斜坡信号山1Z)2门信号Gt)(或记为g(t)WT巧Sa() 2三角信号AT（t）T2OTSa ()24取样信号Sa（矶t）才恥）或：取样信号營7$3）nt兀G2轴（灼）e%(t)，口01jco+ate以u(t)，a 01j +a)2eU(t)，a 02aco22esin(c0t)u(t)，口0国0(j时+a)2+ 时02e*cos(co0t)u(t)， 0jco+a(j时+a)2+co。2e畑2頑 -国0)f (t)sin(ot)11:jFj +%)卜；jFj %)22f (t)cos(%t)1 1专Fj+5)+寸Fj叭)tj26 )tu

9、(t)1j2话)2co1 t-j兀sgn(a)tl2_2cos0t)兀 2 +叭）+5 -叭）sin (%t)弹2俺+0）5（们一叫）相关定理R2=匚fi(t) f2(t 7dtF&2（l）=戸（他厅2*（怡）相关定理R21=匚 皿-0 f2（t）dtFR21（E）=F（d）F2（妙）利用傅里叶变换的性质求定积分cd 12|血 |2mf(t)n j)i d)（3 3）周期信号的傅里叶变换一方面，周期信号fT（t）可以展开为傅里叶级数：旳.仃 L1、Fo2兀fT（t） = Fne0t所以FT（）=2八Fn、（ - n，0），。二一另一方面，设f（t）为周期信号fT（t）对应的主周期信号,

10、f（t）的傅里叶变换为F（），则有J(t)二f(t_ nT) = f(t) (t)n二：所以QOOOFT(j J = F (j )0二 ( 一no) -0二F (jn0). (-n0)n=.:：n=-：常用的几个周期信号的傅里叶变换f(t)F（用）cos0t)感（时+时0）+兀5（豹一0）si n(灼 t)兀2（们+m0） -冗j芳 们0）oo6T(t)=E 6(t_ nT)n=jod2时0送昵_n灼0），时0 = nT利用零点1 oOf(0)F(.)d 2二-3 3、系统的频率响应系统的单位冲激响应h（t）傅里叶变换H（j ）称为系统的频率响应，有称为系统函数设H(j)=H(j)ej$，则|

11、H(jm)|称为系统的幅频特性，反映 了系统对输入信号各频率分量相对大小的改变；：()称为 系统的相频特性，反映了系统对输入信号各频率分量相 对位置的改变。设输入皿)的傅里叶变换为F(j )，零状态响应yzs(t)的傅 里叶变换为Yzs(j )，则)=F(j )H(j)，即聲語4 4、无失真传输与滤波(1 1)无失真传输的条件时域：h(t) =k;(t-t。)频域：H(j3)=keje或者H(j3)=k，“()=-st。其中，k和to为实常数，且to0(保证系统的因果性)。(2 2 )理想低通滤波器a jld、丈产、频率响应H。,汕虫2轴)e皿C为截止频率。(3(3 )理想高通滤波器H j)=

12、e0C=1一G2迫)ed03纵(4(4 )理想带通滤波器H(j)=Hi(j)、(八*：。)- 0)5 5、抽样(1 1)冲激串抽样71fs(t)二f (tT(t)二f(t八、.(t nT), 其中，n -：fs(t)的频谱为1oOFs( j )F( j- - jn0),0T，1n m(2(2)脉冲串抽样fs(t) =PT(t)f (t)，其中，PT(t)iG(t nT)n=jooT：n W0TFs(j )Sa( -)F(j- - jn JT g2(3(3 )时域抽样定理若f(t)是频带有限的信号，其频谱只占据(-m,m)的范围，则当抽样周期Ts岂二(或抽样频率年一2十)称为奈 国mT奎斯特(N

13、yquistNyquist )频率，把最大允许抽样间隔T称m为奈奎斯特间隔。(4 4 )抽样信号的恢复对于冲激串抽样，满足抽样定理时，把抽样信号fs(t)通 过理想低通滤波器r(t)二二、(t nT)n -：H(j )T,|0, _cs- c71就可以将f(t)完全恢复出来。这种恢复，在数学上可 表示为f(t) = J f(nT)Sa c(t nT)第四章 连续时间信号与系统的复频域分析1 1、拉普拉斯变换的定义(1(1)双边拉普拉斯变换旳St1cr+lstF(s)二f(t)e dt鮒)=亓jF(s)e ds(2(2 )单边拉氏变换stF(s)e ds，(3(3 )拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯

14、变换的条件是广f(t)tdt0a a复频移特性f(t)e0tF(ss。)时域微分特性巴sF(s) f (0dt2d f2(t)s2F(s)sf(0 ) (0dtf(n)(t)snF(s) snf (0 )- snf，(0)f z(0 )时域积分特性f f (i)diJs复频域微分-Jtf (t)F(s)复频域积分f (t)旳F(s)ds t屯卷积特性fi(t)- f2(t)斤山1fi(t)江f2(t)Fi(sbF2(S)2円初值定理若f(t)在t = 0处不包含冲激信号及其 各阶导数，则f (0 * = limj f (t) =sisF (s)终值定理若sF(s)的收敛域包含虚轴，则仁巳呢皿)

15、=ymsF(s)3 3、常用信号的拉普拉斯变换常用信号的傅里叶变换、拉氏变换对照表f(t)Fj)F(s)单位冲激信号)1 11 1，全部s单位阶跃信号U(t)1+质伸)j-坊0s?单位直流信号 1 12感（如1a 0s?付号函数sgn（t）2j斜坡信号tu（t）1j兀)co1门r，a0s门信号GQ（或记 为gT（t）TSa()2三角信号氐T2QTc Sa2()24取样信号Sa（ot）JIG23(怕)0或：取样信号sin ctc=-Sact)jit兀G2裁（灼）e以u(t)，a01j w +a1cr -as+a?teu(t)，a0112j +)(s+a)2 ?Eu(t)，a 02co22esin

16、(cc0t)u(t)，口0W0空、=&(j时+a)2+灼。2(s + a)2+%2 ?ecos(国ot)u(t)，a0j co +as+a2 2(j灼+ot)+们022(s + a) +%?e冏2頑（-）丄tne %(t) n!1CJ -ot（s+a严，si n(Bt)u(t)尹 -+%) +202G 0s+0?2 2%cos伸gt)u(t)专2何+叭）-叫）+sc2 +2，0s+国0 2 2国o国oO、 (t - nT),T 0n -04 4、拉普拉斯反变换(1(1 )利用常用信号的拉氏变换以及拉氏变换的性质求(2(2 )部分分式法展开bmsm- bmjSmJb|S - b0n .n

17、Jans - anJsasp若A(s) =0有n个互不相等的单根，F(s)可展成如下的部分分式：F(s)=K，期中 心=(s-Si)F(s)s占iy s -snf(t) =LF(s)=迟Kests(t)设A(s)=0有一对共轭单根s,2=J：，将F(s)的展开式分为两个部分：B(s) _ Q+心+B2(s)A(s) (s：；一)(s S：j )A2(s)一sE二：A2G)F1(s)=十j+K2s、 ： 亠j：F2(S)B2(S)A2(S)B(sJAg)=K,ej8fi(t) =2K,ecos(Bt +巧名(t)设A(s)P有从根的情况，例如s 3KiiK12Ki3K4F(s)3r+ r+(s+

18、1) (s + 2) (s+1) (s + 1) s + 1 s + 2 dKii= (s 1) F(s)sz =2K12(s 1) F (s)s三=-1dsi d2Ki32【(s i)3F(s)s_i=iK(s 2)F(s)-i2! ds-2ii iF (s)32+ +-(s+i)3(s+i)2s +i s+ 2取逆变换，得f(t)訂(t2-t 1)e-e；(t)5 5、系统的复频域分析(1(1)微分方程所表示系统的复频域分析any(n)(t) ayWt)厂aiy (t) ay(t)二bmf(m)(t) - b(2(2 )电路系统的复频域分析第五章离散系统的 Z Z 域分析1 1、 Z Z

19、变换的定义(i i )双边 Z Z 变换：F(Z)八f(n)z*n=-od(2 2 )双边 Z Z 变换：F(z)八f(nhn=0(m)(t)bif (t)bof(t)2 2、 Z Z 变换的收敛域(ROCROC)(1)Z Z 变换的的收敛域：Z Z 平面上的区域，满足条件Q0Z I f (n )zJ。In二:(2)Z Z 变换的的收敛域的特点：1 1) Z Z 变换的收敛域是以原点为圆心的圆环 (半径可以是00 0)；2 2 )在收敛域的圆形边界上一定有F(z)的极点；3 3 )收敛域不含F的任何极点；3 3、Z Z 变换的性质性质名称f( n)0F(z)=送f(n)z线性af1(n) +bf2(n)aFi(z) + bF2(z)尺度变换anf( n)F(z/a)复共轭广(n)* *F (z )时移特性f (n m)z F(z)单边变换的时移f (n -m)u(n)mzF(z)+瓦f(i)z特性f (n +m)u(n)m-1zmF(z)-迟f(i)z冷i =0频移特性e4 f(n)F(ejCz)Z Z 域微分nf (n)_zF(z)dz时域卷积fi(n)* f2(n)R(Z)F2(Z)