微积分中存在性问题的证明方法0001

1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第四讲 微积分中存在性冋题的证明方法课时数4教学 目的通过教学使学生掌握微积分中存在性问题证明的一般方法，熟练掌握用介 值定理或根的存在性定理证明存在性问题；用中值定理证明存在性问题；用泰 勒公式证明存在性冋题重 占 难 占1用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题2用中值定理证明存在性问题3用泰勒公式证明存在性问题教 学 提 纲第四讲微积分中存在性冋题的证明方法1基本结论(1)有界性；最值性；零点定理；介值性定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理2.证明思路(1) 设f(x)在a,b上连续，条件中不涉及到导

2、数或可微，证明存在巴 a,b，使得f (x) c，般用介值疋理或根的存在性疋理。(2) 设f (x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，证明存在巴匸(a,b)，使得结论中包含和一 阶导数的等式成立，一般用中值定理。(3) 设f (x)在a,b上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在E e (a,b)，使得结论中包含和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。设f (x)在a,b上连续，在(a,b)上三次(或以上)可导，证明存在匕匸(a,b)，使得结论中包含和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。b(5)条件中包含f (c) = J f (x)dx时，要首先使用积分中值定理处理，得到a

3、f (c) = f (匕)，作为其他证明的条件。3存在性证明中辅助函数的构造方法教学 教学过程与内容后记第四讲微积分中存在性问题的证明方法微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质、微分中值定理、积分中值定理和泰勒公式，是历年考试的重点，一定熟练掌握。这一问题的突破点是选择 正确的解题思路并合理构造辅助函数，有时辅助函数需要借助微分方程来寻找寻找。1 .基本结论 有界性：若 f(x)Ca,bn 目M >0x引a,b,|f(x)| WM。(2) 最值性：若f(xCa,b，贝U f (x)在a,b能取到最大值和最小值。(3) 零点定理：若f(x) Ca,b，且f(a)f (b)

4、:：: 0，则在(a,b)内至少存在一点, 使 f(c) =0。(4) 介值性：若f(x) Ca,b , M ,m分别是f (x)在a,b上的最大值和最小值,则，：-m,M ，在a,b至少存在一点，使f (c)二。(5) 罗尔定理 如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续.(2)在开区间(a,b)内可导.(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(t).那么在(a,b)内至少在一点(a ：: b).使得函数在该点的导数等于零，即f ')= 0拉格朗日中值定理 如果函数f(x)满足(1 )在闭区间a,b上连续(2)在开区间 (a,b)内可导.那么在(a,b)内至少有一点(

5、a ： : b).使得等式f(b)- f(a) = f'( )(b-a)柯西中值定理 如果函数及F(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 F'(x)在(a,b)内每一点均不为零，那末在(a,b)内至少有一点"a：: b),使等式f(b)-f(a) _f'()成立F(b) -F(a) F'()2 .证明思路(1) 设f (x)在a,b上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在a,b，使得f(x)二c, 一般用介值定理或根的存在性定理。(2) 设f (x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，证明存在(a,b)，使得结论中包含和一阶导数的等

6、式成立，一般用中值定理。(3) 设f (x)在a,b上连续，在(a,b)上二阶可微，证明存在(a, b)，使得结论中包含和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。设f(x)在a,b上连续，在(a,b)上三次(或以上)可导，证明存在(a,b)，使得结论中包含和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。b(5)条件中包含f(c) f(x)dx时，要首先使用积分中值定理处理，得到弋af (c f ()，作为其他证明的条件。3.存在性证明中辅助函数的构造方法存在性证明中成功构造辅助函数是解题的关键。辅助函数大多来源于结论，从对结论的分析中得出辅助函数。例1、设f (x)在0，2a上连续，f(0

7、) = f(2a)，证明在0,a上存在使得f(a r f( )【分析】f(a)二 f( ) > f(a) - f( ) = 0 > f(a x) f(x) = 0【证明】令 G(x)二 f (a x)f (x)， x 0,a . G(x)在0,a上连续，且G(a) = f(2a) - f (a) = f (0) - f(a)G(0) = f(a) - f(0)当 f (a f (0)时，取=0,即有 f(a )二 f()；当f(a)二f(0)时，G(0)G(a) ： 0 ,由根 的存在性定理 知存在：(0,a)使得，G( ) =0,即卩 f (a )二 f ().例2设函数f(x)

8、在0, 3上连续，在(0, 3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存 在 (0,3)，使 f ( ) = 0.【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c 0,3)，使得f (c) =1二f (3)，然后在f (0) + f (1) + f (2)c,3上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于1，问题转3化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的【证明】 因为f(x)在0, 3上连续，所以f(x)在0, 2上连续，且在0 , 2上必有最大值M和最小值m，于是m< f (0p M , m < f (1) < M

9、, m< f (2pi M .故 mJ(0)f(1) f 2)汕.3由介值定理知，至少存在一点c 0,2，使f(0) + f(1) + f(2)-f (c)二3因为f(c)=1=f(3),且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在(c,3)(0,3)，使 f ( )=0.例3、设函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，f(1) =0，证明：在(0,1)内存在,【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析:f (巴)*f ( )f ( ) f ( ) = 0f (x) xf (x)= 0 :xf(x) = 0【证明】令G(x)二xf(x)，则G(x)在

10、0,1上连续，在(0,1)上可导，且G(0) =0f (0) =0,G(1) =1f (1) =0, G (x)工 f (x) xf (x)由罗尔中值定理知，存在-(0,1)，使得G ( f( f ( ) 即1例 4 设函数 f (x)在0, 1 上连续，(0, 1)内可导，且 f (1) =k.okxe1_af (x)dx证明：二：:三(0,1),使 f)=(1一 *)f)( k 1).【分析】本题的难点是构造辅助函数，f ( )=(1-)f( ) f( HC-1)f( ) f ( ) f( H f()xf (x) f(x)=xf(x) xf (x)f = xf(x) xf(x) =exxe

11、"f(x) = 1令 g(x)=xe“(x)f(1) = e1- f( ) g(1) = g()【证明】略例5设函数f(x)在】0, 1 上连续，(0, 1)内可导，且f(0)=f (1) =0, f(；)=1 证明：(；,1),使f()二(2)对于任意实数，(0,)，使 f- (f)-)=1【分析】本题的难点是构造辅助函数,f ( ) 一 (f( ) 一)=1 f ()_，f() 一仁 f (x) - f(x) ，x-1=0f (x) =e 階 /f (x) -，f (x) =1 -，xC + (1 kx)e 卜"dx = Ce於 +x f (x) -xex =C令 g(

12、x)二e-xf(x) X例6、设函数f (x)在0,1上连续，(0, 1)内可导，且f(0)=0,-x(0,1), f(x) = 0证明：5使幣f )f(1-)(为自然数).【分析】本题构造辅助函数的难度大于上一题，需要积分(即解微分方程)方可得到:nf ( ) _ f (1 - ) nf () _ f (1 -x)f( )f(1 一 )' f(x)f(1x) f(x)> nf(x)dx =f(_x)dxf(1-x)1 1df(x)df (1 -x) > In f n(x) = - In f (1 - x)f(x)f (1 -x)- f n(x)f (1 x) =1【证明】

13、令G(x) = f n(x)f (1x),则G(x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，且G(0) =G(1) =0 ,；二-(0,1),使 G ( ) =0,即卩n f n°( )f (x)f (1 - )一 f n( ) f (1 - )= 0,又f(x)=0,约去f n4(x)，整理得证.例7、设函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)上可导，f(0)=0,f(1)=1.证明：(1)在(0,1)内存在，使得 f( J =1 - .(2) 在(0,1)内存在两个不同的点，使得f/)f/( )=1【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格

14、朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论【证明】 令 F(x)二 f(x)-1 X，则 F(x )在0, 1上连续，且 F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在；二.(0,1),使得F)= 0，即f)=1 一(II)在0,和1上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0, )/( ,1)，使得 f ( )= f(八 f(0)f - f()-01-f (巴)f ( ) f ( ) 1 - f( ) _1 -类似地还有例8、设函数 f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，证明：在(a,b)内存在，使得/ . a b f/()二2 f/()

15、-例9：设函数f (x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，f(a)二f(b) =1证明：在(a,b) 内存在,使得e 一 f “ ) f( ) =1 .例10：设函数f(x), g(x)在a, b上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b),证明：存在 (a,b)，使得 f ( ) = g ( J.【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令F(x) = f(x)-g(x),则问题转化为证明 F(J=0,只需对F (x)用罗尔定理，关键是 找到F (x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0,若能再找一点(a,b),使得F(c) =0,则在区间a,c,c,b上两次利用 罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F (x)用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数F (x) = f (x)-g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值,不妨设存在x1 _x2, x1,x (a,b)使得f(xj=M =max f (x),