求极限练习题答案

1、1.求下列极限:(1)IE力厂+“+1C11解：原式二lim加2+,一9+二1+llim叵=2ifir2n+1nrrlimvt3lim(l+x”解：原式二lim(.v-M)(x-3)(J+x+2)i3Ji=1(5)当。当当求limlim+x)=F(3)limJ1+尤-2解：原式二二1(4)4coscosS-4lim十-1)解：原式二limC-l)浴二解X.L>»Icos2cos-(2A、cos电Sin2sinx=limi*c42zsiXsin.vA+=hm(=)=(6).1jtsin解：30T_limxy/2x2-12sialJ'=limA-limVlv2-1解:令yn

2、limlim(2-4“tooI+n+i2r-ln2+n+1/r+2n(n+1)21+2+n(n+l)n+n+nn+it+n'”“rim+1)而故lim(+rr+1/T-+(8)lim(/J/7+-JnTH<1+2+/?曲苧1)lim_“Tea+i2一亦)解1.3函数的极限作业1.根据函数极限的定义，验证下列极限:limro解：V>0,要使I±-o1=±<,IXI只要取x=f,则当ixi>x时，恒有r-oi<,lim石二2解：V>0,要使石一2匕启¥,x->4即x-4-4,或卜-4"4,只要取二位112,4

3、,则当0<lx-41<所以lim真二2-所以lim2_=0.T2.求下列数列极限:恤(-+“十4+/?+1+n+2解：令为二1*2A-卜1-tvn+1n+n+2n+n+n7z(n+1)n(n+1)B21±1土。土n<v<1邪"土+n*0厅inf>凡,+I="tog#?"+i2n(n+)ifftlim一二二f9+n+n212故lim(-卜+,僚)+1Zr+n+24+n+n、八)二29YJH+Jn士描(J”+y/n(-MJWF“THq3b卜3.求下列函数极限:(1)limits解：原式二-9(2)limil.L22x-3YT2x

4、2解：原式二lim(x+2)=4.2lim解.ITx3-l3x(1+x)=limz!=_£ji/+7)(x+)4+1J")解：原式=im,_/=0(5)(2x-l) (3 兀一2) lim5 -lim( +1)2 j x -1=Lx + 2x:+l4 .设 f(x) =1.IfXzg+i+JJ6x2-7x+23解:原式二lim-_(_古徐+_2解：原式二lim，=lim二aY-1jx+12x<00<x<l，分别讨论/(X)在XTO,XT1和X>1XT2时的极限是否存在.解：lim/(x)=2,limf(x)=1,fT(Tlimf(x)-lim/，(x

5、)趋向无穷大，故limf(a)不存在.9m-Hlimfx)=1,lim/(x)=1y故limf(x)=v->2.3.求下列函数极限：I®二-9Hmnn(s-L"/Ilim丁3一牙一J+3x-(1+x)二2._=八二limi治低不斤二1血：=】血=±91°h(Jx+h+y/x)3y/X+/1+y/x2&(9)lim(A2+1_J*_1)=lim(11)(2x-l)(3x-2)lim(Zv+l)2+4x+l2(13)lim"7=lim4/1+2+/42x2(15)Iim(Ix2-1A1).3)X-1-iF_1X<02.设/(x)

6、J0X=0,分别讨论/在XTO,0<X<11<X<2XT1时的左右极限，并说明这两点的极限是否存在.解：limf(x)=lim=1,lim/(x)=limx=0,lim于工lim/(a)故YT(T;V1XTO*.v-xrXfm尸lim/(x)不存在.limf(x)-limx=1,limf(x)=lim1=1xtoXT)-Xrmrx->i*lim/(x)=1im/(x)limf(x)-1nrxtrv->i1-51.求下列极限:sin3xlim=limRsin3xn3二tan3x.3x3(3)lim=lim_=rl；n力“7/tVA(5)limJl-cosO-H

7、m2io1-cosxD2sin*':在(尹4s:nT0/匚12sin_A(5)lim"1-cosv=Hm2=lim1_L_赵31-cosxz2sin?z迈x(7) +xsinx-cosx肿：原工1+xsinx-cos?x1°i.2XA->0：2r(/Slir3111-W1+xsinx+cosx)2=lim+严勺曲1VX7士号：7v+xsinxcosx2limxsinx+sin'x=21im(s*:lx+2sin 一 2"：x)=4(5T-X)-，2注意：代数和中的一部分不能用无穷小替换.2lim2一x: (JI + xsinx + cos x

8、) 4错原式=lim1+xsinx-cosxpt>o2t4-ccuv)(8) lim1+sinx-cosx31+sinx-cos14cos乞+=limxc.乍X-xxxsin2(cos分+sin-(cos+sin)999sin=lim =lini-5 sinTOcos工2%m卫匀二4J一+sirr22mI)jc注意：代数和的一部分不能用无穷小替换.X+1X-铅lim1+sinx-cosx2二1z1+sinx-cos】r一X+-K33-(9) lim(l+Jv=lim(l+Ji£rirXr2X-2xYQHm(,Y=lim(l+-4)卞Yx+2-ix+2(13)lim(l+3x)。

9、=lim(l+3兀严?=/x-M)x-M)4.当XTO时，下列函数中哪些是龙的高阶无穷小，哪些是兀的同阶无穷小，哪些是X的低阶无分小？(1)F+1000H解：因为lim一(心+1000a)=0所以X，+1000a2=o(x)(2) 2sinvW-：区|为lim：5ia-v=lim2sin:x=0xtOxx->0xln$jl+ x) ”二 1 所以 ln(l + x) vx所以sin3x=o(x)(3) ln(l+x)解：因为limsw=limXT0X2sin>sin,1-cosx解：因为lim=lim2=lim(sin"=0,a-x)2xlim ' = lim(l

10、 + 血八)=2,故 x + sin x 是 x 的一3sin x 1 a 1 a 11 -irn KX =1 imT (F 一 二、K所以1-cosx=o(x)x+sinx解：因为无穷小(6)疝了解：因为故亦是x的低阶无穷小或：因为lim,_=lin】3'2.1。汕nxYtanxlim仝整cosx=0,故Vtanx是x的低阶无穷小zVsinx思考题：1.lim(3V+9y=lim9(1+_L)'亍$二lim9(1+皿=9J二9XT+XXTYy%3lim"=co，因为当o时，arccot.zX2习题2-2L求下列函数的导数：(1)y=cosx+x，彳卬军：y-sinx

11、+2x2.(3)y=sinx+a+cos(?解：y*=cosx+1y-cos2Ay'=2cos”仝(5)xAx八八一(co工22222=2cos"华=2cos(7)y=sin3x解：y'=3cos3x(9)y=sin(x2+x+l)解：v'-(2x+1)cos(x2+x+1)(11)y=In+12解：>'='+(31nx)=1_L3_9(4nx)*一二9v9v(6)y=(2x+1)6解：y-=6(2x+1)5仝2=12(2x+1)5(10) y=In(lnx)解：/=(Inx)'=11_1nx=InxxxInx(11) r=Ink

12、+In(sinx)解:Vx)，+-(sin7'二，="cossinxJ72旅sin*1=+cotx2x2 .在下列方程中，求隐函数的导数：(l)y=cosCxJW：/-sin(x.3')-d+>0故心一詈册Q+)厂解：?厂+£y,二0,故y乡二力3x3 .求反函数的导数：(l)y=X+Inx解：仝4二片二xdydy_1+_.1+xdxxx=sinIny,古L_JoslnJ竺匹dyyy4求卜列函数的导数y="sinx解：=2xsinx+x2cosxym%解：y*=3x=Inx+x3_=3x2nx+尸皿解1+Inx1+Inx1-Inx八二xT(1

13、+lnx"解：y二+_x(l+nx)21+nxyB=0-2_L=(1+Inx)2xx(l+Inx)2(7)y=xcos1解y二2xcos】+F(X2xcosJ-+sin£(10)(11)y 二r一 + yjS -4上卜）(X + Jx: 4) 二(1 +x + a/jc -42x、1 号y = x e"y/x0）解/JE_41 1y * = 2xe + x(一 2_L=y = 2xe -x2xan a2xfarccos at f 1 +y = nX2.o解：y二arccos x InU+Ji-x" ) - In x2x 1arccpSA +_L竺咎(1

14、+ -X，) V-X： X r(13) y = x".解：y = 7gH=严“y* = 021nx= 20 g.(14) y = (sin x)C0SA解：vlny = cosx In sin x，对该式两边求导数得，心一sin xln sinA + cos x cos x ysin xy=ln(x+v?-4)y 2 - (sin x)3'(-sinxInsinx+cosxtanx)Iny=Inx+In(l-x)ln(l+x)对该式两边求导22数得_L), =± 1- 2(l-x)1 f y = £ 勺2(1 +x)A + xx -x2(10)arcsEj

15、nll ±-Ix WJl-x: -ln(l+(in s)«x- -x arcsin x1 A7=)二x: Jl-x2 1 + J-x2Qi-x-4-x arcsin xA2 71-A:1 + 1-犬 h.4 : 2)* _ »»,1(i+v-x2)v-x2Xx一寸- x arcsin xC yj-X1x4犬2x -也 x- arcsin x4求反函数的导数:(Dy = x + Inx 解:=一j_ dy血 1+ dx xx (2) y = earc5iax1 + xi a 3al1*弓解:i 3a t y- i+户解A-二sinIny,故.=coslny

16、T二1V5.求卜列参数方程的导数八dyyx=1(/+1)2/2(f+l)可解：八，=六=Ui>'植林(/+i)2j,6/(1+户)-3亦3/2dy=%=R一严(2)2小云-73°(1+丘)_3川 3/23°(1-2户)1一2户（1+户）2(3)(x=ln(l+0解:心二/一仃T=-r-arctanrdx序2/-2?2-I+t2.若F(x)在点连续，且F(a)Oo问：f(x)=x-aF(x)/(x)=(x-«)-F(x)在点x=G是否可导？解:由已知limF(x)=F©)HO(1) f(a)=lim勿一/'(")二&

17、(xa)F(x)0=limF(x)=F(a)fx-afx-ax*f(4)=1im/(x)-/()=心(A-a)F(a),)fK_dX*x_afg工J一(a)所以/(x)=A-rr.F(x)二a不可导+II(2) lim)E7(7)=limF(x)=尸所以f(x)-(x-a)F(x)在x=a可导X-K?xClXN2例题：设/可导，求下列函数y的导数一(Dy=fC)dxy=/(sin2x)+/(cos2x)解:y，=&&)J广(X)(X),=2xfx)(2)=(/(*)(/(皿*)，dx二/"sin'x)(sin:x)4广(cos?x)(cos2x)*=2sinx

18、cosx/*(sin:x)-2cosxsinx广(cos?x)-sin2xfsirfx)-'广(cos'x例题:设/(x)=|,虫2,函数/在“2处可导，应如何选取常数aS+bx>2和b解：lim/(x)=limQm+b)=2a6lim/(a)=limx=4因为/(x)在x=2处xt"a->2”.v>2*可导，所以连续，从而有2“+b=4(1)f(2)=lim/(x)-/(2)"ax+b-4+,t->rx-2wx-2vax+b-(2a+b)va(x-2)XT2*x2x-'2*x2因为在x=2处可导，贝|Jf(2)(2)即：“二4